导数的概念及其计算
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y′ | x x0 , 即 f ′(x0)＝
x 0
lim
f ( x0 x) f ( x0 ) . x
(2)导数的几何意义：函数 y＝f(x)在点 x0 处的导数 f′(x0)，就是曲线 y＝f(x)在点 P(x0，y0)处的切线的 斜率 . (3)导数的物理意义：函数 s＝s(t)在点 t0 处的导数 s′(t0)，就是物体的运动方程为 s＝s(t)在时刻 t0 时的 瞬时 速度 v.即 v＝s′(t0)．
x 0
探究提高 由导数的定义可知，求函数 y＝f(x)的导数的 一般方法是： (1)求函数的改变量 Δy＝f(x＋Δx)－f(x)； Δy f(x＋Δx)－f(x) (2)求平均变化率Δx＝ ； Δx Δy y （3）取极限，得导数 lim Δx.
x0
变式训练 1 过曲线 y＝ f (x)＝ x3 上两点 P(1,1)和 Q(1＋ Δ x,1＋Δ y)作曲线的割线， 求出当 Δ x＝ 0.1 时割线的 斜率，并求曲线在点 P 处切线的斜率．
2．曲线 y＝f(x)“在点 P(x0，y0)处的切线”与“过点 P(x0，y0)的切线”的区别与联系 (1)曲线 y＝f(x)在点 P(x0，y0)处的切线是指 P 为切点， 切线斜率为 k＝f′(x0)的切线，是唯一的一条切线． (2)曲线 y＝f(x)过点 P(x0，y0)的切线，是指切线经过 P 点．点 P 可以是切点，也可以不是切点，而且这样的 直线可能有多条．
基础自测 1． 已知函数 f ( x) ＝13－8 x＋ 2 x ， 且 f ' ( x0 ) ＝
2
3 2 4，则 x0 的值为________.
解析
f ' ( x) ＝－8＋2 2x，
f ' ( x0 ) ＝－8＋2 2 x0 ＝4，∴ x0 ＝3 2.
2 ．曲线 y ＝ 2 x 2 在点( －1,2) 处的切线方程为 ____________ 4x＋y＋2=0 ．
批阅笔记 (1)解决此类问题一定要分清“在某点处的 切线”，还是“过某点的切线”的问法． (2)解决“过某点的切线”问题， 一般是设出切点坐标为 P(x0，y0)，然后求其切线斜率 k＝f′(x0)，写出其切线方 程．而“在某点处的切线”就是指“某点”为切点． (3)易错点是：在第(2)问中，多数学生误以为点(2,4)就是 切点，从而导致错误． (4)错因分析：一般情况下，受思维定势的影响，有些人 认为直线与曲线相切时，有且只有一个公共点，这是错 误的．依据切线斜率的导数定义可知，切线可以和曲线 有除切点外的其他公共点．
解 ∵y′＝2ax＋b， ∴抛物线在 Q(2，－1)处的切线斜率为 k＝y′|x＝2＝ 4a＋b. ∴4a＋b＝1.① 又∵P(1,1)、Q(2，－1)在抛物线上， ∴a＋b＋c＝1，② 4a＋2b＋c＝－1.③ a＝3， 联立①②③解方程组，得b＝－11， c＝9. ∴实数 a、b、c 的值分别为 3、－11、9.
审题视角 (1)曲线在(2,4)处的切线，即切点为(2,4)； (2)曲线过点(2,4)的切线，(2,4)不一定是切点，所以要 先设切点．
规范解答
31 31 解 (1)当 x＝3 时，y＝ 3 ，即点 P3， 3 ， ∵y′＝x2， 31 ∴在点 P3， 3 处的切线的斜率 k＝y′|x＝3＝9.[2 分] 31 31 ∴曲线在点 P 3， 3 处的切线方程为 y－ 3 ＝9(x－3)， 即 27x－3y－50＝0. [4 分] 1 3 4 (2) 设曲线 y ＝ 3 x ＋ 3 与过点 P(2,4) 的切线相切于点 1 3 4 Ax0，3x0＋3， [6 分] 则切线的斜率 k y |x x ＝x2 0. 1 3 4 ∴切线方程为 y－3x0＋3＝x2 0(x－x0)，
x 0
x
x 0
x
3．求导数的方法 （1）常用的导数公式 C′＝ 0 (C 为常数)； （2）导数的运算法则 [f(x)± g(x)]′＝f ′(x)±g′(x); [c·f ′(x)]′=cf ′(x)(c 为常数)．
n －1 (xn)′＝ mx (n∈ N* )；
[难点正本
疑点清源]
解析 由题意知 f ′( x )＝4 a x 3＋2b x ，
( B
)
∴ f ′( x )为奇函数．若 f ′(1)＝2，即 f ′(1) ＝4 a ＋2b＝2，∴ f ′(－1)＝－ f ′(1) ＝－4 a －2b＝－2
点评 注意到 f ( x )的导函数是一个奇函数．
f ′(－1)＝－ f ′(1)．
解析 ∵ y ＝2 x ，∴ y ′＝4 x ，
2
y ′|x＝－1＝－4.
