1.7.1定积分在几何中的应用(教学设计)

1.7.1定积分在几何中的应用（教学设计）
教学目标：
知识与技能目标：
通过本节课的探究，学生能够应用定积分解决不太规则的平面图形的面积，能够初步掌握应用定积分解决实际问题的基本思想和方法。

过程与方法目标：
探究过程中通过数形结合的思想，加深对知识的理解，同时体会到数学研究的基本思路和方法。

情感、态度与价值观目标：
探究式的学习方法能够激发学生的求知欲，培养学生对学习的浓厚兴趣；探究式的学习过程能够培养学生严谨的科学思维习惯和方法，培养学生勇于探索和实践的精神；探究过程中对学生进行数学美育的渗透，用哲学的观点指导学生自主探究。

教学重点：应用定积分解决平面图形的面积，使学生在解决问题的过程中体会定积分的价值。

教学难点：如何恰当选择积分变量和确定被积函数。

教学过程：
一、复习回顾：
复习定积分的概念、定积分的计算、定积分的几何意义. 二、师生互动，新课讲解： 问题1：（１）．计算
dx x ⎰
--2
2
2
4 （２）．计算 sin x dx π
π
-⎰
解：（1）
222
2
22
1
4⨯=-⎰
-πdx x （2）
0sin =⎰-
π
πdx x
问题2：用定积分表示阴影部分面积
解：图1 选择X 为积分变量，曲边梯形面积为
图
2 选择Y 为积分变量，曲边梯形面积为
问题3：探究由曲线所围平面图形的面积解答思路
例１（课本P56例1）．计算由曲线2x y =与
x y =2
所围图形的面积．
分析：找到图形----画图得到曲边形.
1、曲边形面积解法----转化为曲边梯形，做出辅助线.
2、定积分表示曲边梯形面积----确定积分区间、被积函数.
3、计算定积分.
解：作出草图，所求面积为图中阴影部分的面积.
解方程组⎪⎩
⎪⎨⎧==22
x y x
y 得到交点横坐标为 0=x 及1=x
dx
x f dx x f s b a
b
a
⎰⎰-=)()(21dy y g b
a
⎰
)(1=s dy
y g b
a ⎰)(2－ y
A
B C
D 2x y =
x y =2
1
∴
s
s =曲边梯形OABC
s
-曲边梯形OABD
dx x ⎰
=10
dx x ⎰-1
2
1031
2
3313
2x x -=3
13132=-= 变式训练1：计算由
4-=x y 与x y 22=所围图形的面积.
分析：讨论探究解法的过程
1．找到图形----画图得到曲边形.
2．曲边形面积解法----转化为曲边梯形，做出辅助线. 3．定积分表示曲边梯形面积----确定积分区间、被积函数. 问题：表示不出定积分.
探讨：X 为积分变量表示不到，那换成Y 为积分变量呢？ 4．计算定积分.
【课件展示】解答过程 解：作出草图，所求面积为
图中阴影部分的面积
解方程组⎪⎩⎪⎨⎧==22x
y x
y 得到交点坐标为(2,-2)及(8,4) 选ｙ为积分变量
∴182
16)82(21422=-⨯+=⎰-dy y S
解由曲线所围的平面图形面积的解题步骤
解由曲线所围的平面图形面积的解题步骤：
1．画草图，求出曲线的交点坐标． 2．将曲边形面积转化为曲边梯形面积．
3．根据图形特点选择适当的积分变量．（注意选择y 型积分变量时，要把函数变形成用y 表示x 的函数）
y =x
4．确定被积函数和积分区间． 5．计算定积分，求出面积. 例2（课本P57例2）：计算由曲线x y 2=与4-=x y 及x 轴所围平面图形的面积．
分析：
A: 442
1
28021⨯⨯-=-=⎰dx x s s s
B: ⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡⨯⨯-+=+=⎰⎰
4421228440
21dx x dx x s s s
C: dx y s s s ⎰+⨯+=-=402
2124)84(2
1
此题为一题多解，解体的大方向分为选X 做积分变量和选Y 做积分变量.
问：遇到一题多解时，你会想到什么？ 答：找最简单的解法.
问：以次题为例，如何寻找最简解法？ 答：我们熟悉X 做积分变量的类型；
做辅助线时，尽量将曲边形转化成我们熟悉的平面图形，如三角形、矩形、梯形和曲边梯形组合的图形. 变式训练2：计算由曲线
x y sin =与x y cos =及0=x 、2
π
=
x
所围平面图形的面积．
【学生活动】学生独立思考【成果展示】邀请一位
同学把自己的成果展示给大家
21S S S +=
dx
x
dx
x
S⎰
⎰-
=4
4
1
sin
cos
π
π
dx
x
dx
x
S⎰
⎰-
=2
4
2
4
2
cos
sin
π
π
π
π
例3 求两抛物线y＝8－x2，y＝x2所围成的图形的面积．
变式训练3：
（1）、求抛物线y=x
2
-1，直线x=2，y=0所围成的图形的面积。

