第3节 圆的方程

第3

节圆的方程

考试要求掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程.

知识梳理

1.圆的定义和圆的方程

定义在平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫作圆

方程标

准

(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)

圆心C(a，b)

半径为r

一

般

x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2

＋E2－4F＞0)

充要条件：D2＋E2－4F＞0

圆心坐标：

⎝

⎛

⎭

⎪

⎫

－

D

2，－

E

2

半径r＝

1

2D

2＋E2－4F

平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着下列关系：

(1)|MC|＞r⇔M在圆外，即(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2⇔M在圆外；

(2)|MC|＝r⇔M在圆上，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔M在圆上；

(3)|MC|＜r⇔M在圆内，即(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2⇔M在圆内.

[常用结论与微点提醒]

1.圆心在坐标原点半径为r的圆的方程为x2＋y2＝r

2.

2.以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)·(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.

诊断自测

1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)

(1)确定圆的几何要素是圆心与半径.()

(2)方程x2＋y2＝a2表示半径为a的圆.()

(3)方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圆.()

(4)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0.()

解析(2)当a＝0时，x2＋y2＝a2表示点(0，0)；当a＜0时，表示半径为|a|的圆.

(3)当(4m)2＋(－2)2－4×5m＞0，即m＜1

4

或m＞1时表示圆.

答案(1)√(2)×(3)×(4)√

2.(老教材必修2P82练习1改编)圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标和半径分别是()

A.(2，3)，3

B.(－2，3)， 3

C.(－2，－3)，13

D.(2，－3)，13

解析圆的方程可化为(x－2)2＋(y＋3)2＝13，所以圆心坐标是(2，－3)，半径r＝13.

答案 D

3.(老教材必修2P82练习2改编)过点A(1，－1)，B(－1，1)，且圆心在直线x＋y －2＝0上的圆的方程是()

A.(x－3)2＋(y＋1)2＝4

B.(x＋3)2＋(y－1)2＝4

C.(x－1)2＋(y－1)2＝4

D.(x＋1)2＋(y＋1)2＝4

解析设圆心C的坐标为(a，b)，半径为r.因为圆心C在直线x＋y－2＝0上，所以b＝2－a.又|CA|2＝|CB|2，所以(a－1)2＋(2－a＋1)2＝(a＋1)2＋(2－a－1)2，所以a＝1，b＝1.所以r＝2.所以方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.

答案 C

4.(2019·合肥模拟)已知A(1，0)，B(0，3)两点，则以AB为直径的圆的方程是()

A.x 2＋y 2－x －3y ＝0

B.x 2＋y 2＋x ＋3y ＝0

C.x 2＋y 2＋x －3y ＝0

D.x 2＋y 2－x ＋3y ＝0

解析 |AB |＝

12＋32

＝10，圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，半径r ＝102，∴圆的方程为⎝ ⎛⎭

⎪

⎫x －122

＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322

＝10

4，化为一般方程为x 2＋y 2－x －3y ＝0. 答案 A

5.(2020·佛山一中期末)若k ∈⎩

⎨⎧⎭

⎬⎫－2，0，45，3，方程x 2＋y 2＋(k －1)x ＋2ky ＋k ＝0

不表示圆，则k 的取值集合中元素的个数为( ) A.1

B.2

C.3

D.4

解析 方程x 2＋y 2＋(k －1)x ＋2ky ＋k ＝0表示圆的条件为(k －1)2＋(2k )2－4k >0，即5k 2－6k ＋1>0，解得k >1或k <15，又知该方程不表示圆，所以k 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤15，1，

又因为k ∈⎩⎨⎧⎭

⎬⎫－2，0，4

5，3，所以满足条件的k ＝4

5，即k 的取值集合为⎩⎨⎧⎭

⎬⎫45，故选

A. 答案 A

6.(2020·银川模拟)方程|y |－1＝1－（x －1）2表示的曲线是( ) A.一个椭圆 B.一个圆 C.两个圆

D.两个半圆

解析 由题意知|y |－1≥0，则y ≥1或y ≤－1，当y ≥1时，原方程可化为(x －1)2＋(y －1)2＝1(y ≥1)，其表示以(1，1)为圆心、1为半径、直线y ＝1上方的半圆；当y ≤－1时，原方程可化为(x －1)2＋(y ＋1)2＝1(y ≤－1)，其表示以(1，－1)为圆心、1为半径、直线y ＝－1下方的半圆.所以方程|y |－1＝1－（x －1）2表示的

曲线是两个半圆.故选D. 答案 D

考点一 圆的方程

【例1】 (1)(一题多解)已知圆E 经过三点A (0，1)，B (2，0)，C (0，－1)，且圆心在x 轴的正半轴上，则圆E 的标准方程为( ) A.⎝ ⎛⎭

⎪⎫x －322

＋y 2＝254 B.⎝ ⎛⎭

⎪⎫x ＋342

＋y 2＝2516

C.⎝ ⎛⎭

⎪⎫

x －342＋y 2＝2516

D.⎝ ⎛⎭

⎪⎫

x －342

＋y 2＝254 (2)(2020·豫西五校联考)若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x －3y ＝0和x 轴都相切，则该圆的标准方程是( ) A.(x －2)2＋(y －1)2＝1 B.(x －2)2＋(y ＋1)2＝1 C.(x ＋2)2＋(y －1)2＝1 D.(x －3)2＋(y －1)2＝1 解析 (1)法一 (待定系数法)

设圆E 的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)，

则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1＋E ＋F ＝0，

4＋2D ＋F ＝0，1－E ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪

⎧D ＝－3

2，

E ＝0，

F ＝－1.

所以圆E 的一般方程为x 2＋y 2－3

2x

－1＝0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －342＋y 2＝25

16.

法二 (几何法)

因为圆E 经过点A (0，1)，B (2，0)，所以圆E 的圆心在线段AB 的垂直平分线y －1

2＝2(x －1)上.

又圆E 的圆心在x 轴的正半轴上， 所以圆E 的圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫

34，0.

则圆E 的半径为|EB |＝

⎝ ⎛

⎭

⎪⎫2－342＋（0－0）2＝54，