运筹学最短路邮递员问题PPT课件

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新的T（vj）=min{老的T（vj），p（vi）+ ωij }
• 若T（vj）= p（vi）+ ωij ，则记k（vj ）=vi（前点标记）;
• 3°找出具有最小T标号的点，将其标号改为p标号。若vt 已获得p
标号，则已找到最短路，由k（vt）反向追踪，就可找出vs 到vt 的最
短路径，p（vt）就是vs 到vt 的最短距离。否则，转2°。
p（v2）
=3 3
p（v1） v1
p（v=30）
=4
6
v2
51 1
v4
7 4
v5
v3 3 2
5
v7
26 v6 9 15
v8
T（v4）=min{6,4+1}=5, k（v4 ）=v3
T（v6）=min{7,4+2}=6, k（v6 ）=v3
目前，点v4 具有最小T标号，将其标号改为p标号： p（v4）=5；
向继续前进，则最先到达终点vt 的流所走过的路径一定是最短的。
为了实现这一想法，对假想流依次到达的点，依次给予p标号，表
示vs到这些点的最短距离。对于假想流尚未到达的点给予T标号，
表示vs到这些点的最短距离的估计值。具体作法如下：
• 1°标p（vs）=0，其余点标T（vi）=+∞;
• 2°由刚刚获得p标号的vi 点出发，改善它的相邻点vj 的T标号,即
对于点v2 ：d（v2）=min｛16+31,22+23,30+18,41｝=41， v对2→于v点6 v；1 ：d（v1）=min｛16+41,22+31,30+23,41+18,59｝
试确定一个五年内的设备更新计划，使五年内总支出最小。
图上标示法
下面我们结合例3介绍求解最短路问题的图上标示法，它比狄克 斯拉算法更简洁。
6
表1 年 份一二 三 四五
购 置 费 11 11 12 12 13 表2 使用年限 0~1 1~2 2~3 3~4 4~5
年修理费 5 6 8 11 18 解：先根据表1、表2的数据画出设备更新费用网络图，如下 图所示。图中点vi 表示第i 年开始，弧（vi ,vj）表示设备第i 年初使 用到第j 年初，弧（vi ,vj）上的权数表示该期间设备所需的费用。 这样，求五年内设备最优更新方案便转化为求v1→v6 的 最短路。
最短路问题
最短路问题是最重要的优化问题之一，它 不仅可以直接应用于解决生产实际的许多问 题例如各种管道的铺设、线路的安排、厂区 的布局、设备的更新等等，而且经常被作为 一个基本工具，用于解决其它优化问题如运 输网络的最小费用流等。
（最短距离、费时最少、费用最省）
1
定义（权、赋权图）：对图G的每一 条边e，可赋与一个实数
3
例 求图中v1 到v8 的最短路。
3 v1
6
v2
51 1
v4
7 4
v5
v3 3 2
5
v7
26 v6 9 15
v8
解：标p（v1）=0，其余点标T（vi）=+∞，i=2,3,4,5,6,7,8;
T（v2）=min{+∞,0+3}=3, k（v2 ）=v1
T（v3）=min{+∞,0+5}=5, k（v3 ）=v1
T（v4）=min{+∞,0+6}=6, k（v2 ）=v1
将具有最小T标号的v2 点的标号改为p标号：p（v2）=3；
T（v3）=min{5,3+1}=4,
k（v3 ）=v2
T（v5）=min{+∞,3+7}=10, k（v5 ）=v2
T（v6）=min{+∞,3+4}=7, k（v6 ）=v2
目前，点v3 具有最小T标号，将其标号改为p标号： p（v3）=44；
目前，点v7 具有最小T标号，将其标号改为p标号： p（v7）=7；
T（v8）=min{15,7+5}=12, k（v8）=v7 ; p（v5）=8；
T（v8）=min{12,8+6}=12, p（v8）=12；反向追踪找最短5 路
最短路径为：v1→v2→v3→v6→v7→v8 ；
因p（v8）=12，所以v1→v8 的最短距离为12。
最短路问题不仅可以求解交通图中两点之间的最短距离，实际 中很多问题也可变为最短路问题加以求解。例如设备更新问题，厂 区合理布局问题等。兹举一例：
例1（设备更新问题）某企业使用一台设备，在每年年底，企业 都要决策下年度是购买一台新设备呢？还是继续使用这台设备。若 购买新的，就要支付一笔购置费；如果使用旧设备，只要支付维修 费，而维修费随着设备的使用年限延长而增加。现根据以往统计资 料已经估算出设备在各年初的价格和不同使用年限的修理费用，分 别如表1、表2所示。
T（v6）=min{6,5+3}=6; T（v7）=min{+∞,5+5}=10, k（v7 ）
=目v前4 ，点v6 具有最小T标号，将其标+2}=8,
k（v5 ）=v6
T（v7）=min{10,6+1}=7,
k（v7 ）=v6
T（v8）=min{+∞,6+9}=15, k（v8）=v6
22
30
41 59
23
v1 16
v 1 v 17 v 17 v5 1 v
2 6 22 3 3
4 23
0 41
31
86
7
设d（vi）表示点vi 到终点的最短距离，根据动态规划最优性原 理，最短路径中任何子路径也必然是最短的。因此有
d（vi）=min｛ω ij +d（vj）｝ 注算意 结，果上直式接要标对在以图j 中vi 为点起vi 的点旁的边所，有同弧时（标vi 出,vj）与进点行vi 最计近算的。邻然接后点将。计 先从点v5 算起，逆向进行。 对于点v5 ：d（v5）=18，v5 →v6 ； 对于点v4 ：d（v4）=min｛17+18,23｝=23，v4 →v6 ； 对于点v3 ：d（v3）=min｛17+23,23+18,31｝=31，v3 →v6 ；
w（e）称为边e的权。图G连同它边 上的权称为赋权图。路中边权最小的 称为最短路。
权可以表示铁路长度，通讯网络的造 价，网络中表示耗时等。
2
狄克斯拉（Dijkstra）算法
• 最短路问题可以化为线性规划问题求解，也可以用动态规划方
法求解，这里介绍一种有效算法—狄克斯拉（Dijkstra）算法，这
一算法是1959年首次被提出来的。该算法适用于每条弧的权数ω ij ≥0情形。算法的基本思路：从发点vs 出发，有一个假想的流沿网络 一切可能的方向等速前进，遇到新节点后，再继续沿一切可能的方