2015高中数学 1.3算法案例学案 新人教A版必修3

《算法案例——辗转相除法与更相减损术》导学案

一、学习目标：

1.理解辗转相除法与更相减损术中蕴含的数学原理，并能根据这些原理进行算法分析.

2.基本能根据算法语句与程序框图的知识设计完整的程序框图并写出算法程序.

二、学习重点与难点：

重点：理解辗转相除法与更相减损术求最大公约数的方法.

难点：把辗转相除法与更相减损术的方法转换成程序框图与程序语言.

三、学习过程与方法：

自主学习：认真自学课本34-37内容.

1.辗转相除法，就是对于给定的两个正整数，用较大的数除以较小的数，若余数不为零，则将余数和较小的数构成新的一对数，继续上面的除法，直到大数被小数除尽为止，这时的较小的数即为原来两个数的最大公约数.

2.更相减损术，就是对于给定的两个正整数，用较大的数减去较小的数，然后将差和较小的数构成新的一对数，继续上面的减法，直到差和较小的数相等，此时相等的两数即为原来两个数的最大公约数.

合作探究（一）：辗转相除法

问题1:12与16的最大公约数是多少？18与90的最大公约数是多少？你是怎样得到的？（1）枚举法：

（2）短除法：

问题2：对于8251与6105这两个数，由于其公有的质因数较大，利用上述方法求最大公约数就比较困难.注意到8251=6105×1+2146，那么8251与6105这两个数的公约数和6105与2146的公约数有什么关系？

又6105=2146×2+1813，同理，6105与2146的公约数和2146与1813的公约数相等.重复上述操作，你能得到8251与6105这两个数的最大公约数吗？

问题3：上述求两个正整数的最大公约数的方法称为辗转相除法或欧几里得算法.一般地，用辗转相除法求两个正整数m，n的最大公约数，可以用什么逻辑结构来构造算法？其算法步骤如何设计？

第一步，给定两个正整数m，n(m>n).

第二步，

第三步，

第四步，

问题4：该算法的程序框图如何表示？

问题5：该程序框图对应的程序如何表述？

问题6：如果用当型循环结构构造算法，则用辗转相除法求两个正整数m，n的最大公约数的程序框图和程序分别如何表示？

练习：用辗转相除法求下列两数的最大公约数：

（1）225,135:；（2）98,196；（3）72,168；（4）153,119.

合作探究（二）：更相减损术

《九章算术》是中国古代的数学专著,是世界数学史上的瑰宝.

设两个正整数m>n，若m-n=k，则m与n的最大公约数和n与k的最大公约数相等.反复利用这个原理，可求得98与63的最大公约数为多少？

练习：用更相减损术求两个正数84与72的最大公约数，并用辗转相除法验证.

合作探究（三）：辗转相除法与更相减损术的区别

（1）都是求最大公约数的方法，计算上辗转相除法以为主，更相减损术以为主，计算次数上辗转相除法计算次数相对，特别当两个数字大小区别较大时计算次数的区别较明显.

（2）从结果体现形式来看，辗转相除法体现结果是则得到，而更相减损术则以相等而得到

课堂测试：

1.用辗转相除法求80和36的最大公约数，并用更相减损术检验所得结果．

2.求三个数175、100、75的最大公约数．

随堂练习：

1.用辗转相除法计算60与48的最大公约数时，需要做的除法次数是( ) A．1 B．2

C．3 D．4

2.用辗转相除法求294和84的最大公约数时，需要做除法的次数是( ) A．1 B．2

C．3 D．4

3.求378和90的最大公约数．

4.求三个数324,243,108的最大公约数．

本节小结：

1.辗转相除法.

2.更相减损术.

3.辗转相除法与更相减损术.

本节作业：

课本P48页习题1.3 A组T1.