散度梯度旋度

散度，旋度，梯度的学习与探究

摘要：本论文主要介绍了梯度、散度与旋度的概念、性质以及相关公式，研究了它们的一些应用，其中包括共轭梯度法、斯托克斯定理等等。

关键词：梯度；散度；旋度；共轭梯度法

英文题目：

Key word:

一引言：近年来,梯度、散度以及旋度广泛应用于地球物理学、生命科学、材料科学、遥感技术、模式识别、信号处理等领域,有着广泛而重要的应用背景,成为应用数学和系统科学的一个热门学科。而且物理学中，梯度、散度、旋度更加发挥了它的魅力所在，

二研究问题及结果

相关公式：设F，G为标量场，a，b为矢量场，并设它们连续且存在二阶偏导数。

+=∇+=∇+∇

F G F G F G

grad()()

FG FG G F F G

=∇=∇+∇

grad()()

a b a b a b

+=∇⋅+=∇⋅+∇⋅

div()()

a b a b a b

+=∇⨯+=∇⨯+∇⨯

curl()()

=∇⋅=∇⋅+∇⋅

a a a a

F F F F

div()()()()

a a a a

=∇⨯=∇⨯+∇⨯

curl()()()()

F F F F

div()()()()

a b a b a b a b

⨯=∇⋅⨯=∇⨯⋅-⋅∇⨯

a b a b b a a b+b a a b

curl()()()()()()

⨯=∇⨯⨯=⋅∇-⋅∇∇⋅-∇⋅

⋅=∇⋅=⋅∇+⋅∇+⨯∇⨯+⨯∇⨯

a b a b b a a b b a a b

grad()()()()()()

2

F F F

=∇⋅∇=∇

div grad ()

=∇⨯∇=0

F F

curl grad ()

=∇⋅∇⨯=

a a0

div curl ()

2

=∇⨯∇⨯=∇∇⋅-∇

a a a a

curl curl ()()

1梯度

定义：在向量微积分中，标量场的梯度是一个向量场。标量场中某一点上的梯度指向标量场增长最快的方向，梯度的长度是这个最大的变化率。更严格的说，从欧氏空间Rn到R的函数的梯度是在Rn某一点最佳的线性近似。在这个意义上，梯度是雅戈比矩阵的一个特殊情况。

在单变量的实值函数的情况，梯度只是导数，或者，对于一个线性函数，也就是线的斜率。梯度一词有时用于斜度，也就是一个曲面沿着给定方向的倾斜程度。可以通过取向量梯度和所研究的方向的点积来得到斜度。梯度的数值有时也被成为梯度。在二元函数的情形，设函数z=f (x,y)在平面区域D内具有一阶连续偏导数，则对于每一点P(x,y)∈D，都可以定出一个向量(δf/x)*i+(δf/y)*j，这向量称为函数z=f(x,y)在点P(x,y)的梯度，记作gradf(x,y)

类似的对三元函数也可以定义一个：(δf/x)*i+(δf/y)*j +(δf/z)*k 记为grad[f(x,y,z)]

例题：

2散度

1）定义：在矢量场F中的任一点M处作一个包围该点的任意闭合曲面S，当S所限定的体积ΔV以任何方式趋近于0时，则比值∮F·d S/ΔV的极限称为矢量场F 在点M处的散度，并记作div F由散度的定义可知，di v F表示在点M处的单位体积内散发出来的矢量F的通量，所以div F描述了通量源的密度。div F=▽·F

设某量场由A(x,y,z) = P(x,y,z)i+ Q(x.y,z)j+ R(x,y,z) k给出，其中P、Q、R 具有一阶连续偏导数，Σ 是场内一有向曲面，n是Σ 在点(x,y,z) 处的单位法向量，则∫∫A·n dS 叫做向量场A通过曲面Σ 向着指定侧的

通量，而δP/δx + δQ/δy + δR/δz 叫做向量场A的散度，记作div A，即div A= δP/δx + δQ/δy + δR/δz。上述式子中的δ 为偏微分（partial derivative）符号。

在气象学中：散度指流体运动时单位体积的改变率。简单地说，流体在运动中集中的区域为辐合，运动中发散的区域为辐散。用以表示的量称为散度，值为负时为辐合，此时有利于天气系统的的发展和增强，为正时表示

辐散，有利于天气系统的消散。表示辐合、辐散的物理量为散度。

2）散度（divergence）的运算法则：div (α A + β B ) = α div A+ β div B (α,β为常数)

div (u A ) =u div A+ A grad u (u为数性函数)

3）散度定理的证明及性质

3旋度

定义：设有向量场

A(x,y,z)=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k

在坐标轴上的投影分别为

δR/δy -δQ/δz ，δP/δz -δR/δx ，δQ/δx -δP/δy的向量叫做向量场A的旋度，记作rot A或curl A，即rot A=(δR/δy -δQ/δz )i+(δP/δz -δR/δx )j+(δQ/δx -δP/δy)k式中的δ 为偏微分（partial derivative）符号。行列式记号

旋度rot A的表达式可以用行列式记号形式表示：

若A=Ax·i+Ay·j，

则rotA=(dAy/dx)i-(dAx/dy)j

若A=Ax·i+Ay·j+Az·k

则rotA=(dAz/dy-dAy/dz)i+(dAx/dz-dAz/dx)j+(dAy/d