456-第六章 动态经济模型
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第六章 动态经济模型：自回归 模型和分布滞后模型
第一节 引言 第二节 分布滞后模型的估计 第三节 部分调整模型和适应预期模型 第四节 自回归模型的估计 第五节 阿尔蒙多项式分布滞后 第六节 格兰杰因果关系检验
第一节 引言
很多经济过程的实现需要若干周期的时间，因此 需要在我们的计量经济模型中引入一个时间维，通 常的作法是将滞后经济变量引入模型中。让我们用 两个简单的例子说明之。
非线性最小二乘法步骤
（1） 对于λ的每个值，计算 Zt=Xt+λXt-1+λ2Xt-2+…+λPXt-P (3)
P的选择准则是，λP充分小，使得X的P阶以后 滞后值对Z无显著影响。
（2）然后回归下面的方程：
Yt =α+βZt + ut
(4)
（3） 对λ的所有取值重复执行上述步骤，选择回归 上述（4）式时产生最高的R2的λ值，则与此λ值相 对应的α和β的估计值即为该回归所得到的估计值。
其中 t ut (1 )ut1 (1 )2 ut2 ......
令λ=1-δ，β’=βδ，则得
Yt Xt Xt1 2 Xt2 ... t (6)
与上节（2）式形式完全一样。
例 林百度文库纳（lintner）的股息调整模型
J．Lintner建立的股息调整模型是应用部分调整模 型的一个著名实例。
X t1
(1
)
X
e t2
(11)
将（11）式
X
e t 1
X t1
(1
)
X
e t2
代入（9）式
X
e t
X t
(1
)
X
e t 1
，得
X
e t
X t
(1 ) X t1
(1
)
2
X
e t2
(12)
我们可以用类似的方法，消掉（12）式中的
X
动态经济模型
我们上面列举了模型中包含滞后经济变量的两种 情况。第一种是仅包含滞后外生变量的模型，第二 种是包含滞后内生变量的模型。在两种情况下，都 通过一种滞后结构将时间维引入了模型，即实现了 动态过程的构模。
第二节 分布滞后模型的估计
我们在上一节引入了分布滞后模型：
Yt =α+β0Xt +β1Xt-1 +……+βsXt-s + ut (1)
假设你认为因变量Yt与某个变量X的预期值Xte有关，
则可写出模型
Yt
X
e t
ut
(10)
若假定Xte 用适应预期机制确定，这就是一个适应 预期模型，其中解释变量Xte是不可观测的，必须用可
观测变量取代之。
我们用“降阶”法来解决这个问题。如果（9）式 成立，则对于t-1期，它也成立，即：
X
e t 1
短期乘数和长期乘数
在短期内（即期），Yt-1可以认为是固定的，X的变动 对Y的影响为β（短期乘数为β）。从长期看，在忽略 扰动项的情况下，如果Xt趋向于某一均衡水平 X , 则Yt和 Yt-1也将趋向于某一均衡水平 Y ,
Y (1 ) X Y (8)
这意味着 Y X (9) 1
因此，X对Y的长期影响（长期乘数）为β/(1-λ)，若 λ位于0和1之间，则β/（1-λ）>β，即长期影响大 于短期影响。
在这类模型中，由于在X和它的若干期滞后之间 往往存在数据的高度相关，从而导致严重多重共线 性问题。因此，分布滞后模型极少按（1）式这样的 一般形式被估计。通常采用对模型各系数βj施加某 种先验的约束条件的方法来减少待估计的独立参数 的数目，从而解决多重共线性问题。这方面最著名 的两种方法是科克(Koyck)方法和阿尔蒙(Almon)方 法。
从实践的观点来看，科克变换模型很有吸引力， 一个OLS回归就可得到α、β和λ的估计值。这显 然比前面介绍的格点搜索法要省时很多，大大简化 了计算。
可是，科克变换后模型的扰动项为 ut-λut-1 ， 这带来了自相关问题（这种扰动项称为一阶移动平 均扰动项）。并且，解释变量中包含了Yt-1，它是 一个随机变量，从而使得高斯—马尔柯夫定理的解 释变量非随机的条件不成立。此问题的存在使得 OLS估计量是一个有偏和不一致估计量。这可以说 是按下葫芦起了瓢。我们将在第四节中讨论科克模 型的估计问题。
第三节 部分调整模型和适应预期模型
有两个著名的动态经济模型，它们最终可化成与 上一节（2）式相同的几何分布滞后形式，因此都 是科克类型的模型。它们是：
• 部分调整模型
（Partial adjustment model, PDM）
