公平分配问题 数学建模

公平分配问题
摘要
公平分配问题是生活中常遇到的问题。

对于企业、公司、学校、政府部门多能解决的实际问题。

公平分配的原则就是让每个人多能得到同等的对待。

而考虑到时记得多重因素下，传统的平均分配的方法往往不能较好的解决其中的公平问题，很多时候根本没有公平的分配方法。

我们需要另寻其他方法。

我们将以Q值法进行逐一分析与检验，使得得出一个最佳的合理方案。

即：使得各自的分配最公平。

关键词：公平分配最佳方案最公平
班级：
姓名：
学号：
问题重述
三人合作承包了1000件物品的搬运工作，总收入为20元(假设最小单位为元) 。

工作完成后，甲搬运了 515 件，乙搬运了 315件，丙搬运了170件。

分别应得收入10.3, 6.3, 3.4 元。

因为最小单位为元, 因此三人各自拿了应得的整数部分后, 剩下1元归应得数中小数最大的一位丙。

即分别收入10元，6元，4元。

由于三人表现较好，提前完成了搬运工作。

货主作为奖励，搬运费支付了21元钱。

于是甲提议重新分配收入。

21 元按完成工作量各自应得 10.815, 6.615, 3.57元。

取整数后，按小数大小分配剩余，分别得分配收入11元，7元，3元。

回答下列问题：
（1）上分配方案是否公平？为什么？
（2）建立数学模型确定分配方案．
符号说明
A、B 某人
p
A搬运的货物数量
1
p
B搬运的货物数量
2
n1搬运p
数量的货物的报酬
1
n2搬运p
数量的货物的报酬
2
P 衡量不公平程度
r A(n1,n2) 相对于A的不公平值
r B(n1,n2) 相对B的不公平值
Q
k对应的人的报酬的Q值
K
Q
甲对应的Q值的大小
1
Q
乙对应的Q值的大小
2
Q
丙对应的Q值得大小
3
基本假设
假设两个人分配，分配方法就会趋于简单更便于我们对问题的处理。

故假设两个人分配的的分配问题，先从两个人入手，对一般问题的讨论。

有一般推广，并运用于多对象问题的讨论。

模型设计
先讨论两个人公平分配报酬问题的情况，如下图。

要满足公平，应该有
n
p n
p 2
2
1
1
=
但这一般不成立。

注意到等是不成立时，有
若n p n p 2
2
1
1
>
，则对A 不公平；
若n
p n
p 2
2
1
1
<，则对B 不公平；
因此，可以考虑用算式p=︱
n
p n
p
2
2
1
1
=∣来作为衡量分配不公平程度，不过此公式有不
足之处（绝对数的特点），如果个人的搬运件数和报酬为
n 1
=n
2
=10,
p 1=120，
p 2
=100，算得p=2；另两人的搬运件数和报酬为n 1
=n
2
=10,
p 1
=1020，p 2
=1000，
算得p=2.虽然在两种情况下都有p=2，但显然第二种情况比第一种情况公平。

下面采用先对标准对公式给予改进，定义劳动报酬的相对不公平标准公式如下.
若
n
p n
p 2
2
1
1
>
，定义
r A
(n 1
,n 2
)=n
p n
p n p 2
2
2
21
1-
为对A 的相对不公平值。

若
n
p n
p 2
2
1
1
<
，定义
r B
(n 1
,n 2
)=n
p n
p n p 1
1
1
12
2-
为对B 的相对比公平值。

由定义知，对某人的不公平值越小，该人在报酬分配中越有利，因此，可以用不公平只尽量笑得分配方案来减分配中得不公平。

下面讨论通过使用不公平值的大小来确定分配方案。

设A 的搬运件数为
p 1
，所得报酬为n
1
，B 的搬运件数为
p 2
，所得报酬为n
2。

再增加一元报酬，分别分配给A 、B ，有如下不公平值
r B
(n 1
+1,n 2
)=
1
1-n p
n p n p 1
11
1
2
2
++=n p p n 2
1
2
1
1）（+-1
r A
(n 1
, n 2
+1)=
1
1-n p
n p n p 2
22
2
1
1
++=n p n 1
2
1
2
)1(p +-1 用不公平值的公式来决定报酬的分配。

对于新的报酬分配，若有
r B
(n
1
+1,
n
2
)＜
r A
(n 1
,n
2
+1)
则增加的报酬应给A ，此时对不等式r B
(n
1
+1,
n
2
)＜
r A
(n 1
,n
2
+1)进行简化，
可以得出不等式
n n 2222
1p ）（+＜n 1
12
11p n ）（+
引入公式
Q K =n n k
k 2
1）（+K P
于是知道增加的报酬分配可以由
Q
K
得最大值决定，它可以推广到多个人的一般
情况。

用Q K的最大值决定报酬分配的方法称为Q值法。

对于个人（m个人）的报酬分配Q值法可以描述：
（1）先计算每个人的Q值，即Q K（k=1,2，…，m）；
（2）求出其中最大的Q值Q i（若有多个最大值任选其中一个即可）；
（3）将报酬分配给最大值Q i对应的i对应的人。

模型求解
先按应分配的整数部分分配，余下的部分按Q值分配。

本问题的整数额共分配了19元整，具体为；
甲 10.3 n1=10
乙 6.3 n2=6
丙 3.4 n3=3
对第20元的分配，计算Q值为
Q
1=
11
10
5152
⨯
=2411.1
Q
2=
7
6
3152
⨯
=2362.5
Q
3=
4
3
1702
⨯
=2408.3
因为Q1最大，所以第20元应给甲。

对第21元的分配，计算Q值为
Q
1=
12
11
5152
⨯
=2009.3
Q
2=
7
6
3152
⨯
=2362.5
Q
3=
4
3
1702
⨯
=2408.3
因为Q3最大，所以第21元应给丙。

最后的搬运会支付为；甲11元乙6元丙4元。

模型分析
若一开始用Q值法分配，以主次增加一元，也可以得到同同样的结果。

模型构建中我们可以以最简单的开始构建，从简单到复杂的过程。

对设计较多对象的问题，先通过研究两个对象来找出所考虑问题的一般规律。

参考文献
[ISBN 7-81110-111-4/O.55] 杨尚俊，数学建模简明教程，出版地；安徽大学出版社，2006年3月第1版。