矩阵可逆的若干判别方法

毕业论文

题目：矩阵可逆的若干判别方法学院：数理学院

专业：

姓名：

学号：

指导老师：

完成时间：

摘要

矩阵是数学中一个极其重要的概念，是线性代数的一个主要研究对象和重要工具，可逆矩阵在矩阵理论中占有非常重要的地位,判定矩阵是否可逆对矩阵的运算起着至关重要的作用.为了更便捷地求逆矩阵，本文根据不同矩阵的不同特点简单介绍了几种求逆矩阵的方法, 其中有定义法、行列式法、初等变换法、伴随矩阵判别法、秩判别法、特征值判别法等并对部分方法原理进行了简要论证且给出了相应的例题.

关键字：可逆矩阵；初等变换；秩；特征值.

Abstract

Matrix is a very important concept in mathematics and is a main object of study on linear algebra and important tool.Invertible matrix plays a very important role in the matrix theory.Deciding whether a matrix reversible plays a vital role in matrix operations. To provide more convenient methods to calculating inverse matrix, this article introduces several methods, including definition method，determinant method, elementary transformation method, eigenvalue discriminant method, rank discriminant analysis, feature value determination method and ect.，according to the different characteristics of different matrixs.It also briefly demonstrates the principle and provides the relevant examples.

Keyword: Invertible matrix；Elementary transformation；Rank; Feature value.

目录

摘要 .............................................................................................................................................. I Abstract ..................................................................................................................................... I I 引言 (1)

第一章矩阵可逆的基本概念和定理 (2)

1.1基本概念 (2)

1.2 基本定理和推论 (3)

第二章矩阵可逆的性质 (7)

第三章矩阵可逆的充分必要条件 (9)

第四章矩阵可逆的基本判别方法 (10)

4.1 定义法 (10)

4.2 公式法或伴随矩阵法 (11)

4.3 初等变换求逆法 (12)

4.4 分块矩阵求逆法 (13)

第五章矩阵可逆的其他判别方法 (16)

5.1 秩判别法 (16)

5.2 向量组法 (17)

5.3 线性方程组判别法 (17)

5.4 特征值判别法 (18)

第六章一些特殊矩阵的可逆性 (19)

小结 (22)

参考文献 (23)

致谢 (24)

引言

矩阵是高等代数的一个最基本的概念，其内容贯穿于高等代数的始终，在研究中也发挥重要的作用，现今矩阵的发展十分迅速，它已经成为在物理、控制论、机器人学、生物学、经济学等学科的重要工具, 广泛应用于数学、物理学、经济学等多个领域，矩阵理论逐渐成为数学的一个重要分支.而可逆矩阵是矩阵理论的一个基础，矩阵问题中的求逆贯穿于整个矩阵问题的始终，基于自身的性质特点，为更高层次矩阵问题的解决提供了便利，更是丰富了矩阵的理论内容，所以本文归纳了一些普通矩阵逆的求解判定方法，其中有定义法、行列式法、初等变换法、伴随矩阵判别法、秩判别法、特征值判别法等并对部分方法原理进行了简要论证且给出了相应的例题.

在本文的讨论均在数域p中讨论，如不特别说明，这里的矩阵均指n阶方阵.

第一章 矩阵可逆的基本概念和定理

1.1基本概念

定义1.1 n 级方阵A 称为可逆的，如果有n 级矩阵B ,使得

AB BA E ==（1）

这里E 是n 级单位矩阵.

注 可逆矩阵A 必为方阵,其逆必唯一,且1A -与A 为同阶方阵,即

11A A AA E --==.

定义1.2 如果B 适合（1）,那么B 就称为A 的逆矩阵,记作1-A .

定义1.3 如果n 阶方阵A 的行列式不等于0 ,则称A 是非奇异的（或非退化的）；否则称A 是奇异的（或退化的）.

定义1.4 设ij A 是矩阵1112121

22

212

n n n n nn a a a a a a A a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢

⎥⎣⎦

中元素ij a 的代数余子式，矩阵 1112121

222*

12n n n n nn A A A A A A A A A A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢

⎥⎣⎦

,

称为A 的伴随矩阵.

定义 1.5 矩阵()ij m n A a ⨯=中一切非零子式的最高阶数称为矩阵A 的秩，记为

()r A .

定义1.6 设()ij m n A a ⨯=, 称矩阵A 的行向量组的秩为A 的行秩, 矩阵A 的列向量组的秩为A 的列秩，矩阵A 的行秩等于矩阵A 的列秩, 统称为矩阵A 的秩, 记为()r A .

定义1.7 由单位矩阵E 经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵. 定义1.8 矩阵的三类初等变换： (1)对调矩阵的两行(列)；

(2)矩阵的某行(列) 乘以非零常数；

(3)矩阵的某行（列）的倍数加到另一行（列）.

第一类初等矩阵ij p 表示将单位矩阵的第i 行与第j 行对换后得到的矩阵：