故在点(－1,2)处的切线方程为 y －2＝ －4( x ＋1)， 化简得 4 x ＋ y ＋2＝0.
3．已知 f ( x) ＝ x ＋3 x f ' (2)，则 f ' (2)＝________. －2
2
解析 由题意得 f ' ( x )＝2 x ＋3 f ' (2)， ∴ f (2)＝2×2＋3 f (2)，∴ f (2)＝－2.
y ＝ x
lim y ＝ lim
x 0
x
x 0
[3＋3导数
求下列函数的导数．
(1)y＝(2x3－1)(3x2＋x)； (2)y＝3(2x＋1)2－4x.
思维启迪：解析式无法直接用公式求导数，展开再求 导数．
解 (1)∵y＝6x5＋2x4－3x2－x， ∴y′＝(6x5＋2x4－3x2－x)′＝30x4＋8x3－6x－1. (2)∵y＝3(4x2＋4x＋1)－4x＝12x2＋8x＋3， ∴y′＝(12x2＋8x＋3)′＝24x＋8.
思想方法
方法与技巧
感悟提高
1．在对导数的概念进行理解时，特别要注意 f′(x0)与 (f(x0))′是不一样的，f′(x0)代表函数 f(x)在 x＝x0 处 的导数值，不一定为 0；而(f(x0))′是函数值 f(x0)的 导数，而函数值 f(x0)是一个常量，其导数一定为 0， 即(f(x0))′＝0. 2．对于函数求导，一般要遵循先化简再求导的基本原 则．求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要 特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简 时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运 算失误．
第十三章
§13.1
1．导数的概念及意义
导 数
自主学习
导数的概念及其运算
基础知识
（1）导数的定义：设函数 y=f (x)在 x=x0 处附近有定 义， 当自变量在 x=x0 处有增量Δ x 时， 则函数 y=f (x)
) Δ x→0 0 相应地有增量Δ y= f(x0+Δ x)-f(x. 如果 Δy 时，Δ y 与Δ x 的比 (也叫函数的平均变化率)有 Δx Δy 极限(即 无限趋近于某个常数)，我们就把这个极 Δx 限值叫做函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的导数，记作
0
即
2 3 4 2 y＝x0x－ x0＋ . 3 3 2 3 4 2 P(2,4)在切线上，∴4＝2x0－ x0＋ ，
[8 分]
∵点
[10 分] 3 3 3 3 2 2 即 x0 －3x2 ＋ 4 ＝ 0 ， ∴ x ＋ x － 4 x 0 0 0 0＋4＝0， 2 ∴x0 (x0＋1)－4(x0＋1)(x0－1)＝0， ∴(x0＋1)(x0－2)2＝0，解得 x0＝－1 或 x0＝2， 故所求的切线方程为 x－y＋2＝0 或 4x－y－4＝0.[12 分]
1 综上，所求曲线的切线方程为 y＝2x 或 y＝－ x. 4
点评 “过某点”与“在某点处”的切线是不同的，过 某点的切线，此点并不一定是切点，在某点处的切线才 表明此点是切点．
易错警示 18． 分不清“曲线在点 P 处的切线”与“曲线过点 P 的 切线”的区别致误 1 3 4 试题：(12 分)已知曲线 y＝ x ＋ . 3 3 (1)求曲线在(2,4)处的切线方程； (2)求曲线过点(2,4)的切线方程．
探究提高在求导过程中，要注意符号的变化．
变式训练 2
求下列函数的导数．
(1)y＝x2(x＋1)(x＋2)． (2)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)．
解 (1)∵y＝x2(x2＋3x＋2)＝x4＋3x3＋2x2， ∴y′＝4x3＋9x2＋4x. (2)∵y＝(x2＋3x＋2)(x＋3)＝x3＋6x2＋11x＋6， ∴y′＝3x2＋12x＋11.