• 适应预期模型
（Adaptive expectations model, AEM）
例2．Yt = α+βYt-1 + ut, t = 1,2,…,n
本例中Y的现期值与它自身的一期滞后值相联系， 即依赖于它的过去值。一般情况可能是：
Yt = f (Yt-1, Yt-2, … , X2t, X3t, … )
即Y的现期值依赖于它自身若干期的滞后值，还依赖 于其它解释变量。
在本例中，滞后的因变量（内生变量）作为解释变 量出现在方程的右端。这种包含了内生变量滞后项 的模型称为自回归模型。
Yt [1 (1 )] Xt (1 ) Xt1 (1 )2Yt2
我们可以用同样的方法置换Yt-2，以及随后的Yt-3, Yt-4,…,直至无穷，结果是将Yt表示为X的当前值和滞 后值的一个滞后结构，系数为科克形式的几何递减权 数，具体形式为：
Yt [ X t (1 ) X t1 (1 )2 X t2 ......] t
X
e t
Xe t 1
(Xt
X
e t 1
)
0 1
(8)
（8）式可写成
X
e t
Xt
(1
)
X
e t 1
0 1
(9)
上式表明，X的预期值是其当前实际值和先前预期 值的加权平均。γ的值越大，预期值向X的实际发 生值调整的速度越快。
适应预期和部分调整之间当然有很多明显的类 似之处，可是从适应预期模型的最初形式导出仅 包含可观测变量的模型（可操作模型）不象在部 分调整模型的情况那么简单。
一、科克分布滞后模型
科克方法简单地假定解释变量的各滞后值的系数 （有时称为权数）按几何级数递减，即：
Yt Xt Xt1 2 Xt2 ...... ut (2)
t 1, 2,..., n
其中 0<λ<1 这实际上是假设无限滞后分布，由于0<λ<1，X 的逐次滞后值对Y的影响是逐渐递减的。
（2）式中仅有三个参数：α、β和λ。但直接估 计（2）式是不可行的。这是因为，首先，估计无 限多个系数不可行。其次，从回归结果中很可能得 不到β和λ的唯一估计值。
估计科克模型的方法
幸运的是，我们有同时解决上述两方面问题的方 法。它们是：
• 非线性最小二乘法 • 科克变换法
非线性最小二乘法
非线性最小二乘法实际上是一种格点搜索法。 首先定义λ的范围（如0-1），指定一个步长（如 0.01），然后每次增加一个步长，依次考虑 0.01,0.02,……0.99。步长越小，结果精确度越高， 当然计算的时间也越长。由于目前计算机速度已不 是个问题，你可以很容易达到你所要求的精度。
Yt – Yt-1=δ（Yt* - Yt-1） (2）
0≤δ≤1, δ称为调整系数。
（2）式
Yt – Yt-1=δ(Yt* - Yt-1)
可改写为：
Yt =δYt* +(1-δ) Yt-1
(2） (3）
从（3）式可看出，Yt是现期理想值和前期实际值 的加权平均。δ的值越高，调整过程越快。如果
δ=1，则Yt=Yt*,在一期内实现全调整。若δ=0，则 根本不作调整。
2、适应预期模型 由上所述，可知在模型中考虑预期的重要性。不
幸的是，在宏观经济领域，不存在令人满意的直接 计量预期的方法。作为一种权宜之计，某些模型使 用一种称为适应预期过程的间接方法。
适应预期过程是一种简单的学习过程，其机制是， 在每一时期中，将所涉及变量的当前观测值与以前 所预期的值相比较，如果实际观测值大，则将预期 值向上调整，如果实际观测值小，则预期值向下调 整。调整的幅度是其预测误差的一个分数，即：
（2）-（5），得
Yt-λYt-1 =α(1-λ)+βXt + ut-λut-1 (6) 所有的X滞后项都消掉了，因此
Yt =α(1-λ)+βXt + λYt-1 + ut-λut-1 (7)
（7）式称为自回归模型，因为因变量的滞后作为 解释变量出现在方程右边。这一形式使得我们可以 很容易分析该模型的短期和长期动态特性（短期乘 数和长期乘数）。
科克变换法
回到科克模型:
Yt Xt Xt1 2 Xt2 ...... ut (2)
t 1, 2,..., n
第二种方法是采用科克变换，（2）式两端取一期 滞后，得： Yt-1 =α+βXt-1 +βλXt-2 +βλ2Xt-3 +…+ ut-1
两端乘以λ，得： λYt-1 =λα+βλXt-1+βλ2Xt-2 +βλ3Xt-3 +…+λut-1 (5)
不难看出，（4）式
