空间直角坐标系空间向量及其运算

【名师说“法”】
空间共线向量定理、共面向量定理的应用
三点(P，A，B)共线 空间四点(M，P，A，B)共面
P→A＝λP→B
M→P＝xM→A＋yM→B
对空间任一点 O，O→P＝ 对空间任一点 O，O→P＝O→M＋
O→A＋tA→B
xM→A＋yM→B
三点(P，A，B)共线 空间四点(M，P，A，B)共面
[解析] 因为 α⊥β，所以两个平面的法向量也垂直，因此 (－1,3,4)·(x,1，－2)＝0，即 x＝－5.
[答案] －5
5．已知空间三点 A(1,1,1)，B(－1,0,4)，C(2，－2,3)，则A→B
与C→A的夹角 θ 的大小是________．
[解析] 由题意知A→B＝(－2，－1,3)，C→A＝(－1,3，－2)，故
[答案] C
角度二 利用数量积求长度 2．如图，在 60°的二面角 α、l、 β 的棱 上有两点 A，B，点 C，D 分别在 α，β 内， 且 AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝AB＝1，则 CD 的长度为 ______________．
2
O→M)＝12(O→B＋O→C－O→A)＝12(b＋c－a)．
[答案]
12(b＋c－a)
3．如图所示，已知空间四边形 OABC，其
对角线为 OB、AC，M、N 分别为 OA、BC 的中
点，点 G 在线段 MN 上，且M→G＝2G→N，若O→G＝
x
→ OA
＋
y
→ OB
＋
z
→ OC
，
则
x，y，z
的值分别为
平行于同一个__平__面____的向量
0
a＝b a的相反向 量为－a
a∥b
(2)空间向量的线性运算及运算律 ①定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与 数乘向量运算，如：O→B＝O→A＋A→B；B→A＝O→A－O→B. ②运算律：a.加法交换律：a＋b＝b＋a；b.加法结合律：(a ＋b)＋c＝a＋(b＋c)； c．数乘分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb.
(3)空间向量的有关定理
定理
语言描述
共线向 对空间两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存 量定理 在唯一的实数x，使a＝λb.
共面向 如果两个向量a、b不共线，则向量c与向量a，b共 量定理 面的充要条件是，存在唯一的一对实数x，y，使c
＝xa＋yb.
空间向 如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向 量基本 量p，存在一个__唯__一____的有序实数组x，y，z，使 定理 p＝xa＋yb＋zc.
() A．a2
B.12a2
C.14a2
D. 43a2
[解析] 设A→B＝a，A→C＝b，A→D＝c，则|a| ＝|b|＝|c|＝a，且 a，b，c 三向量两两夹角为 60°.
又A→E＝12(a＋b)，A→F＝12c，故A→E·A→F＝12(a ＋b)·12c＝14(a·c＋b·c)＝14(a2cos 60°＋a2cos 60°)＝14a2.
[证明] (1)连接 BG，则E→G＝E→B＋B→G＝E→B＋12(B→C＋B→D)
＝E→B＋B→F＋E→H＝E→F＋E→H， 由共面向量定理的推论知：E、F、G、H 四点共面．
(2)因为E→H＝A→H－A→E＝12A→D－12A→B＝12(A→D－A→B)＝12B→D，所 以 EH∥BD.又 EH⊂平面 EFGH，BD⊄平面 EFGH，所以 BD∥ 平面 EFGH.
[解析] 如图，A→E＝A→A1＋A→1E＝A→A1＋12A→1C1＝A→A1＋12(A→B＋ A→D)，所以 x＝12，y＝12.