题型三 例3
导数的几何意义
已知抛物线 y＝ax2＋bx＋c 过点 P(1,1)，且在点
Q(2，－1)处与直线 y＝x－3 相切，求实数 a、b、c 的值．
思维启迪：函数 y＝ax2＋bx＋c 在点 Q(2，－1)处的导数 值等于切线斜率为 1，且点 Q(2，－1)、点 P(1,1)都在抛 物线上．
题型分类
题型一 例1
深度剖析
利用导数的定义求函数的导数
利用导数的定义求函数 y＝2x(x2－4)的导数．
Δy f(x＋Δx)－f(x) 思维启迪：紧扣定义Δx＝ 进行求解． Δx
解 y＝2x(x2－4)＝2x3－8x. 则 Δy＝[2(x＋Δx)3－8(x＋Δx)]－(2x3－8x) ＝(6x2－8)Δx＋6x(Δx)2＋2(Δx)3 Δy ∴Δx＝(6x2－8)＋6x·Δx＋2(Δx)2 2 2 2 y lim [(6x －8)＋6x·Δx＋2(Δx) ]＝6x －8.
1．深刻理解“函数在一点处的导数”、“导函数”、“导 数”的区别与联系 (1)函数 f(x)在点 x0 处的导数 f′(x0)是一个常数； (2)函数 y＝f(x)的导函数，是针对某一区间内任意点 x 而 言的．如果函数 y＝f(x)在区间(a，b)内每一点 x 都可导， 是指对于区间(a，b)内的每一个确定的值 x0 都对应着一 个确定的导数 f′(x0)． 这样就在开区间(a， b)内构成了一 个新函数，就是函数 f(x)的导函数 f′(x)．在不产生混淆 的情况下，导函数也简称导数．
' ' '
1 1 4．已知曲线 y＝8x2 的一条切线的斜率为2，则切点的横坐 标为( C ) A．4 B．3 C．2 1 D. 2
1 2 1 1 解析 y＝8x ，得 y′＝4x＝2，∴x＝2.
5．若函数 f (x)＝ a x 4＋b x 2＋c 满足 f ′(1)＝2 则
f ′(－1)等于
A．－1 B．－2 C．2 D．0
探究提高 利用导数求切线斜率是行之有效的方法，它 适用于任何可导函数，解题时要充分运用这一条件，才 能使问题迎刃而解．解答本题常见的失误是不注意运用 点 Q(2，－1)在曲线上这一关键的隐含条件．
变式训练 3 求曲线 f(x)＝x3－3x2＋2x 过原点的切线 方程． 解 f′(x)＝3x2－6x＋2.设切线的斜率为 k. (1)当切点是原点时 k＝f′(0)＝2， 所以所求曲线的切线方程为 y＝2x. (2)当切点不是原点时，设切点是(x0，y0)， 2 则有 y0＝x3 0－3x0＋2x0， k＝f′(x0)＝3x2 0－6x0＋2，① y0 2 又 k＝x ＝x0－3x0＋2，② 0 3 y0 1 由①②得 x0＝2，k＝x ＝－4. 0 1 ∴所求曲线的切线方程为 y＝－4x.
2．导函数 如果函数 y＝f(x)在开区间(a，b)内每一点处都有导数， 此时对于每一个 x∈(a,b) ,都对应着一个确定的导数 f ′(x),从而构成了一个新的函数 f ′(x).称这个函数 f ′(x)为函数 y=f (x)在开区间内的 导函数 ， 简称导数, y f ( x x) f ( x) . 也可记作 y′ , 即 f ′(x)=y′= lim lim
解 ∵Δ y ＝f(1＋ x )－f(1)＝(1＋ x )3－1＝3 x ＋3( x )2
3x 3x 2 x3 y 3 ＋( x ) ，∴割线 PQ 的斜率为 ＝ x
x
＝3＋3 x ＋( x )2.∴当 x ＝0.1 时， 割线 PQ 的斜率为
3＋3×0.1＋(0.1)2＝3.31，曲线在点 P(1,1)处切线的斜率为
x 0
lim
f ( x0 x) f ( x0 ) . x
(2)导数的几何意义：函数 y＝f(x)在点 x0 处的导数 f′(x0)，就是曲线 y＝f(x)在点 P(x0，y0)处的切线的 斜率 . (3)导数的物理意义：函数 s＝s(t)在点 t0 处的导数 s′(t0)，就是物体的运动方程为 s＝s(t)在时刻 t0 时的 瞬时 速度 v.即 v＝s′(t0)．
x 0
探究提高 由导数的定义可知，求函数 y＝f(x)的导数的 一般方法是： (1)求函数的改变量 Δy＝f(x＋Δx)－f(x)； Δy f(x＋Δx)－f(x) (2)求平均变化率Δx＝ ； Δx Δy y （3）取极限，得导数 lim Δx.