Yt=αδ+βδXt+(1-δ)Yt-1+δut
（4）
与变换后的科克模型的形式相似，我们也不难通过对
（4）式中Yt-1进行一系列的置换化为几何分布滞后的 形式:
（4）式两端取一期滞后，得
Yt1 X t1 (1 )Yt2 ut1 (5)
将此式代入（4）式，得到（为简单起见，省略扰动 项）：
各系数在1%显著水平下都显著异于0。
从回归结果可知，（1-λ）的估计值为0.70，因而 调整系数λ的估计值为0.30，即调整速度为0.30。由 于Πt的系数是γλ的估计值，除以0.30，则得到长 期派息率（γ）的估计值为0.50。
二. 、适应预期模型
1、在模型中考虑预期的重要性 预期（expectation）的构模往往是应用经济学家 最重要和最困难的任务，在宏观经济学中更是如此。 投资、储蓄等都是对有关未来的预期很敏感的。如 果政府实施一项扩张政策，这将影响工商界人士有 关未来经济总状况的预期，特别是关于盈利能力的 预期，因而影响他们的投资计划。 例如，如果存在很可观的失业，则政府支出增加 被认为是有益的，并将刺激投资。另一方面，如果 经济正接近充分就业，则政府的扩张政策被认为将 导致通货膨胀，结果是工商界的信心受挫，投资下 降。
在对公司股息行为的研究中，Lintner发现，所有 股份公司都将其税后利润的一部分以股息的形式分配 给股东，其余部分则用作投资。
当利润增加时，股息一般也增加，但通常不会将增 加的利润都用作股息分配，这是因为：
（1）利润的增加可能是暂时的； （2）可能有很好的投资机会。
为了建立一个描述这种行为的模型，Lintner假设各 公司有一个长期的目标派息率γ，理想的股息Dt*与现 期利润Πt有关，其关系为
Dt*=γΠt
而实际股息服从部分调整机制
Dt (Dt* Dt1 ) U t
其中Ut为扰动项。因此
Dt Dt1 (Dt* Dt1 ) U t
t Dt1 U t
即 Dt t (1 )Dt1 U t
使用美国公司部门1918—1941年数据，得到如下回 归结果：
Dˆ t 352.3 0.15t 0.70Dt1
(1）式 Yt* =α+βXt+ut 代入（3）式 Yt =δYt* +(1-δ) Yt-1 ，得到
Yt=αδ+βδXt+(1-δ)Yt-1+δut
用此模型可估计出α、β和δ的值。
（4）
与科克模型类似，这里也存在解释变量为随机变 量的问题（Yt-1）.区别是科克模型中,Yt-1与扰动项
（ut-λut-1）同期相关，而部分调整模型不存在同期 相关。在这种情况下，用OLS法估计，得到的参数估 计量是一个一致的估计量。
一、部分调整模型
在部分调整模型中，假设行为方程决定的是因变
量的理想值（desired value）或均衡值Yt*，而不 是其实际值Yt：
Yt* =α+βXt+ut
（1）
由于Yt*不能直接观测，因而采用 “部分调整假 说” 确定之，即假定因变量的实际变动（Yt–Yt1）,与其理想值和前期值之间的差异（Yt* –Yt-1） 成正比：
例1． Yt = α+βXt-1 + ut,
t = 1,2,…,n
本例中Y的现期值与X的一期滞后值相联系，比较一 般的情况是：
Yt = α+β0Xt +β1Xt-1 +……+βsXt-s + ut, t = 1,2,…,n
即Y的现期值不仅依赖于X的现期值，而且依赖于X的 若干期滞后值。这类模型称为分布滞后模型，因为X 变量的影响分布于若干周期。
第一节 引言 第二节 分布滞后模型的估计 第三节 部分调整模型和适应预期模型 第四节 自回归模型的估计 第五节 阿尔蒙多项式分布滞后 第六节 格兰杰因果关系检验
第一节 引言
很多经济过程的实现需要若干周期的时间，因此 需要在我们的计量经济模型中引入一个时间维，通 常的作法是将滞后经济变量引入模型中。让我们用 两个简单的例子说明之。
非线性最小二乘法步骤
（1） 对于λ的每个值，计算 Zt=Xt+λXt-1+λ2Xt-2+…+λPXt-P (3)
P的选择准则是，λP充分小，使得X的P阶以后 滞后值对Z无显著影响。
（2）然后回归下面的方程：
Yt =α+βZt + ut
(4)
（3） 对λ的所有取值重复执行上述步骤，选择回归 上述（4）式时产生最高的R2的λ值，则与此λ值相 对应的α和β的估计值即为该回归所得到的估计值。
其中 t ut (1 )ut1 (1 )2 ut2 ......
