指数函数PPT课件

2．在指数里含有未知数的方程的解法． (1)形如af(x)＝ag(x)(a>0，a≠1)的方程，化为f(x)＝g(x)求 解； (2)形如af(x)＝bg(x)(a>0，b>0，a≠1，b≠1)的方程，两边 取对数； (3)形如a2x＋b·ax＋c＝0的方程，用换元法令ax＝t化为二 次方程求解．
图象
指数函数
(1)定义域：R
(2)值域：(0，＋∞)
(3)过(0,1)点，即x＝0时，y＝1. 性 (4)当a>1时，在R上是增函数； 质 当0<a<1时，在R上是减函数．
x>0
x<0
a>1
y>1
0<y<1
0<a<1
0<y<1
y>1
疑难误区 点拨警示 1．忽视底数a>1与0<a<1时性质的区别及函数的值域致 误．解题的每一步要等价转化． 2．比较幂值大小时，要注意区分底数相同还是指数相 等．是用指数函数的单调性，还是用幂函数的单调性或指数 函数的图象解决．要注意图象的应用，还应注意中间量0、1 等的运用．指数函数的图象在第一象限内底大图高(逆时针方 向底数依次变大)． 3．用换元法解题时，要注意“新元”的取值范围．
解析：由a⊗b＝a b
a≤b， a>b， 得
f(x)＝1⊗2x＝2x x≤0， 1 x>0.
答案：A
指数函数的单调性与值域
[例3] 已知log 3 b<log3 a<log3 c，则( )
2
2
2
A．(12)b>(12)a>(12)c
B．(12)a>(12)b>(12)c
C．(12)c>(12)b>(12)a
考点典例讲练
指数幂的运算
[例1] (1)化简： a－4b23 ab2(a>0，b>0)；
1
(2)已知a2
＋a－12
＝3，求a＋a－1，a2＋a－2的值．
解析：
1
1
(2)(a2 ＋a－2 )2＝a＋2＋a－1＝9，
所以a＋a－1＝7，
(a＋a－1)2＝a2＋2＋a－2＝49，
所以a2＋a－2＝47.
课堂巩固训练
一、选择题 1．(文)(2011·河北石家庄一模)若A＝{x∈R||x|<2}，B＝{x ∈R|3x<1}，则A∩B等于( ) A．(－2,2) B．(－2,1) C．(0,2) D．(－2,0)
[答案] D
[解析] A＝{x|－2<x<2}，B＝{x|x<0}， 则A∩B＝{x|－2<x<0}．
答案：B
(理)(2011·宜昌一模)已知y＝f(x＋1)是定义在R上的偶函
数，当x∈[1,2]时，f(x)＝2x，设a＝f(
1 2
)，b＝f(
4 3
)，c＝f(1)，则
a、b、c的大小关系为( )
A．a<c<b B．c<b<a
C．b<c<a D．c<a<b
解析：∵y＝f(x＋1)是偶函数， y＝f(x＋1)的图象可由y＝f(x)的图象向左平移1个单位得 到， ∴y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称， ∴f(12)＝f(32)， ∵x∈[1,2]时，f(x)＝2x为增函数． ∴f(1)<f(43)<f(32)，∴c<b<a. 答案：B
解析：由y＝loga(x＋1)的图象知，函数y＝loga(x＋1)为减
函数，∴0<a<1，∴y＝a1－x＝(
1 a
)x－1是增函数，且当x＝1时，y
＝1，x＝0时，y＝a<1，故选A.
答案：A
(2011·济南模拟)定义运算a⊗b＝
a
a≤b ，则函数f(x)＝1
b a>b
⊗2x的图象大致为( )
(2)a＝2时，f(x)＝1＋2x＋m·4x， ∵x≤1，∴0<2x≤2，∴(12)x≥12， f(x)>0，即1＋2x＋m·4x>0， ∴m>－1＋4x2x＝－(12)2x－(12)x， 令t＝(12)x，则t≥12，
由条件知m>－t2－t(t≥12)恒成立， ∵t≥12时，－t2－t＝－(t＋12)2＋14≤－34， ∴m>－34.
(理)若0<a<b<12，则( )
A．2ab>2a
B．2ab>2b
C．log2(ab)>－1 D．log2(ab)<－2
[答案] D
[解析] 易知y＝2x在R上单调递增， y＝log2x在R＋上单调递增， 故2ab<2a,2ab<2b， log2(ab)<log2122＝－2，故选D.