x0
变式训练 1 过曲线 y＝ f (x)＝ x3 上两点 P(1,1)和 Q(1＋ Δ x,1＋Δ y)作曲线的割线， 求出当 Δ x＝ 0.1 时割线的 斜率，并求曲线在点 P 处切线的斜率．
2．曲线 y＝f(x)“在点 P(x0，y0)处的切线”与“过点 P(x0，y0)的切线”的区别与联系 (1)曲线 y＝f(x)在点 P(x0，y0)处的切线是指 P 为切点， 切线斜率为 k＝f′(x0)的切线，是唯一的一条切线． (2)曲线 y＝f(x)过点 P(x0，y0)的切线，是指切线经过 P 点．点 P 可以是切点，也可以不是切点，而且这样的 直线可能有多条．
基础自测 1． 已知函数 f ( x) ＝13－8 x＋ 2 x ， 且 f ' ( x0 ) ＝
2
3 2 4，则 x0 的值为________.
解析
f ' ( x) ＝－8＋2 2x，
f ' ( x0 ) ＝－8＋2 2 x0 ＝4，∴ x0 ＝3 2.
2 ．曲线 y ＝ 2 x 2 在点( －1,2) 处的切线方程为 ____________ 4x＋y＋2=0 ．
批阅笔记 (1)解决此类问题一定要分清“在某点处的 切线”，还是“过某点的切线”的问法． (2)解决“过某点的切线”问题， 一般是设出切点坐标为 P(x0，y0)，然后求其切线斜率 k＝f′(x0)，写出其切线方 程．而“在某点处的切线”就是指“某点”为切点． (3)易错点是：在第(2)问中，多数学生误以为点(2,4)就是 切点，从而导致错误． (4)错因分析：一般情况下，受思维定势的影响，有些人 认为直线与曲线相切时，有且只有一个公共点，这是错 误的．依据切线斜率的导数定义可知，切线可以和曲线 有除切点外的其他公共点．
解 ∵y′＝2ax＋b， ∴抛物线在 Q(2，－1)处的切线斜率为 k＝y′|x＝2＝ 4a＋b. ∴4a＋b＝1.① 又∵P(1,1)、Q(2，－1)在抛物线上， ∴a＋b＋c＝1，② 4a＋2b＋c＝－1.③ a＝3， 联立①②③解方程组，得b＝－11， c＝9. ∴实数 a、b、c 的值分别为 3、－11、9.
审题视角 (1)曲线在(2,4)处的切线，即切点为(2,4)； (2)曲线过点(2,4)的切线，(2,4)不一定是切点，所以要 先设切点．
规范解答
31 31 解 (1)当 x＝3 时，y＝ 3 ，即点 P3， 3 ， ∵y′＝x2， 31 ∴在点 P3， 3 处的切线的斜率 k＝y′|x＝3＝9.[2 分] 31 31 ∴曲线在点 P 3， 3 处的切线方程为 y－ 3 ＝9(x－3)， 即 27x－3y－50＝0. [4 分] 1 3 4 (2) 设曲线 y ＝ 3 x ＋ 3 与过点 P(2,4) 的切线相切于点 1 3 4 Ax0，3x0＋3， [6 分] 则切线的斜率 k y |x x ＝x2 0. 1 3 4 ∴切线方程为 y－3x0＋3＝x2 0(x－x0)，
x 0
x
x 0
x
3．求导数的方法 （1）常用的导数公式 C′＝ 0 (C 为常数)； （2）导数的运算法则 [f(x)± g(x)]′＝f ′(x)±g′(x); [c·f ′(x)]′=cf ′(x)(c 为常数)．
n －1 (xn)′＝ mx (n∈ N* )；
[难点正本
疑点清源]
解析 由题意知 f ′( x )＝4 a x 3＋2b x ，
( B
)
∴ f ′( x )为奇函数．若 f ′(1)＝2，即 f ′(1) ＝4 a ＋2b＝2，∴ f ′(－1)＝－ f ′(1) ＝－4 a －2b＝－2
点评 注意到 f ( x )的导函数是一个奇函数．
f ′(－1)＝－ f ′(1)．
解析 ∵ y ＝2 x ，∴ y ′＝4 x ，
2
y ′|x＝－1＝－4.
