信息光学-第3章 标量衍射理论-1

1、光波的数学描述
对于如右图所示 的沿某一确定方向传播的平面波，在 xy平面上的复振幅为：（实际系统中总有观察平面）
U x, y, z a exp jkz cos exp jk x cos y cos
a
exp
jkz
1
cos2
cos2
exp
jk
x
cos
y
cos
Aexp jk x cos y cos
r
为波数，表示单位长度上产生的相位变化； 表示观察点P(x,y,z)离开点光源的距离；
a0
表示点光源的振幅。
思考题：对于会聚球面光波，复振幅表达式是什么？
Answer:
U P a0 e jkr
r
1、光波的数学描述
若点光源位于x0y0平面，则与其相距z(z>0)的xy平面上的光场分布是什么？在 z平面上：
第二章 标量衍射理论
光波是电磁波，其传播过程满足电磁波波动方程。当遇 到障碍物时，光波会发生衍射。
电磁波是矢量波，严格电磁场衍射理论必须考虑其电场 强度和磁场强度的矢量性。
一定条件下，可以不考虑电磁场矢量各个分量之间的联 系，电磁波矢量方程可以写为分量方程（标量方程）— — 光波作为标量处理
标量衍射理论条件： （1）衍射孔径比光波长大得多; （2）观察点距离衍射孔足够的远。
因此y方向的空间频率
1 fy Y 0
Y
X= cos
1 cos fx X
f 1
cos fx
单位 ： mm 单位 ： 1/mm
k 2 2 f
kx k cos 2 f x
在xy平面内斜入射，已知平面波波长为750nm， 测量得到在玻璃中（n=1.5）的x方向等位相面 为周期1000nm，求1）波的传播方向，2）介 质中的空间频率；3）y方向的空间频率；4） 介质中的波数；
其中， exp jk x cos y cos
称为平面波的位相因子。 ✓ 思考题：在xy平面内等相位线是什么样的？
Answer: 等位线方程为
xcos y cos C
不同C值所对应的等位相线是在xy平面内的一系列平行线，斜线方向的不 同对应于不同传播方向的平面波（由cosa和cosβ）决定。
4）可以，先求出K=kx/cos，然后求出波长
思考：1）在XY平面上，是朝何 方向传播的平面波？空间频率为 多少？
2）周期X能认为是波长吗？
3）波长应该如何确定？
4）如果已知波的传播方向和Kx， 可以求出波长吗？
任一传播方向的平面波
• 在传播方向余弦为 (cos, cos )
的一般情况下，x-y平面上的等相 位线是一些平行斜线。
代表了一个传播方向余弦为 (cos, cos )
的单色平面波。
我们的不是某一个平面上而是整个空间光场分
布，可以类似地定义沿z方向的空间频率 有
cos fz
平面波在空间的等位相面勒？ 垂直于波矢量K的一系列平面
2.1.4 平面波空间频率
平面波的空间频率是信息光学中常用的基本物理量．深入理解 这个概念的物理含义是很重要的
首先研究波矢量位于xz平面内的简单情况，考虑 cos 0
U (x, y) Aexp( jkx cos)
kx*x
光学问题里面坐标关系比较复杂，建议考虑简单 在坐标系，尽量把复杂问题简单化
平面波空间频率
时刻注意物理图像：
等相位线方程为
在XY平面上是一系列平
行于Y的直线
x cos c
复振幅在xy平面上周期分布的空间周期，可以用相位差的两相
邻等相位线的间距X表示
kXcos =2
则有 X= cos
x方向的空间频率用 f x 表示
单位 ： 1/mm
fx
1 X
cos
等相位线平行于y轴，可以认为沿y方向的空间周期
二次位相因子
思考题： （1）若点光源位于x0y0平面的坐标原点，上式简化为什么？ （2）会聚球面波在徬轴近似下的复振幅表达式是什么？
2.1.3 平面波的复振幅
平面波也是光源最简单的一 种形式。平面波的特点是等相 位面是平面。
在各向同性介质中，等相面与 传播方向垂直，各点的振幅为 常数。
点光源发出的光波经透镜准直， 或者把点光源移到无穷远，可 以近似获得平面波
主要内容
1、光波的数学描述 2、基尔霍夫衍射理论 3、衍射的角谱理论 4、菲涅耳衍射 5、夫朗和费衍射 6、衍射的巴比涅原理 7、衍射光栅 8、菲涅耳衍射和分数傅里叶变换*
ຫໍສະໝຸດ Baidu波的数学描述
1、光波的数学描述
1.2 球面波
单色球面波在空间任意一点P所产生的复振幅为
其中， k 2 r
U P a0 e jkr
1、光波的数学描述
将简化式代入球面波复振幅表达式有：
U P a0 e jkr
r
r z x x0 2 y y0 2
2z
思考，公式中的近似 条件为何位相里面不 考虑成r=z
jk
z
x
x0
2
y
y0
2
U P a e a e e 0
2z
0
jkz
j
k 2z
x
x0
2
y
y0
2
z
z
常量位相因子
r
z2 x x0 2 y y0 2 z
1 x x0 2 y y0 2
z2
对上式进行二项式展开，并考虑徬轴近似，上式可进一步简化为：
r z x x0 2 y y0 2
2z 泰勒公式：f(x)=f(a) + f'(a)(x-a)/1! + f''(a)(x-a)^2/2! + …… + f(n)(a)(x-a)^n/n!
• X-y平面上沿x方向和y方向的复振
幅分布都是周期变化的，其周期空
间X和Y分别为
X= cos
Y cos
• 相应的空间频率分别为
fx
1 X
cos
1 cos fy Y
任一传播方向的平面波
空间频率 ( fx , fy ) 表示x-y平面上的复振幅分布
U (x, y) Aexp j2 ( fxx fy y)
试写出传播方向余弦为(cosα,0)的单色平面波在x-y平 面上的复振幅分布（用空间频率来描述）
( fx cos / , f y 0)
U(x, y) A exp( j2 fxx)
k kx kz;
朝X正方向， fx cos / ;
2）不能，波长应该是不会变长的 3）波长应该由时间域的频率 f 决定，即波形变 化的快慢，不是由空间频率决定的。波长=c/f。 也可由公式：X=波长/cosa得到。