令λ=1-δ，β’=βδ，则得
Yt Xt Xt1 2 Xt2 ... t (6)
与上节（2）式形式完全一样。
例 林百度文库纳（lintner）的股息调整模型
J．Lintner建立的股息调整模型是应用部分调整模 型的一个著名实例。
X t1
(1
)
X
e t2
(11)
将（11）式
X
e t 1
X t1
(1
)
X
e t2
代入（9）式
X
e t
X t
(1
)
X
e t 1
，得
X
e t
X t
(1 ) X t1
(1
)
2
X
e t2
(12)
我们可以用类似的方法，消掉（12）式中的
X
动态经济模型
我们上面列举了模型中包含滞后经济变量的两种 情况。第一种是仅包含滞后外生变量的模型，第二 种是包含滞后内生变量的模型。在两种情况下，都 通过一种滞后结构将时间维引入了模型，即实现了 动态过程的构模。
第二节 分布滞后模型的估计
我们在上一节引入了分布滞后模型：
Yt =α+β0Xt +β1Xt-1 +……+βsXt-s + ut (1)
假设你认为因变量Yt与某个变量X的预期值Xte有关，
则可写出模型
Yt
X
e t
ut
(10)
若假定Xte 用适应预期机制确定，这就是一个适应 预期模型，其中解释变量Xte是不可观测的，必须用可
观测变量取代之。
我们用“降阶”法来解决这个问题。如果（9）式 成立，则对于t-1期，它也成立，即：
X
e t 1
短期乘数和长期乘数
在短期内（即期），Yt-1可以认为是固定的，X的变动 对Y的影响为β（短期乘数为β）。从长期看，在忽略 扰动项的情况下，如果Xt趋向于某一均衡水平 X , 则Yt和 Yt-1也将趋向于某一均衡水平 Y ,
Y (1 ) X Y (8)
这意味着 Y X (9) 1
因此，X对Y的长期影响（长期乘数）为β/(1-λ)，若 λ位于0和1之间，则β/（1-λ）>β，即长期影响大 于短期影响。
在这类模型中，由于在X和它的若干期滞后之间 往往存在数据的高度相关，从而导致严重多重共线 性问题。因此，分布滞后模型极少按（1）式这样的 一般形式被估计。通常采用对模型各系数βj施加某 种先验的约束条件的方法来减少待估计的独立参数 的数目，从而解决多重共线性问题。这方面最著名 的两种方法是科克(Koyck)方法和阿尔蒙(Almon)方 法。
从实践的观点来看，科克变换模型很有吸引力， 一个OLS回归就可得到α、β和λ的估计值。这显 然比前面介绍的格点搜索法要省时很多，大大简化 了计算。
可是，科克变换后模型的扰动项为 ut-λut-1 ， 这带来了自相关问题（这种扰动项称为一阶移动平 均扰动项）。并且，解释变量中包含了Yt-1，它是 一个随机变量，从而使得高斯—马尔柯夫定理的解 释变量非随机的条件不成立。此问题的存在使得 OLS估计量是一个有偏和不一致估计量。这可以说 是按下葫芦起了瓢。我们将在第四节中讨论科克模 型的估计问题。
第三节 部分调整模型和适应预期模型
有两个著名的动态经济模型，它们最终可化成与 上一节（2）式相同的几何分布滞后形式，因此都 是科克类型的模型。它们是：
• 部分调整模型
（Partial adjustment model, PDM）
• 适应预期模型
（Adaptive expectations model, AEM）
例2．Yt = α+βYt-1 + ut, t = 1,2,…,n
本例中Y的现期值与它自身的一期滞后值相联系， 即依赖于它的过去值。一般情况可能是：
Yt = f (Yt-1, Yt-2, … , X2t, X3t, … )
即Y的现期值依赖于它自身若干期的滞后值，还依赖 于其它解释变量。