2．(2011·湖北理，6)已知定义在R上的奇函数f(x)和偶函
3 2
.
二、分类讨论的思想 [例2] 函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)在[1,2]上的最大值比最小 值大a3，则a的值为________．
解析：0<a<1时，f(x)＝ax在[1,2]上单调递减， ∴a－a2＝a3，∴a＝23； a>1时，f(x)＝ax单调递增，∴a2－a＝a3， ∴a＝43.
第四节 指数与指数函数
基础梳理导学
3 考点典例讲练
思想方法技巧
4 课堂巩固训练
5 课后强化作业
重点难点 引领方向 重点：1.指数幂的运算法则． 2．指数函数的概念、图象与性质． 难点：1.根式与分数指数幂的运算． 2．a>1与0<a<1时，指数函数图象、性质的区别． 3．指数函数图象与性质的应用和简单指数方程、不等式 的求解．
解析：(1)由条件知f(x)＝1＋(12)x＋(12)2x， 设x1、x2∈R且x1<x2，则 f(x1)－f(x2)＝(12)x1－(12)x2＋(14)x1－(14)x2 ＝(12)x1[1－(12)x2－x1]＋(14)x1[1－(14)x2－x1]，
∵x2>x1，∴x2－x1>0，∴(12)x2－x1<1，(14)x2－x1<1， ∴1－(12)x2－x1>0,1－(14)x2－x1>0， ∴f(x1)－f(x2)>0，∴f(x1)>f(x2)， ∴f(x)在R上为单调递减函数．
x≥0 x<0
，当x≥0时，与指数函数y
＝ax(a>1)的图象相同；当x<0时，y＝a－x与y＝ax的图象关于y
轴对称，由此判断B正确．
答案：B
点评：一般地，非基本初等函数的图象与性质的讨论， 先化归为基本初等函数来解决．
(理)已知函数y＝loga(x＋1)的图象如图所示，则函数y＝ a1－x的图象大致是( )
(理)已知函数f(x)＝b·ax(其中a，b为常量且a>0，a≠1)的
图象经过点A(1,6)，B(3,24)．
(1)试确定f(x)；
(2)若不等式(
1 a
)x＋(
1 b
)x－m≥0在x∈(－∞，1]上恒成立，
求实数m的取值范围．
解析：(1)∵f(x)＝b·ax的图象过点A(1,6)，B(3,24)，
点评：(1)有理指数幂的运算，一般是小数化成分数，根 式化成分数指数幂进行．
(2)对于条件求值问题，一般先把条件式或待求式化简变 形，找出已知与未知的联系后代入求值．
计算：[(3
3 8
)
2 －3
－(5
4 9
)0.5＋(0.008)
2 －3
÷(0.02)
1 －2
×(0.32)
1
2 ]÷0.06250.25＝________.
答案：A
设y1＝40.9，y2＝80.48，y3＝12－1.5，则(
)
A．y3>y1>y2
B．y2>y1>y3
C．y1>y2>y3
D．y1>y3>y2
解析：y1＝21.8，y2＝21.44，y3＝21.5，∵y＝2x在R上是单调 递增函数，∴y1>y3>y2.∴选D.
答案：D
指数型函数的性质
[例4] 已知函数y＝12|x＋2|. (1)作出图象； (2)由图象指出其单调区间； (3)由图象指出，当x取什么值时函数取到最值？
解析：令t＝ax，则y＝t2＋2t－1，对称轴方程为t＝－1， 若a>1，∵x∈[－1,1]，∴t＝ax∈1a，a， y最大值＝a2＋2a－1＝14，∵a>0，∴a＝3. 若0<a<1，∵x∈[－1,1]，∴t＝ax∈a，1a， y最大值＝1a2＋21a－1＝14， ∵0<a<1，∴a＝13，∴a＝3或13.
又y＝12|x|＝212xx
x≥0， x<0.
∴其图象如图．
(文)若函数f(x)＝a|2x－4|(a>0，a≠1)，满足f(1)＝
1 9
，则f(x)的
递减区间是( )
A．(－∞，2] B．[2，＋∞)
C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2]
解析：∵f(1)＝19，∴a2＝19， ∵a>0且a≠1，∴a＝13， ∴f(x)＝(13)|2x－4|， ∵t＝|2x－4|在(－∞，2]上单调递减，在[2，＋∞)上单调 递增，y＝(13)t为减函数， ∴f(x)在[2，＋∞)上单调递减．
解析：(1)∵y＝12|x＋2|＝212x＋x2＋2
x≥－2， x<－2.
