邻接矩阵与可达矩阵计算

1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0
1 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 1

k 1 k a a 因此，表达式 ij ir aij 右端表示每一项 n
由Vi经过一条长度为k的链到Vr，再由Vr经过一 条边到Vj的，总长度为k+1的链的数目。
r 1
1. 邻接矩阵
邻接矩阵乘幂表达的信息
k 1 a 对r进行求和，即得 ij ，表示所有从Vi
到Vj长度为k+1的链的数目。
暨南大学应急管理学院
1. 邻接矩阵
本部分内容出自《离散数学》图论章节
1. 邻接矩阵
邻接矩阵的定义
设G＝<V，E>是一个简单图，它有n个结 点V＝{v1，v2，…，vn}，则n阶方阵A(G)＝ (aij)称为G的邻接矩阵。
1
aij
0
Vi与Vj之间存在关系； Vi与Vj之间没有关系或者相同；
1. 邻接矩阵
2. 可达矩阵
可达矩阵的性质
可达矩阵表明了图中任意两结点间是否至少 存在一条链以及在节点处是否有回路。 B = ( A + I )n 表示两个结点之间经过n步是 否能够联通的情况。
2. 可达矩阵
可达矩阵布尔计算方法 •布尔矩阵定义：矩阵中的元素属于0或1的 矩阵； •图的邻接矩阵是一种典型的布尔矩阵； •图的可达矩阵也是一种布尔矩阵；
假设，当l=k时，定理成立，考察l=k+1的 情形如下：
Ak 1 Ak A
即： a
k 1 ij
a arj
r 1 k ir
n
1. 邻接矩阵
邻接矩阵乘幂表达的信息
k a 根据假设和邻接矩阵的定义，可知： ir 是联接
Vi与Vr长度为k的链的数目，arj 是联接Vr与Vj长
度为1的链的数目。
1 2 3
说明：该邻接矩阵 为对称矩阵
1. 邻接矩阵
邻接矩阵乘幂表达的信息
假设：A为简单图G的邻接矩阵，则Al中的 l 第i行第j列元素aij 等于联接图中节点vi到vj以 的长度为l的链（或路）是数目。
1. 邻接矩阵
邻接矩阵乘幂表达的信息
证明：按照归纳法进行证明。
当l=1时， Al A1 A ，定理显然为真。
2. 可达矩阵
可达矩阵的定义
设G＝<V，E>是一个简单图，它有n个结点 V＝{v1，v2，…，vn}。若n阶方阵P＝(pij)称为G 的可达矩阵，则：
1
pij
0
Vi到Vj可达； Vi到Vj不可达；
2. 可达矩阵
可达矩阵计算程序
从图G中的邻接矩阵A计算n步可达矩阵M， 令： B = ( A + I )n = I + A + A2 + … +An 再把B中的非零元素改为1而零元素不变，变 换后的矩阵即为可达矩阵M。
1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 1
2. 系统结构模型
经过三步的可达矩阵
布尔运算乘积 3步可达矩阵
1 0 0 0 0
1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 * 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0
1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 1 0 * 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0
1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0
1. 邻接矩阵
案例
0 2 A3 0 0 0
2 0 0 0 0 2 0 0 2 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0
1. 邻接矩阵
案例
2 0 A4 2 0 0
0 2 0 0 4 0 0 0 0 2 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1
2. 可达矩阵
可达矩阵布尔计算方法
•布尔矩阵运算规则： （1）0 + 0 = 0 ； （2）0 + 1 = 1 ； （3）1 + 0 = 1 ； （4）1 + 1 = 1 ；
2. 可达矩阵
可达矩阵布尔计算方法
在计算(A + I)n 的过程中利用布尔运算 法则进行计算。
2. 系统结构模型
有向图
4 5 1 2 3
邻接矩阵
1 0 ( A I ) 0 0 0
1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1
2. 系统结构模型
经过两步的可达矩阵
布尔运算乘积 2步可达矩阵
1 0 0 0 0
邻接矩阵表达有向图
有向图
4 5
邻接矩阵
0 0 A 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0
1 2 3
1. 邻接矩阵
邻接矩阵表达有向图
无向图
4 5
Байду номын сангаас
邻接矩阵
0 1 A 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0
1. 邻接矩阵
案例
有向图
0 1 A 0 0 0
邻接矩阵
1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0
1. 邻接矩阵
案例
1 0 A2 1 0 0
0 1 0 0 2 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1