在本例中，滞后的因变量（内生变量）作为解释变 量出现在方程的右端。这种包含了内生变量滞后项 的模型称为自回归模型。
Yt [1 (1 )] Xt (1 ) Xt1 (1 )2Yt2
我们可以用同样的方法置换Yt-2，以及随后的Yt-3, Yt-4,…,直至无穷，结果是将Yt表示为X的当前值和滞 后值的一个滞后结构，系数为科克形式的几何递减权 数，具体形式为：
Yt [ X t (1 ) X t1 (1 )2 X t2 ......] t
X
e t
Xe t 1
(Xt
X
e t 1
)
0 1
(8)
（8）式可写成
X
e t
Xt
(1
)
X
e t 1
0 1
(9)
上式表明，X的预期值是其当前实际值和先前预期 值的加权平均。γ的值越大，预期值向X的实际发 生值调整的速度越快。
适应预期和部分调整之间当然有很多明显的类 似之处，可是从适应预期模型的最初形式导出仅 包含可观测变量的模型（可操作模型）不象在部 分调整模型的情况那么简单。
一、科克分布滞后模型
科克方法简单地假定解释变量的各滞后值的系数 （有时称为权数）按几何级数递减，即：
Yt Xt Xt1 2 Xt2 ...... ut (2)
t 1, 2,..., n
其中 0<λ<1 这实际上是假设无限滞后分布，由于0<λ<1，X 的逐次滞后值对Y的影响是逐渐递减的。
（2）式中仅有三个参数：α、β和λ。但直接估 计（2）式是不可行的。这是因为，首先，估计无 限多个系数不可行。其次，从回归结果中很可能得 不到β和λ的唯一估计值。
估计科克模型的方法
幸运的是，我们有同时解决上述两方面问题的方 法。它们是：
• 非线性最小二乘法 • 科克变换法
非线性最小二乘法
非线性最小二乘法实际上是一种格点搜索法。 首先定义λ的范围（如0-1），指定一个步长（如 0.01），然后每次增加一个步长，依次考虑 0.01,0.02,……0.99。步长越小，结果精确度越高， 当然计算的时间也越长。由于目前计算机速度已不 是个问题，你可以很容易达到你所要求的精度。
Yt – Yt-1=δ（Yt* - Yt-1） (2）
0≤δ≤1, δ称为调整系数。
（2）式
Yt – Yt-1=δ(Yt* - Yt-1)
可改写为：
Yt =δYt* +(1-δ) Yt-1
(2） (3）
从（3）式可看出，Yt是现期理想值和前期实际值 的加权平均。δ的值越高，调整过程越快。如果
δ=1，则Yt=Yt*,在一期内实现全调整。若δ=0，则 根本不作调整。
2、适应预期模型 由上所述，可知在模型中考虑预期的重要性。不
幸的是，在宏观经济领域，不存在令人满意的直接 计量预期的方法。作为一种权宜之计，某些模型使 用一种称为适应预期过程的间接方法。
适应预期过程是一种简单的学习过程，其机制是， 在每一时期中，将所涉及变量的当前观测值与以前 所预期的值相比较，如果实际观测值大，则将预期 值向上调整，如果实际观测值小，则预期值向下调 整。调整的幅度是其预测误差的一个分数，即：
（2）-（5），得
Yt-λYt-1 =α(1-λ)+βXt + ut-λut-1 (6) 所有的X滞后项都消掉了，因此
Yt =α(1-λ)+βXt + λYt-1 + ut-λut-1 (7)
（7）式称为自回归模型，因为因变量的滞后作为 解释变量出现在方程右边。这一形式使得我们可以 很容易分析该模型的短期和长期动态特性（短期乘 数和长期乘数）。
科克变换法
回到科克模型:
Yt Xt Xt1 2 Xt2 ...... ut (2)
t 1, 2,..., n
第二种方法是采用科克变换，（2）式两端取一期 滞后，得： Yt-1 =α+βXt-1 +βλXt-2 +βλ2Xt-3 +…+ ut-1
