马科维茨资产组合选择模型

❖ 不同投资者无差异曲线的形状不同，与效率边界的切点位置也不同。对于风 险规避程度较高的投资者而言，他们会选择效率边界左侧、风险较低的资产 组合。
一条线，我们称之为最有资本配置线，相应的切点组合P0被称为最优风
险资产组合。
第二节 最优资产组合选择
➢ 上一节中我们确定了市场的投资可行集。投资者接下来就 是确定在可行集中进行资产组合的选择。
➢ 对投资者的个人特征和行为准则做几个假定：
❖ 投资者都是风险规避的，即在收益相同的条件下，投资者 会选择风险最低的投资组合。
❖ 不同的投资者风险规避程度是不同的，因而在风险和收益之间的权衡也存在 差异，对于风险规避程度较高的投资者而言，会将财富更多地投入到无风险 资产中，从而获得较低风险水平的资产组合。
➢ 两个风险资产
❖ 当市场中存在两个风险资产时，供投资者选择的有效资产组合就是上图中的 双曲线上半部分的效率边界。随着无差异曲线向左上方移动，两者相切的切 点即为最优资产组合。
c
E2
r%B
2 S
E2
r%S
2 B
E
r%B
E
r%S
E r%S E r%B 2
S ,B S B
❖ 情形一， S,B 1 此时，两个资产的收益率是完全正相关的，我们
容易得到：
2 P
w S
(1
w) B 2
p w S (1 w) B , 如果0 w 1
E
r%p
E r%S
S
E r%B
❖
给定效用水平 ，在期望值-标准差平面中 U U (, ) 就是投
资者的无差异U曲线。
❖
对于风险规避的投资者而言，期望收益的增加会提高投资者效用
水平，标准差或者风险水平的增大则会降低效用水平，因此有：
U 0, U 0
❖
在期望值-标准差平面中，无差异曲线就是一条向右上倾斜的曲
线，并且左上方的无差异曲线代表的效用高水平要高于右下方无
B
( P
B)
E
r%B
❖ 情形二，S,B 1 此时，两个资产的收益率是完全负相关的，类似可
以得到：
2 P
w S
(1
w) B 2
E
r%p
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EEr%Sr%SSSEEBBr%Br%B((S
B ) E r%B , S B ) E r%B
当w B 时 S B
,当w B 时 S B
❖ 情形三， 1 S,B 1 此时，在期望-标准差平面中对应着两条双曲
E
r%p
rf
E
r% rf
p
上式就是当市场中只有一个风险资产和一个风险资产的时
候，资产组合所有可能的风险-收益集合，又称为投资组
合可行集。
❖
E r%p rf
E
r% rf
p
在“期望收益-标准差”平面中对应着一
条直线，穿过无风险资产 rf 和风险资产r，我们称这条直线为
资本配置线（Capital Allocation Line）
差异曲线的效用水平。
❖
给定投资者的效用函数 U U (, ) ，当风险和期望的边际替代
率是递减的时候，无差异曲线就是凸向原点的。
➢ 一个无风险资产和一个风险资产
❖ 此时，投资组合可行集就是通过无风险资产和风险资产的资本配置线。给定 投资者的效用函数，我们可以通过描述不同效用水平下的无差异曲线，得到 投资者的最优投资组合。
三、一个无风险资产与两个风险资产的组合
➢
假设两个资产的投资权重分为w1和w2，无风险资产的投资权重为1-w1-
w2。两个风险资产构成一个风险资产组合，三个资产构成的投资组合可
行集等价于一个风险资产组合与一个无风险资产构成的可行集。
➢
随着w1和w2的变化，风险资产的期望收益和方差并不是确定的值，而是
➢
假设市场中的资产是两个风险资产，例如一个股票和一个公司债券，且
投资到股票上的财富比例为w，则投资组合的期望收益和标准差为：
E r%p wE r%S (1 w)E r%B
2 p
w2
2 S
(1
w)2
2 B
2w(1
w)Cov(r%S , r%B )
w2
2 S
(1
w)2
2 B
2w(1
w)S,B S B
不断变化的。给定w1和w2的某一比例k，在期望收益-方差平面中就对应
着一个风险资产组合，该组合与无风险资产的连线形成了一条资本配置
线，这条资产配置线就是市场中存在三个资产时的投资组合可行集合。
➢
我们容易发现，在所有资本配置线中，斜率最高的资本配置线在相同标
准水平下拥有最大的期望收益率，也即与风险资产组合效率边界相切的
线。考虑到经济含义，我们只需考虑坐标轴第一象限内的部分： ❖ 在情形二和情形三中，我们可以根据最小方差点将可行集分为两个部
分：位于最小方差点上方的部分（SE1和SE2）和位于最小方差点下 方的部分（E1B和E2B）。对于风险规避的投资者而言，只会选择最 小方差点上方的资产组合，我们称这部分资产组合为全部资产组合的 效率边界（Efficient Frontier）。
➢
同样，容易得到，两个风险资产构成的资产组合的期望和标准差之间的
额关系式：
2 p
aE2 (r%p ) bE(r%p ) c
其中：
a
2 S
E
2 B
2S ,B
r%S E r%B
S
2
B
b
2E
r%S
2 S
2E
r%B
2 B
E r%S
2 E r%S E r%B 2
E
r%B
S ,B S B
一、一个无风第险一资产节与一资个产风险组资合产的的组有合效边界
➢ 假设投资者投资到风险资产的财富比例为w，投资到无风 险资产的财富比例为1-w，则投资组合的期望收益和标准 差可以写成如下形式：
E r%p wE r% (1 w)rf , p w
➢ 进而容易得到投资组合期望收益与标准差之间的关系：
❖ 投资者在最有资产组合的选择中只关心资产的均值、方差 以及协方差。
❖ 最有资产组合就是使投资者效用达到最大的资产组合，换 句话说，投资者在资产组合的选择过程中遵循效用最大化 原则。
一、不同市场环境下最优资产组合的选择
➢
定义效用为收益率的均值和标准差的函数，即
U U (, ),其中 E r%, Var(r%)
❖ 资本配置线的斜率等于资产组合每增加以单位标准差所增加 的期望收益，也即每单位额外风险的额外收益。因此，我们 有时候也将这一斜率称为报酬与波动性比率
❖ 一般来讲，存款利率要低于贷款利率。如果把存款利率视为无 风险收益率，那么投资者的贷款利率就要高于无风险利率。此 时，资本配置线就变成一条折线。
二、两个风险资产的组合