故在点(－1,2)处的切线方程为 y －2＝ －4( x ＋1)， 化简得 4 x ＋ y ＋2＝0.
3．已知 f ( x) ＝ x ＋3 x f ' (2)，则 f ' (2)＝________. －2
2
解析 由题意得 f ' ( x )＝2 x ＋3 f ' (2)， ∴ f (2)＝2×2＋3 f (2)，∴ f (2)＝－2.
y ＝ x
lim y ＝ lim
x 0
x
x 0
[3＋3导数
求下列函数的导数．
(1)y＝(2x3－1)(3x2＋x)； (2)y＝3(2x＋1)2－4x.
思维启迪：解析式无法直接用公式求导数，展开再求 导数．
解 (1)∵y＝6x5＋2x4－3x2－x， ∴y′＝(6x5＋2x4－3x2－x)′＝30x4＋8x3－6x－1. (2)∵y＝3(4x2＋4x＋1)－4x＝12x2＋8x＋3， ∴y′＝(12x2＋8x＋3)′＝24x＋8.
思想方法
方法与技巧
感悟提高
1．在对导数的概念进行理解时，特别要注意 f′(x0)与 (f(x0))′是不一样的，f′(x0)代表函数 f(x)在 x＝x0 处 的导数值，不一定为 0；而(f(x0))′是函数值 f(x0)的 导数，而函数值 f(x0)是一个常量，其导数一定为 0， 即(f(x0))′＝0. 2．对于函数求导，一般要遵循先化简再求导的基本原 则．求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要 特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简 时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运 算失误．
第十三章
§13.1
1．导数的概念及意义
导 数
自主学习
导数的概念及其运算
基础知识
（1）导数的定义：设函数 y=f (x)在 x=x0 处附近有定 义， 当自变量在 x=x0 处有增量Δ x 时， 则函数 y=f (x)
) Δ x→0 0 相应地有增量Δ y= f(x0+Δ x)-f(x. 如果 Δy 时，Δ y 与Δ x 的比 (也叫函数的平均变化率)有 Δx Δy 极限(即 无限趋近于某个常数)，我们就把这个极 Δx 限值叫做函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的导数，记作
0
即
2 3 4 2 y＝x0x－ x0＋ . 3 3 2 3 4 2 P(2,4)在切线上，∴4＝2x0－ x0＋ ，
[8 分]
∵点
[10 分] 3 3 3 3 2 2 即 x0 －3x2 ＋ 4 ＝ 0 ， ∴ x ＋ x － 4 x 0 0 0 0＋4＝0， 2 ∴x0 (x0＋1)－4(x0＋1)(x0－1)＝0， ∴(x0＋1)(x0－2)2＝0，解得 x0＝－1 或 x0＝2， 故所求的切线方程为 x－y＋2＝0 或 4x－y－4＝0.[12 分]
1 综上，所求曲线的切线方程为 y＝2x 或 y＝－ x. 4
点评 “过某点”与“在某点处”的切线是不同的，过 某点的切线，此点并不一定是切点，在某点处的切线才 表明此点是切点．
易错警示 18． 分不清“曲线在点 P 处的切线”与“曲线过点 P 的 切线”的区别致误 1 3 4 试题：(12 分)已知曲线 y＝ x ＋ . 3 3 (1)求曲线在(2,4)处的切线方程； (2)求曲线过点(2,4)的切线方程．
探究提高在求导过程中，要注意符号的变化．
变式训练 2
求下列函数的导数．
(1)y＝x2(x＋1)(x＋2)． (2)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)．
解 (1)∵y＝x2(x2＋3x＋2)＝x4＋3x3＋2x2， ∴y′＝4x3＋9x2＋4x. (2)∵y＝(x2＋3x＋2)(x＋3)＝x3＋6x2＋11x＋6， ∴y′＝3x2＋12x＋11.