两端乘以λ，得： λYt-1 =λα+βλXt-1+βλ2Xt-2 +βλ3Xt-3 +…+λut-1 (5)
不难看出，（4）式
Yt=αδ+βδXt+(1-δ)Yt-1+δut
（4）
与变换后的科克模型的形式相似，我们也不难通过对
（4）式中Yt-1进行一系列的置换化为几何分布滞后的 形式:
（4）式两端取一期滞后，得
Yt1 X t1 (1 )Yt2 ut1 (5)
将此式代入（4）式，得到（为简单起见，省略扰动 项）：
各系数在1%显著水平下都显著异于0。
从回归结果可知，（1-λ）的估计值为0.70，因而 调整系数λ的估计值为0.30，即调整速度为0.30。由 于Πt的系数是γλ的估计值，除以0.30，则得到长 期派息率（γ）的估计值为0.50。
二. 、适应预期模型
1、在模型中考虑预期的重要性 预期（expectation）的构模往往是应用经济学家 最重要和最困难的任务，在宏观经济学中更是如此。 投资、储蓄等都是对有关未来的预期很敏感的。如 果政府实施一项扩张政策，这将影响工商界人士有 关未来经济总状况的预期，特别是关于盈利能力的 预期，因而影响他们的投资计划。 例如，如果存在很可观的失业，则政府支出增加 被认为是有益的，并将刺激投资。另一方面，如果 经济正接近充分就业，则政府的扩张政策被认为将 导致通货膨胀，结果是工商界的信心受挫，投资下 降。
在对公司股息行为的研究中，Lintner发现，所有 股份公司都将其税后利润的一部分以股息的形式分配 给股东，其余部分则用作投资。
当利润增加时，股息一般也增加，但通常不会将增 加的利润都用作股息分配，这是因为：
（1）利润的增加可能是暂时的； （2）可能有很好的投资机会。
为了建立一个描述这种行为的模型，Lintner假设各 公司有一个长期的目标派息率γ，理想的股息Dt*与现 期利润Πt有关，其关系为
Dt*=γΠt
而实际股息服从部分调整机制
Dt (Dt* Dt1 ) U t
其中Ut为扰动项。因此
Dt Dt1 (Dt* Dt1 ) U t
t Dt1 U t
即 Dt t (1 )Dt1 U t
使用美国公司部门1918—1941年数据，得到如下回 归结果：
Dˆ t 352.3 0.15t 0.70Dt1
(1）式 Yt* =α+βXt+ut 代入（3）式 Yt =δYt* +(1-δ) Yt-1 ，得到
Yt=αδ+βδXt+(1-δ)Yt-1+δut
用此模型可估计出α、β和δ的值。
（4）
与科克模型类似，这里也存在解释变量为随机变 量的问题（Yt-1）.区别是科克模型中,Yt-1与扰动项
（ut-λut-1）同期相关，而部分调整模型不存在同期 相关。在这种情况下，用OLS法估计，得到的参数估 计量是一个一致的估计量。
一、部分调整模型
在部分调整模型中，假设行为方程决定的是因变
量的理想值（desired value）或均衡值Yt*，而不 是其实际值Yt：
Yt* =α+βXt+ut
（1）
由于Yt*不能直接观测，因而采用 “部分调整假 说” 确定之，即假定因变量的实际变动（Yt–Yt1）,与其理想值和前期值之间的差异（Yt* –Yt-1） 成正比：
例1． Yt = α+βXt-1 + ut,
t = 1,2,…,n
本例中Y的现期值与X的一期滞后值相联系，比较一 般的情况是：
Yt = α+β0Xt +β1Xt-1 +……+βsXt-s + ut, t = 1,2,…,n
即Y的现期值不仅依赖于X的现期值，而且依赖于X的 若干期滞后值。这类模型称为分布滞后模型，因为X 变量的影响分布于若干周期。