机器人运动学第四讲

3.1 机器人的位姿描述 一、机器人位姿的表示 1、位置的表示 坐标系建立后，任意点p在空间的位 置可以用一个3×1的位置矢量来描述； 例如，点p在{A}坐标系中表示为：
ｚ ｐ(ｘ,ｙ,ｚ)
px A P py pz
ｘ
ｏ
{A}
ｙ
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3.2 齐次变换及运算
4、常用的旋转变换 ①、绕z轴旋转θ 角 坐标系{i}和坐标系{j}的原点合， 坐标系{j}的坐标轴方向相对于坐标系{i} 绕轴旋转了一个θ 角。θ 角的正负一般 按右手法则确定，即由z轴的矢端看，逆 ｚi 时钟为正。 ｚ
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3.2 齐次变换及运算
• 若给定一旋转矩阵:
r11 R K ( ) r21 r31 r12 r22 r32 r13 r23 r22
• 则可计算出：
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α
ｙi
ｘi
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3.2 齐次变换及运算
③绕y轴旋转β角的旋转变换矩阵为：
ｚi ｚj
β
ｏi
ｏj
β
ｙj ｙi
ｘi
ｘj
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3.2 齐次变换及运算
• 绕任意轴的转动 设绕k轴转动θ 角，则旋转矩阵为：
其中：
0 0 1 0
px x j py y j pz z j 1 1
i p j p M ij 1 1
式中，M ij ——齐次坐标变换矩阵， 它是一个4×4的矩阵。
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机器人的任务
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第3章
机器人运动学
运动学研究的问题： 手在空间的位姿 及运动与各个关节的 位姿及运动之间的关 系。 其中： 正问题：已知关节运 动，求手的运动。 逆问题：已知手的运 动，求关节运动。
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A B A R 1 B RT B A R
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3.1 机器人的位姿描述
3、位姿的统一表示 定义一组四向量矩阵[R P]，如图。其中， R表示{j}相对{i}的姿态，P表示{j}的原 点相对{i}的位移。 ｚj 我们可以将{j}坐标 系相对{i}坐标系描述为： ｚi ｘj
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3.2 齐次变换及运算
联合变换与单步齐次变换矩阵的关系： 任何一个齐次坐标变换矩阵均可分解为一个平移变 换矩阵与一个旋转变换矩阵的乘积，即：
nx n M ij y nz 0 ox oy oz 0 ax ay az 0 p x 1 0 py pz 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 px nx n py y p z nz 1 0 ox oy oz 0 ax ay az 0 0 0 0 1
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22 October 2018
3.2 齐次变换及运算 3.2.2、齐次坐标变换
1、齐次坐标的定义 空间中任一点在直角坐标系中的三个坐标分量用 ( x , y, z ) 表示，若有四个不同时为零的数 ( x, y, z, k )
与三个直角坐标分量之间存在以下关系：
i
p ji R j p i p jorg
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3.2 齐次变换及运算
将其写成统一的矩阵形式则有：
x i cos y si n i zi 0 1 0
si n cos 0 0
3.2 齐次变换及运算
①齐次坐标变换矩阵的意义 若将齐次坐标变换矩阵分块，则有：
cos sin M ij 0 0
sin cos 0 0
0 0 1 0
px z , py R ij pz 0 1
pij 1
意义：左上角的3×3矩阵是两个坐标系之间的旋转变换 矩阵，它描述了姿态关系；右上角的3×1矩阵是两个 坐标系之间的平移变换矩阵，它描述了位置关系，所 以齐次坐标变换矩阵又称为位姿矩阵。
j
ｏi ｘi ｏj
θ
θ
ｙj
ｙi
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ｘj
3.2 齐次变换及运算
0 x j cos 0 y j 0 1 z j 上式也可以表示坐标系固定，向 量绕Z轴反向转动θ 角。 xi y i zi cos si n 0 si n
0 0.866 0.5 0 0 0 . 5 0 . 866 0 1 0 1 0
12 0.866 0.5 0 5 11.830 9 13.794 rA p AB RAB rB 6 0.5 0.866 0 0 1 0 0 0 0
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3.1 机器人的位姿描述
• R 称为坐标系{B}相对{A}的旋转矩阵。
A B
旋转矩阵的性质： 1、三个列向量两两正交。 2、每一行是{A}的基矢量在{B}中的分量表示。 3、旋转矩阵是正交矩阵，其行列式等于1。 4、它的逆矩阵等于它的转置矩阵，即：