（2）求抛物线y=x
2
+2与直线y=3x和x=0所围成的图形的面积。

y
x
21
22
11
(1)(1)
S x dx x dx
-
=---
⎰⎰21
33
11
8
()()
333
x x
x x
-
=---=
【课堂练习】（课本P58练习） 三．互动小结
问：本节课我们做了什么探究活动呢？ 答：用定积分解曲边形面积。

问：如何用定积分解决曲边形面积问题呢？ 答：1.画草图，求出曲线的交点坐标．
2.将曲边形面积转化为曲边梯形面积．
3.根据图形特点选择适当的积分变量．（注意选择y 型积分变量时，要把函数变形成用y 表示x
的函数）
4.确定被积函数和积分区间．
5.计算定积分，求出面积．
问：解答曲线所围的平面图形面积时须注意什么问题？
答：选择最优化的积分变量；根据图形特点选择最优化的解题方法.
x
y
12
220
1
(23)(32)S x x dx x x dx
=+-+--⎰⎰12
323301
33(2)(2)322351166
x x x x x x =+-+--=+=
问：体会到什么样的数学研究思路及方法呢？
答：从问题出发，联系相关知识，探究出解决问题的思路，通过实践的检验得到一般方法，通过练习巩固，通过应用提升
四、【课时作业】 一、选择题：
1．在下面所给图形的面积S 及相应表达式中，正确的有( )
S ＝⎠⎛b
a [f (x )－g (x )]d x S ＝⎠
⎛0
8(22x －2x ＋8)d x ① ②
S ＝⎠⎛14f (x )d x －⎠⎛47f (x )d x S ＝⎠⎛0a [g (x )－f (x )]d x ＋⎠⎛a
b [f (x )－g (x )]d x
③ ④
A ．①③
B ．②③
C ．①④
D ．③④
答案 D
解析 ①应是S ＝⎠⎛a
b [f (x )－g (x )]d x ，②应是
S ＝⎠⎛0822x d x －⎠⎛4
8(2x －8)d x ，③和④正确．故选D.
2．曲线y ＝cos x (0≤x ≤3
2π)与坐标轴所围图形的面积是( )
A ．2
B ．3
C ．52
D ．4
答案 B
解析 S ＝∫π20cos x d x －∫3π2π2cos x d x ＝sin x ⎪⎪⎪⎪⎪⎪
π20－sin x 3π2π2
＝sin π2－sin 0－ sin 3π2＋sin π2＝1－0＋1
＋1＝3.
3.用S 表示图中阴影部分的面积，则S 的值是( ) A. ⎠⎛a
c f (x )
d x
B.⎪⎪⎪
⎪⎠
⎛a
c f (x )
d x
C ． ⎠⎛a
b f (x )d x ＋⎠⎛b
c f (x )
d x
D.⎠⎛b c f (x )d x －⎠⎛a
b f (x )d x
答案 D
解析 ∵x ∈[a ，b ]时，f (x )<0，x ∈[b ，c ]时，f (x )>0， ∴阴影部分的面积S ＝⎠⎛b c f (x )d x －⎠⎛a
b f (x )d x .
4．若y ＝f (x )与y ＝g (x )是[a ，b ]上的两条光滑曲线的方程，则这两条曲线及直线x ＝a ，x ＝b 所围成的平面区域的面积为( ) A.⎠⎛a
b [f (x )－g (x )]d x
B ．⎠⎛a
b [g (x )－f (x )]d x
C ．⎠⎛a
b |f (x )－g (x )|d x
D ．⎪⎪⎪
⎪⎠
⎛a
b [f (x )－g (x )]d x
答案 C
