初中数学数学名师方运加：当前中国数学教育究竟存在着什么问题

方运加：当前中国数学教育究竟存在着什么问题

——由温总理《教育大计教师为本》说开去

首都师范大学数学科学学院方运加

2009年10月12日人民日报刊载了温家宝的文章《教育大计教师为本》。这篇文章是温总理于2009年9月4日到北京三十五中听了5节课后的点评以及座谈会上听取教师代表发言后的讲话。温总理在文章中提到钱学森曾问他：“为什么现在我们的学校总是培养不出杰出人才？”钱学森就这个问题问过温总理五六次。温总理说：“我理解，钱学森讲的杰出人才不是我们说的一般人才，而是像他那样有重大成就的人才。如果拿这个标准来衡量，我们这些年甚至建国以来培养的人才尤其是杰出人才确实不能满足国家的需要，还不能说在世界上占到应有的地位。”温总理还指出，我们出去这么多留学生，也成长了一批人才，充实了各行各业，但确实很少有像李四光、钱学森、钱三强那样的世界著名人才。

目前的情况是，教师们热衷的各种数学教学目标均将数学教育之根本——培养求原理、讲道理、懂科学、有智慧、究根底、会思考的人抛到了九霄云外，所执之数学教学目标，一是为考试服务，二是假、大、空的浪漫式教育理想。

当前中国数学教育究竟存在着什么问题？温总理到北京三十五中听的那节《三角形全等判定》数学课已经很能够说明问题了。传统的初中几何是平面几何，现在的初中数学教材给出的则是平面与立体界限模糊的几何（因为《数学课程标准》不提“几何”二字，所以现在的教材往往也不提“几何”二字）。“三角形全等判定”的魅力就在于其最佳运用背景是平面空间。就以风筝为例，将这个具有轴对称特点的实物正投影到平面上后，其对称（全等）关系并不能单纯依靠平面上的平移、旋转这两个动作而使其得到验证，通俗讲就是风筝的左半部分有可能在平面上无论经过什么样的旋转、平移都不会与右半部分重合。这相当于说，在平面上，仅靠平移和旋转无法验证所有的轴对称关系。面对这个问题，先贤们，最早的可能是古希腊先哲泰勒斯归纳出了若干判定三角形全等的要素来解决这个矛盾，三角形全等判定的重要性、必要性就在这里。但从温总理听的这堂数学课看，教师采用了翻折的方法来验证轴对称，用以说明风筝的左右部分是全等的。在三维空间（或称平直的立体空间）通过平移、旋转、翻折这三个动作使两个图形重合，自然也就说明了全等。在立体空间这个背景下，平面上的三角形的全等判定定理显然不那么必须了，因为用三个动作的变换就可以使两个三角形重合，即可说明这两个三角形全等。当然，这种运动性的变换尚须以图形的刚性不变为前提，这也是被现在的教材和教师都忽视的前提。这堂课还用到了量角器、圆规、尺子。几何的魅力、几何之能够促使人更智慧的思考，就在于这个系统要求用尽量简单的动作、尽量简单的工具处理并不简单的事物。“三角形全等判定”的魅力就在于其抓住了全等的本质，摆脱了用器具“实际测量”的束缚，这是数学科学的精妙之处。不难看出，该教师并没有讲出数学的聪明，没有讲为什么要有三角形判定定理，没有讲若没有这个判定定理会发生什么。温总理非常内行地指出：“一堂课只教会学生三角形全等的判定，内容显得单薄了一些，还可以再增加一点内容。”

令人遗憾的是，任课教师对温总理所指出的问题的认识是：“这次总理特别选择了一个普通班，这个班级的学生多数不属于基础很好的学生。因此，课程内容量和讲课速度，都要考虑到这部分学生对于知识的接受能力……我理解，总理所说的增加课的容量，应该就是要求教师要在注重基础的同时，也要满足不同层次学生的需求。”（2009年10月13日《新京报》A08版）

不能怪该教师没有领悟温总理的评析，因为当前我国的“三角形全等判定”的课都是这样上的，若说有差别那也仅仅是这节课是讲一个判定定理还是讲三个判定定理的量上的差别。根据《数学课程标准》，不同出版社编写的多套教材也大致就是这样编写的。