例：已知坐标系{B}的初始位置与坐标系{A}重合，首先 坐标系{B}沿坐标系{A}的x轴移动12个单位，并沿坐 标系{A}的y轴移动6个单位，再绕坐标系{A}的z轴旋 转30°，求平移变换矩阵和旋转变换矩阵。假设某
点在坐标系{B}中的矢量为rB 5i 9 j 0k ，求该点
3.1 机器人的位姿描述
2、姿态（或称方向）的表示 刚体的姿态可以用附着于刚体上的 坐标系（用{B}表示）来表示；因此，刚 体相对于坐标系{A}的姿态等价于{B}相 对于{A}的姿态。 坐标系{B}相对于{A}的姿态表示可 以用坐标系{B}的三个基矢量xB、xB和xB 在{A}中的表示给出， 即[AxB AxB AxB] ,它 是一个3×3矩阵，它的每一列为 {B}的基 矢量在{A}中的分量表示。
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3.2 齐次变换及运算
齐次变换的逆变换
cos si n M ji 0 0
T Rij 0
si n 0 cos ( p x ) si n ( p y ) 0 ( pz ) cos 0 ( si n ) ( p x ) cos ( p y ) 0 ( pz ) 0 1 0 ( p x ) 0 ( p y ) 1 ( pz ) 0 0 1 T Rij pij 1
cos RZ ( ) sin 0
sin 0 cos 0 0 1
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3.2 齐次变换及运算
②、绕x轴旋转α角的旋转变换矩阵为：
ｚi
ｚj
α
ｙj ｏi ｏj ｘj
i' i
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3.2 齐次变换及运算
若坐标系{i}和坐标系{j}之间是先旋 转变换，后平移变换，则上述关系是应 如何变化？
i
p R（ p p jorg）
i j j i
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3.2 齐次变换及运算
i
xi g p j yi g j p j zi g j p
j
j
ｚi ｚj
p
即：
p ji R j p
ｏi ｘi ｏj ｘj
ｙj
ｙi
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3.2 齐次变换及运算
3、另一种解释 对同一个数学表达式可以给出多种不 同的解释，前面介绍的是同一个向量在不 同的坐标系的表示之间的关系。 上述数学关系也可以在同一个坐标系 中解释的向量的“向前”移动或旋转，或 则，坐标系“向后”的移动或旋转。 例如:2P= R 1P
T 1 ( Rij Rij )
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3.2 齐次变换及运算
齐次变换的逆变换 若齐次坐标变换矩阵为：
nx ox a x n o a y y M ij y nz o z a z 0 0 0
则：
T R 1 M ji M ij ij 0
i
P j P i Pjorg
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3.2 齐次变换及运算 2、旋转 设坐标系{i}和坐标系{j}的原点重 合，但它俩的姿态不同。设有一向量P， 它在{j}坐标系中的表示为jP，它在{i} 中如何表示？ 考虑分量：
i i i
px py pz
{j} { R p jorg }
i j i
ｘi
ｏi
p
ｏj ｙj
ｙi
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3.2 齐次变换及运算
•3.2.1、不同直角坐标系表示之间的关系 1、平移 设坐标系{i}和坐标系{j}具有相同的姿 态，但它俩的坐标原点不重合，若用3×1矩 阵iPjorg表示坐标系{j}的原点相对坐标系{i} 的表示，则同一向量 在两个坐标系中的表 示的关系为：
x y z x , y ,z k k k
则称 ( x, y, z, k )是空间该点的齐次坐标。
以后用到齐次坐标时，一律默认k=1 。
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3.2 齐次变换及运算
2、齐次坐标变换 为何使用齐次坐标 在进行联合变换时，变换关系为：
基矢量都是单 B ) cos( xA , yB ) cos( x Az , B ) R cos( yA , x B ) cos( y A, y cos( y Az , B ) B) , x B ) cos( zA , yB ) cos( zA , zB ) cos( zA
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3.1 机器人的位姿描述 即：
xB gxA yB gxA zB gxA x gy y gy z gy A A A A R [ x y z ] B B B B B A B A B A xB gz A yB gz A zB gz A
在坐标系{A}中的矢量。
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3.2 齐次变换及运算
解：由题意可得平移变换矩阵和旋转变换矩阵分别为：
12 ，
RAB
则：
p AB 6 0
cos 30 sin30 0
sin30 cos 30 0
3.2 齐次变换及运算
•5、联合（平移+旋转） 设坐标系{i}和坐标系{j}坐标原点不重 合并具有不同的姿态。则空间任一矢量在坐 标系{i}和坐标系{j} 之间有以下关系：
i
p p pi 'org i' j i j R p p jorg i j i j R p p jorg