解析 当f (x )＞g (x )时，所求面积为⎠⎛a b [f (x )－g (x )]d x ；当f (x )≤g (x )时，所求面积为⎠⎛a
b [g (x )－f (x )]d x .综上，所
求面积为⎠⎛a
b |f (x )－g (x )|d x .
5．由曲线y ＝x 2－1、直线x ＝0、x ＝2和x 轴围成的封闭图形的面积(如图)是( )
A.⎠⎛0
2(x 2－1)d x
B.⎪⎪⎪
⎪⎠
⎛0
2(x 2－1)d x
C ．⎠⎛0
2|x 2－1|d x
D.⎠⎛01(x 2－1)d x ＋⎠⎛1
2(x 2－1)d x
答案 C
解析 y ＝|x 2－1|将x 轴下方阴影反折到x 轴上方， 其定积分为正，故应选C.
6直线l 过抛物线C ：x 2＝4y 的焦点且与y 轴垂直，则l 与C 所围成的图形的面积等于( ) A.43
B ．2
C ．83
D ．1623
答案 C
解析 抛物线x 2＝4y 的焦点坐标为(0,1)，因为直线l 过抛物线C ：x 2＝4y 的焦点且与y 轴垂直，所以直线l 的方程为y ＝1，
由⎩
⎪⎨⎪⎧
y ＝1x 2＝4y ，可得交点的横坐标分别为－2,2.
所以直线l 与抛物线围成的封闭图形面积为
⎠
⎛2－2
⎝⎛⎭⎫1－x 2
4d x ＝⎝
⎛⎪⎪
⎭⎫x －112x 32
－2＝83.故选C.
二、填空题：
7．由曲线y ＝x 2与直线y ＝2x 所围成的平面图形的面积为________． 答案 4
3
解析 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝2x ，y ＝x 2，得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝0，y ＝0， ⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝2，
y ＝4. ∴曲线y ＝x 2与直线y ＝2x 交点为(2,4)，(0,0)． ∴S ＝⎠
⎛0
2(2x －x 2)d x ＝
⎪⎪⎝⎛⎭⎫x 2－13x 320＝⎝⎛⎭⎫4－83－0＝43. 8．由曲线y ＝x 2＋4与直线y ＝5x ，x ＝0，x ＝4所围成平面图形的面积是________． 答案
19
3
解析
由图形可得
S ＝⎠⎛01(x 2＋4－5x )d x ＋⎠⎛1
4(5x －x 2－4)d x
＝
⎪⎪⎝⎛⎭⎫13
x 3＋4x －5
2x 210＋
⎪⎪⎝⎛⎭⎫52x 2－13x 3－4x 41
＝13＋4－52＋52×42－13×43－4×4－52＋13＋4＝19
3
. 9．由两条曲线y ＝x 2，y ＝1
4x 2与直线y ＝1围成平面区域的面积是________．
答案 43
解析 如图，y ＝1与y ＝x 2交点A (1,1)， y ＝1与y ＝x 2
4
交点B (2,1)，由对称性可知面积
S ＝2⎝ ⎛⎭
⎪⎫⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛12d x －⎠⎛0214x 2d x ＝43.
三、解答题： 10、（课本P60习题1.7 A 组 NO ：1）（2题）
11、（课本P60习题1.7 B 组 NO ：1） 12、（课本P60习题1.7 B 组 NO ：2）
SCH南极数学人教A版选修2-2第一单元《导数及其应用》同步教学设计
11。