再往大了说，到目前为止，人们还是没有认识到“教育大计教师为本”的实质性意义。人们问着“我们为什么产生不出世界级的大师”，却不愿意面对答案：我国中小学数学教师队伍缺乏甚至可以说没有像傅种孙那样能培养出钱学森、闵嗣鹤（中国著名的数学家、北京大学教授、陈景润那篇著名的论文的审稿人）这种杰出人才的大师级教师。

数学教育的根本在于数学教师，在于究竟应该培养什么样的数学教师，提倡什么样的数学教学，在于以怎样的视野、用什么样的话语来讨论数学教育问题。我们就以钱学森的初中老师傅种孙先生为例，来谈谈一个数学教师究竟应该有什么样的数学根底，对数学知识有什么样的思想认识。

钱学森曾回忆过听傅先生讲课的感想，他说：“听傅老师讲几何课，使我第一次懂得了什么是严谨科学。”一名数学教师通过自己的数学课使一位未来的世界级科学家第一次懂得了什么是严谨科学，这是非常了不起的，也是非常值得后世效仿的。只可惜，我们今天的数学教育或数学教学，没有多少人提倡通过数学课来使学生懂得严谨科学的。当今的数学教材不提倡，数学教学不提倡，甚至数学教育研究也不提倡。现在的数学教育提倡让学生学有用的数学，讲究立竿见影，喜欢抛弃本质，而在非本质的形式上打转转、作文章。这使得学生追求实惠、时髦，即使是学得非常好的学生也容易为“实利”所累。

什么样的数学教师才能使学生懂得并追求严谨科学的规律或要求呢？傅种孙早在1920年前后就已经注意到西方先进的数学科学进展，特别重视与数学教育相关的思想或哲学层面的数学发展状况。例如数学哲学、数理逻辑、几何基础，集合理论等。这些领域在当时是十分活跃的，是罗素、怀特海、克莱因、希尔伯特这些大师级数学思想家驰骋的天地，而这些知识涉及的往往是数学原理、数学思想，属于数学科学的哲学思考，对挖掘中小学数学的思想价值、育人价值极有意义。哪怕是最简单的数学对象，例如数字、线段、三角形、圆这些最基本的概念也具有非常深刻的科学背景或数学思考，这些看似简单的知识并不简单。傅先生深入研究过罗素的《算理哲学》，早在1920年就发表过论文《什么是数学》，还将几何研究的先进成果引入我国，翻译出版了希尔伯特的《几何原理》。傅先生注重对数学的原理、道理、科学方法、智慧思考的发掘，并将这些贯穿于数学教学的始终，使学生从数学中获取尽可能多、尽可能大的思想力量。

现以当今小学数学中的“比和比例”内容的教学为例，看看傅先生是如何认识这个教学内容的。他认为教师首先要搞清楚以下几个问题：

（1）什么是比？给学生讲比时，若讲码对尺的比，不是用公尺与市尺的关系来打比方，而是应该用三个手指与一个手指的关系作比喻。这就是用比例说比。

（2）什么是比例？两比相等就是比例。这是用比来说比例。

搞清楚了这两个问题后，自然就有了新问题：

（3）比与比例应该谁先谁后？

第3个问题是教材上不会有、现今的小学数学教师很少会考虑的，但的确是个历史悠久且颇具思想意义的问题，靠小学生自主探究或凭空想是想不出来的。教师要有对这个问题的思考意识，但是现今的小学数学教师未曾受过关于这个问题的数学训练，自然是不会想到这个问题。更严重的是，由于教师缺乏对数学的科学认识，因此也就不会把问题3当一回事，发展学生智慧和提高学生理性思维能力的学习机会就这样流逝了。傅先生对这个问题有精到且科学的表达，可惜无人去读，更没有被重视。今天，无论是中小学数学教师还是学生，绝大多数人对数学中的“比与比例的意义”的认识处在表层。

实际上，在确立了比的意义之后，傅先生的思考还远没有完结，继之而来的问题：

（4）什么是量（liǎng）数？

量Q的量数是该量对于特定么率（单位）U之比，显然么率不同则量数Q∶U不同，因此又有问题：

Q1/U Q1/U’

（5）———＝———吗？

Q2/U Q2/U’

（6）能说两量的比即是它们的量数的比吗？

傅先生指出，当时（1941年）的教材都漠视问题5而漫谈问题6，这是个缺憾。他不无讥讽的指出：“我说的这一切，都是我们教学中所认为不成问题的。幸而学生们都有颜回之风，终日不言，教师得安然无事，若有子路在座，怕是要不得