题型三 例3
导数的几何意义
已知抛物线 y＝ax2＋bx＋c 过点 P(1,1)，且在点
Q(2，－1)处与直线 y＝x－3 相切，求实数 a、b、c 的值．
思维启迪：函数 y＝ax2＋bx＋c 在点 Q(2，－1)处的导数 值等于切线斜率为 1，且点 Q(2，－1)、点 P(1,1)都在抛 物线上．
题型分类
题型一 例1
深度剖析
利用导数的定义求函数的导数
利用导数的定义求函数 y＝2x(x2－4)的导数．
Δy f(x＋Δx)－f(x) 思维启迪：紧扣定义Δx＝ 进行求解． Δx
解 y＝2x(x2－4)＝2x3－8x. 则 Δy＝[2(x＋Δx)3－8(x＋Δx)]－(2x3－8x) ＝(6x2－8)Δx＋6x(Δx)2＋2(Δx)3 Δy ∴Δx＝(6x2－8)＋6x·Δx＋2(Δx)2 2 2 2 y lim [(6x －8)＋6x·Δx＋2(Δx) ]＝6x －8.
1．深刻理解“函数在一点处的导数”、“导函数”、“导 数”的区别与联系 (1)函数 f(x)在点 x0 处的导数 f′(x0)是一个常数； (2)函数 y＝f(x)的导函数，是针对某一区间内任意点 x 而 言的．如果函数 y＝f(x)在区间(a，b)内每一点 x 都可导， 是指对于区间(a，b)内的每一个确定的值 x0 都对应着一 个确定的导数 f′(x0)． 这样就在开区间(a， b)内构成了一 个新函数，就是函数 f(x)的导函数 f′(x)．在不产生混淆 的情况下，导函数也简称导数．
' ' '
1 1 4．已知曲线 y＝8x2 的一条切线的斜率为2，则切点的横坐 标为( C ) A．4 B．3 C．2 1 D. 2
1 2 1 1 解析 y＝8x ，得 y′＝4x＝2，∴x＝2.
5．若函数 f (x)＝ a x 4＋b x 2＋c 满足 f ′(1)＝2 则
f ′(－1)等于
A．－1 B．－2 C．2 D．0
探究提高 利用导数求切线斜率是行之有效的方法，它 适用于任何可导函数，解题时要充分运用这一条件，才 能使问题迎刃而解．解答本题常见的失误是不注意运用 点 Q(2，－1)在曲线上这一关键的隐含条件．
变式训练 3 求曲线 f(x)＝x3－3x2＋2x 过原点的切线 方程． 解 f′(x)＝3x2－6x＋2.设切线的斜率为 k. (1)当切点是原点时 k＝f′(0)＝2， 所以所求曲线的切线方程为 y＝2x. (2)当切点不是原点时，设切点是(x0，y0)， 2 则有 y0＝x3 0－3x0＋2x0， k＝f′(x0)＝3x2 0－6x0＋2，① y0 2 又 k＝x ＝x0－3x0＋2，② 0 3 y0 1 由①②得 x0＝2，k＝x ＝－4. 0 1 ∴所求曲线的切线方程为 y＝－4x.
2．导函数 如果函数 y＝f(x)在开区间(a，b)内每一点处都有导数， 此时对于每一个 x∈(a,b) ,都对应着一个确定的导数 f ′(x),从而构成了一个新的函数 f ′(x).称这个函数 f ′(x)为函数 y=f (x)在开区间内的 导函数 ， 简称导数, y f ( x x) f ( x) . 也可记作 y′ , 即 f ′(x)=y′= lim lim
解 ∵Δ y ＝f(1＋ x )－f(1)＝(1＋ x )3－1＝3 x ＋3( x )2
3x 3x 2 x3 y 3 ＋( x ) ，∴割线 PQ 的斜率为 ＝ x
x
＝3＋3 x ＋( x )2.∴当 x ＝0.1 时， 割线 PQ 的斜率为
3＋3×0.1＋(0.1)2＝3.31，曲线在点 P(1,1)处切线的斜率为