[答案] C
3．如图所示，在平行六面体
ABCD—A1B1C1D1 中，M 为 A1C1 与 B1D1 的 交点．若A→B＝a，A→D＝b，A→A1＝c，则下列 向量中与B→M相等的向量是( )
2．空间向量的有关概念及空间向量的线性运算 (1) 空间向量的有关概念
名称
概念
表示
零向量 单位向量 相等向量 相反向量
共线向量 共面向量
模为__0__的向量 长度(模)为__1__的向量 方向___相_同____且模___相__等___的向量
方向___相_反____且模___相__等___的向量
表示空间向量的有向线段所在的直线 互相_平__行__或__重__合__的向量
垂直 a⊥b⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
夹角公式 cos〈a，b〉＝
a1b1＋a2b2＋a3b3 a21＋a22＋a23· b21＋b22＋b23
[小题查验]
1．已知点 A(－3,0，－4)，点 A 关于原点的对称点为 B，
则|AB|等于( ) A．12
B．9
C．25
D．10
[解析] 点 A 关于原点对称的点 B 的坐标为(3,0,4)，故|AB|
A．－12a＋12b＋c
B.12a＋12b＋c
C．－12a－12b＋c
D.12a－12b＋c
[解析] B→M＝B→B1＋B→1M＝A→A1＋12(A→D－A→B) ＝c＋12(b－a)＝－12a＋12b＋c. [答案] A
4．已知平面 α 和 β 的法向量分别是(－1,3,4)和(x,1，－2)， 若 α⊥β，则 x＝________.
________．
[解析] 连结 ON，O→G＝O→M＋M→G＝O→M＋23M→N ＝O→M＋23(O→N－O→M)＝13O→M＋23O→N ＝13O→M＋23×12(O→B＋O→C)＝13×12O→A＋13O→B＋13O→C ＝16O→A＋13O→B＋13O→Cx＝16，y＝13，z＝13. [答案] 16，13，13
(3)找一点 O，并连接 OM，OA，OB，OC，OD，OE，OG. 由(2)知E→H＝12B→D，同理F→G＝12B→D，所以E→H＝F→G，即 EH ∥FG，所以四边形 EFGH 是平行四边形． 所以 EG，FH 交于一点 M 且被 M 平分． 故O→M＝12(O→E＋O→G)＝12O→E＋12O→G ＝1212O→A＋O→B＋1212O→C＋O→D ＝14(O→A＋O→B＋O→C＋O→D)．
[解] (1)由O→A＋O→B＋O→C＝3O→M， ∴O→A－O→M＝(O→M－O→B)＋(O→M－O→C) 即M→A＝B→M＋C→M＝－M→B－M→C，∴M→A，M→B，M→C共面． (2)由(1)知M→A，M→B，M→C共面，且共过同一点 M，∴四点 M，A，B，C 共面．从而点 M 在平面 ABC 内．
cos
θ＝
→→ AB·CA →→
＝－147＝－12.
|AB||CA|
因为 θ∈[0，π]，所以 θ＝23π.
[答案]
2 3π
考点一 空间向量的线性运算(基础型考点——自主练透) [方法链接]
用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为 指导是解题的关键．要正确理解向量加法、减法与数乘运算的 几何意义．首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点 指向末尾向量的终点的向量，我们可把这个法则称为向量加法 的多边形法则．在立体几何中要灵活应用三角形法则，向量加 法的平行四边形法则在空间仍然成立．
＝|A→B|＝ －3－32＋0－02＋－4－42＝10.
[答案] D
2．已知正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，点 E 为上底面 A1C1 的中心，若A→E＝A→A1＋xA→B＋yA→D，则 x，y 的值分别为( )
A．x＝1，y＝1
B．x＝1，y＝12
C．x＝12，y＝12
D．x＝12，y＝1
对空间任一点 O，O→P＝ 对空间任一点 O，O→P＝xO→M
xO→A＋(1－x)O→B
＋yO→A＋(1－x－y)O→B
跟踪训练 已知 A，B，C 三点不共线，对平面 ABC 外的任一点 O， 若点 M 满足O→M＝13(O→A＋O→B＋O→C)． (1)判断M→A，M→B，M→C三个向量是否共面； (2)判断点 M 是否在平面 ABC 内．
(3)空间两点间的距离 ① 设 点 A(x1 ， y1 ， z1) ， B(x2 ， y2 ， z2) ， 则 | A→B | ＝ x2－x12＋y2－y12＋z2－z12. 特别地，点 P(x，y，z)与坐标原点 O 的距离为|O→P|＝ x2＋y2＋z2. ②设点 A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)是空间中两点，则线段 AB 的中点坐标为x1＋2 x2，y1＋2 y2，z1＋2 z2.