∴可作出其图象如图．
(2)由图象可见，单调增区间为(－∞，－2]，单调减区间 为(－2，＋∞)
(3)x＝－2时，函数有最大值，没有最小值．
点评：函数y＝
1 2
|x＋2|的图象可视作函数y＝
1 2
Βιβλιοθήκη Baidu|x|的图象向
左平移2个单位得到的，
解析：原式＝[(287)23
－(499)21
2
＋1253
1
÷502
×(1560)12
]÷(0.54)
1 4
＝
[49－73＋25×
1× 50
450]÷12＝29.
答案：29
指数函数的图象 [例2] (文)(2011·杭州月考)函数y＝a|x|(a>1)的图象是 ()
解析：y＝a|x|＝
ax a－x
数g(x)满足f(x)＋g(x)＝ax－a－x＋2(a>0，且a≠1)，若g(2)＝a，
夯实基础 稳固根基
1．整数指数幂的运算性质 (1)am·an＝ am＋n ，(am)n＝ am·n ， (a·b)n＝ an·bn .(m、n∈Z)
(2)xn＝a，(n∈N，n>1)⇔x＝n a，n为奇数， x＝±n aa>0，n为偶数.
(n a)n＝ a ； a2＝ |a| ；
n
an＝
a |a|
则g(x)在(－∞，1]上单调递减，
∴m≤g(x)min＝g(1)＝12＋13＝56，
故所求实数m的取值范围是(－∞，56]．
(2012·山东实验中学月考)设函数f(x)＝1＋ax＋ma2x，其中 a>0且a≠1，m∈R.
(1)若a＝12，m＝1，请用定义证明f(x)单调递减； (2)若a＝2，∀x≤1恒有f(x)>0，求m的取值范围．
答案：43或23
三、解题技巧 1．比较一组幂式、对数式形式的数的大小时，一般先区 分正、负(与0比)；正数再与1比较，找出大于1的和小于1 的；底数相同的幂式，用指数函数的单调性；底数相同的对 数式用对数函数的单调性；指数相同的幂式用幂函数的单调 性或指数函数的图象；真数相同的对数式用对数函数的图 象；底数不同、指数也不同的幂式或底数不同、真数也不同 的对数式可引入中间量转化或化成同底，另外要注意指对互 化的灵活运用．
，n为奇数， ，n为偶数.
(3)分数指数幂
m
an
＝n
am
；a
－
m n
＝
1
m
＝
1
.(a>0，m，n∈N，且
a n n am
n>1) (4)指数幂的运算性质
ar·as＝ar＋s，(ar)s＝ar·s，
(a·b)r＝ar·br.(a>0，b>0，r，s∈R)
2．指数函数的图象和性质
指数函数
定义
y＝ax(a>0，a≠1)
思想方法技巧
一、数形结合的思想 有关幂值大小的比较，指数型函数的问题，借助于图象 来求解常能起到事半功倍的效果．
[例1]
比较233与34
3 2
的大小．
解析：在同一直角坐标系中作出函数y＝49x与y＝34
x的图象，考察x＝32时y值大小，
∵49<34，∴49
3 2
3 <4
3 2
，∴233<34
指数函数的综合问题
[例5] (文)(2011·银川模拟)如果函数y＝a2x＋2ax－ 1(a>0，且a≠1)在[－1,1]上的最大值是14，求a的值．
分析：此函数关于ax是二次函数，令t＝ax作换元，则由 x∈[－1,1]可求得t的取值范围，通过配方利用二次函数的单 调性可求得其最大值，令其最大值等于14即可求得a的值．
D．(12)c>(12)a>(12)b
分析：可先由对数函数y＝log 3 x的单调性得出a、b、c
2
的大小，再由y＝(12)x的单调性得出结论．
解析：∵y＝log32x为增函数，log3 b<log3 a<log3 c
2
2
2
∴b<a<c
又y＝(12)x为减函数 ∴(12)b>(12)a>(12)c 故选A.
∴bb··aa＝ 3＝62，4， ②
①
②÷①得a2＝4，
又a>0，且a≠1，∴a＝2，b＝3， ∴f(x)＝3·2x.
(2)由(1)知a＝2，b＝3，∴(
1 a
)x＋(
1 b
)x－m≥0在(－∞，1]
上恒成立，即m≤(12)x＋(13)x在(－∞，1]上恒成立．
令g(x)＝(12)x＋(13)x，