分层随机抽样

分层抽样不仅能对总体指标进行推算， 而且能对各层指标进行推算。
层内抽样方法可以不同，而且便于抽样 工作的组织。
2020/12/21
3
二、分层原则：
总体中的每一个单元一定属于并且只属于某一个层，而不可能同时属于两 个层或不属于任何一个层。
1.估计：层内单元具有相同性质，通常按调 查对象的不同类型进行划分。
2.精度：尽可能使层内单元的指标值相近， 层间单元的差异尽可能大，从而达到提高抽 样估计精度的目的。
3.估计和精度：既按类型、又按层内单元指 标值相近的原则进行多重分层，同时达到实 现估计类值以及提高估计精度的目的。
4.实施：抽样组织实施的方便，通常按行政 管理机构设置进行分层。
2020/12/21
不漏 小分别为 N1, N2,, NL ，这个层合起来就是
整个总体
L
N Nh
，然后，在每个层中分别
独立地进行抽样， h1 这种抽样就是分层抽样，所
得到的样本称为分层样本。
如果每层都是独立按照简单随机抽样进行，则 称为分层随机抽样
2020/12/21
2
作用
分层抽样的抽样效率较高，也就是说分 层抽样的估计精度较高。这是因为分层 抽样估计量的方差只和层内方差有关， 和层间方差无关。
V yst Wh2V yh
h1
由第二章性质2，得
Vyh
1 fh nh
S
2 h
因此
V yst
L
Wh2V yh
h1
L
Wh2
h1
1 fh nh
S
2 h
2020/12/21
11
性质3：对于分层随机抽样， V yst 的一个
无偏估计为：
v yst
L
Wh2v yh
h1
第三章 分层随机抽样
第一节分层随机抽样的定义、使用场合以及符号 第二节介绍估计量及其性质 第三节介绍样本量的分配原则 第四节介绍样本量的确定 第五节介绍分层抽样的若干问题
2020/12/21
1
第一节 引 言
一、定义
在抽样之前，先将总体N个单元划分成L个互不
不重 重复的子总体，每个子总体称为层，它们的大
L
h1 1 L h1 1 L
Y
WhYh
h1
N
N hYh
h1
N
Yh
h1
N
Y
估计量的方差
V Yˆst
V L WhYˆh
L Wh2V Yˆh
L
2
L WhWk Cov Yˆh ,Yˆk
h1
h1
h1 k h
由于各层是独立抽取的，因此上式第二项中的协方差全
为0，从而有 V Yˆst L Wh2V Yˆh
L h1
Wh2
1
fh nh
sh2
2020/12/21
12
证明性质3：
对于分层随机抽样，各层独立进行简单随
机抽样，由第二章性质3，得 V 的yh 无偏估
计为：
因此，V
y
v
st
yh
1 fh nh
s
2 h
的一个无偏估计为：
v yst
L
Wh2v yh
h1
L h1
Wh2
1
f nh
h
s
2 h
16
性质6：对于分层随机抽样， V Yபைடு நூலகம்的一个
无偏估计为：
v Yˆ
L
N
2 h
v
yh
h1
L h1
N
2 h
1 fh nh
s
2 h
2020/12/21
17
例3.1
调查某地区的居民奶制品年消费支出，以居民户为抽 样单元，根据经济及收入水平将居民户划分为4层，每 层按简单随机抽样抽取10户，调查获得如下数据（单 位：元），要估计该地区居民奶制品年消费总支出及 估计的标准差。
2020/12/21
13
二、对总体总量的估计
总体总量 Y的估计为：
Yˆ NYˆst
L
Yˆh
h1
如果得到的是分层随机样本，则总体总
量的简单估计为：
Y Nyst
2020/12/21
14
2.估计量的性质
性质4：对于一般的分层抽样，如果 Yst
是 Y 的无偏估计，则 Yˆ 是 Y 的无偏估计。
例如，某高校对学生在宿舍使用电脑的情况进行调 查，根据经验，本科生和研究生拥有电脑的状况差 异较大。
因此，在抽样前对学生按本科生和研究生进行分 层是有必要的。
2020/12/21
5
三、符号说明P42(关于第h层的记号 )
层号
h 1,2,, L
1 Nh
Yh N h i1 yhi
S
2 h
V Yst L Wh2V Yh h1
只要对各层估计无偏，则总体估计也无偏。
各层可以采用不同的抽样方法，只要相应的估计量 是无偏的，则对总体的推算也是无偏的。
2020/12/21
8
证明性质1
由于对每一层有 E Yˆh Yh
因此， E Yˆst E L WhYˆh L Wh E Yˆh
分层样本，总体均值 Y 的估计
Yst
L WhYh
h1
1 N
L N hYh
h1
分层随机样本，总体均值Y 的简单估计
L
1L
y st
Wh yh
h1
N
Nh yh
h1
2020/12/21
7
估计量的性质
性 无 估计质偏。1估：计Y对s（t的于方一h 差般1,为的2,：分, L层）抽，样则，如Yst果是YYh是的Y无h 的偏
Yˆ 的方差为：
V Yˆ
N 2V Yˆst
L
V Yˆh
h1
N 2 L Wh2V Yˆh L Nh2V Yˆh
h1
h1
2020/12/21
15
性质5：对于分层随机抽样， Yˆ 的方差为：
V Yˆ
L
Nh2V
h1
yh
L h1
N
2 h
1 fh nh
S
2 h
2020/12/21
4
例题
例如，对全国范围汽车运输的抽样调查，调查目的 不仅要推算全国货运汽车完成的运量，还要推算不 同经济成分（国有、集体、个体）汽车完成的运量。
为组织的方便，首先将货运汽车总体按省分层， 由各省运输管理部门负责省内的调查工作。
各省再将省内拥有的汽车按经济成分分层。
为提高抽样效率，再对汽车按吨位分层。
h 1
2020/12/21
9
性质2：对于分层随机抽样， yst 是Y
的无偏估计，yst 的方差为：
V
yst
L
Wh2V
h1
yh
L
Wh2
h1
1 fh nh
S
2 h
2020/12/21
10
证明性质2：
对于分层随机抽样，各层独立进行简单随机抽
样，对每一层有
Eyh Yh
因此，由性质1，有 Eyst Y L
1 Nh 1
Nh i1
2
yhi Yh
2020/12/21
单元总数 样本单元数 第 i个单元的值 层权 抽样比 总体均值 样本均值 总体方差 样本方差
Nh
nh
yhi
Wh
Nh N
fh
nh Nh
1 nh
yh
nh
y hi
i1
sh2
1 nh 1
nh i1
yhi yh 2
6
第二节 估 计 量
一、对总体均值的估计