[题组集训]
1．已知空间四边形 OABC 中，O→A＝a，O→B＝b，O→C＝c，
点 M 在 OA 上，且 OM＝2MA，N 为 BC 中点，则M→N＝( )
A.12a－23b＋12c
B．－23a＋12b＋12c
C.12a＋12b－12c
D.23a＋23b－12c
[解析] 显然M→N＝O→N－O→M＝12(O→B＋O→C)－23O→A. [答案] B
3.空间向量的数量积及运算律 (1)数量积及相关概念 ①两向量的夹角 已知两个非零向量 a，b，在空间任取一点 O，作O→A＝a，O→B ＝b，则∠AOB 叫做向量 a 与 b 的夹角，记作〈a，b〉，其范围 是[0，π]，若〈a，b〉＝π2，则称 a 与 b__垂__直___，记作 a⊥b.
②两向量的数量积 已知空间两个非零向量 a，b，则|a|·|b|·cos〈a，b〉叫做向 量 a，b 的数量积，记作 a·b，即 a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． (2)空间向量数量积的运算律 ①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)； ②交换律：a·b＝b·a； ③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.
考点二 共线、共面向量定理及应用(重点型考点——师生 共研)
【例】 (2016·上饶调研)已知 E、F、G、H 分别是空间四 边形 ABCD 的边 AB、BC、CD、DA 的中点，
(1)求证：E、F、G、H 四点共面； (2)求证：BD∥平面 EFGH； (3)设 M 是 EG 和 FH 的交点，求证：对空间任一点 O，有 O→M＝14(O→A＋O→B＋O→C＋O→D)．
(2)空间中点M的坐标 空间中点M的坐标常用有序实数组(x，y，z)来表示，记作 M(x，y，z)，其中x叫做点M的______横__坐__标_____，y叫做点M的 ___纵__坐__标___，z叫做点M的__竖__坐__标___ ． 建立了空间直角坐标系后，空间中的点M和有序实数组 (x，y，z)可建立一一对应的关系．
[要点梳理] 1．空间直角坐标系及空间两点间的距离
名称
内容
空间直角 以空间一点O为原点，具有相同的单位长度，给 坐标系 定正方向，建立三条两两垂直的数轴：x轴、y
轴、z轴，这时建立了一个空间直角坐标系Oxyz
坐标原点
点O
坐标轴
___x_轴__、 __y_轴___、 _z_轴____
坐标平面
通过每两个坐标轴的平面
4．向量的坐标运算 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)
向量和 a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) 向量差 a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3) 数量积 a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3 数乘向量 λa＝(λa1，λa2，λa3)
共线
a∥b(b≠0)⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3 a∥b⇔ab11＝ab22＝ab33
考点三 空间向量的数量积及应用(高频型考点——全面 发掘)
[考情聚焦] 空间向量的数量积运算是高考命题的热点，也是难点、一 般不单独命题，常融合在考查夹角、距离等知识的解答题里 面．常见的命题角度有：
角度一 求空间向量的数量积
1．(2016·西安质检)已知空间四边形 ABCD 的每条边和对角
线的长都等于 a，点 E，F 分别是 BC，AD 的中点，则A→E·A→F＝
第七章 立体几何与空间向量
第6节 空间直角坐标系、空间向 量及其运算
◆考纲·了然于胸◆
1．了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位 置．
2．会简单应用空间两点间的距离公式． 3．了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及 其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示． 4．掌握空间向量的线性运算及其坐标表示． 5．掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的 数量积判断向量的共线与垂直．
2．已知空间四边形 OABC，点 M，N 分别是 OA，BC 的中
点，且O→A＝a，O→B＝b，O→C＝c，用 a，b，c 表示向量M→N＝________.
[解析] 如图所示，M→N＝12(M→B＋M→C)＝12
[(
O→B －
→ OM
)
＋(
O→C － O→M
)] ＝
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