湖南省浏阳一中、醴陵一中2020-2021学年高二12月联考数学(理)试题

【校级联考】湖南省浏阳一中、醴陵一中2020-2021学年高

二12月联考数学（理）试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．设数列{a n }的前n 项和S n =n 3，则a 4的值为（） A ．15

B ．37

C ．27

D ．64

2．设命题p ：0x ∀>，2log 23x x <-，则p ⌝为（ ） A ．0x ∀>，2log 23x x ≥- B ．0x ∃>，2log 23x x ≥- C ．0x ∃>，2log 23x x <-

D ．0x ∀>，2log 23x x ≥-

3．若非零向量a ，b 满足||a b |=|，向量2a b +与b 垂直，则a 与b 的夹角为（ ） A ．150︒ B ．120︒

C ．60︒

D ．30

4．设曲线1

1

x y x +=-在点(32)，

处的切线与直线10ax y ++=垂直，则a =（ ） A ．2

B ．1

2 C ．12

- D ．2-

5．正项等比数列{}n a 中，4532a a ⋅=，则212228log log log a a a +++的值（ ）

A ．10

B ．20

C ．36

D ．128

6．设,a b 都是不等于1的正数，则“333a b >>”是“33log log a b <”成立的（ ） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件

D ．既不充分也不必要条件

7．若()()2

21f x xf x '=+，则()0f '等于（ ）

A ．2

B ．0

C ．-2

D ．-4

8．在等差数列{}n a 中，131a =，1020S S =，则数列{}n a 的前n 项和n S 的最大值为（ ）

A ．15S

B ．16S

C ．15S 或16S

D ．17S

9．双曲线22

1169x y -=的左、右焦点分别为12,F F ，P 为双曲线右支上一点，I 是12

PF F ∆的内心，且2112IPF IPF IF F S S S λ∆∆∆=-，则λ=（ ） A ．

35

B ．45

-

C ．

35

D ．

45

10．如图，060的二面角的棱上有,A B 两点，直线,AC BD 分别在这个二面角的两个半

平面内，且都垂直于AB ．已知4,6,8AB AC BD ===，则CD 的长为

A

B ．7

C

．D ．9

11．在椭圆2

214

x y +=上有两个动点,P Q ，()1,0E 为定点，EP EQ ⊥，则EP QP

⋅的最小值为( )． A ．4

B

．3

C ．

23

D ．1

12．函数(1)=-y f x 的图象关于直线1x =对称，当(0,)x ∈+∞时，()()0

f x xf x '

+<成立，若0.20.2

1

12

2

11

2(2),ln 2(ln 2),log (log )44a f b f c f ===⋅，则,,a b c 的大小关系是（ ） A ．a b c >> B ．b a c >>

C ．c a b >>

D ．a c b >>

二、填空题

13．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若972S =，则249a a a ++= ________． 14．已知抛物线y 2=4x 上一点P 到焦点F 的距离为5，则ΔPFO 的面积为__________. 15．若关于x 的不等式0x e ax -≥对任意(0,)x ∈+∞恒成立，则a 的取值范围是______． 16．已知M 是ABC ∆内的一点（不含边界），且•23AB AC =，030BAC ∠=，若

,MBC MCA ∆∆和MAB ∆的面积分别为,,,x y z 则

14

x y z

++的最小值是______．

三、解答题 17．设31

:

2

1x p x -≤-，2:(21)(1)0q x a x a a -+++<，若q ⌝是p ⌝的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．

18．小王于年初用50万元购买一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出6万元，从第二年起，每年都比上一年增加支出2万元，假定该车每年的运输收入均为25万元．小王在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第x 年年底出售，其销售价格为(25－x )万元(

国家规定大货车的报废年限为10年)．

(1)大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？

(2)在第几年年底将大货车出售，能使小王获得的年平均利润最大？(利润＝累计收入＋销售收入－总支出)

19．已知等差数列{}n a 的首项11a =，公差0d >，且第2项、第5项、第14项分别是一个等比数列的第2项、第3项、第4项． (1) 求数列{}n a 的通项公式； (2) 设()

()*

121

,3n n

n n

b n N S b b b n a =∈=++++，是否存在t ，使得对任意的n 均

有36

n t

S >

总成立？若存在，求出最大的整数t ；若不存在，请说明理由． 20．如图，三棱锥P ABC -，侧棱2PA =，底面三角形ABC 为正三角形，边长为2，顶点P 在平面ABC 上的射影为D ，有AD DB ⊥，且1DB =.

（1）求证：//AC 平面PDB ； （2）求二面角P

AB C 的余弦值；

（3）线段PC 上是否存在点E 使得PC ⊥平面ABE ，如果存在，求CE

CP

的值；如果不存在，请说明理由.

21．已知椭圆E ：22221x y a b +=（0a b >>）经过点,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭

，，点O 为坐标原点.

（1）求椭圆E 的标准方程；

（2）过椭圆E 的左焦点F 任作一直线l ，交椭圆E 于P ，Q 两点，求OP OQ ⋅的取值范围.

22．已知函数()ln a

f x x x

=-

，()()6ln g x f x ax x =+-，其中a R ∈. （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；

（Ⅱ）设函数2

()4h x x mx =-+，当2a =时，若1(0,1)x ∃∈，2[1,2]x ∀∈，总有

12()()g x h x ≥成立，求实数m 的取值范围．