反常积分的计算

§6.4 反常积分
一、无穷限的反常积分 二、无界函数的反常积分
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铃
❖无穷限的反一常积、分无的定穷义 限的反常积分
连续函数f(x)在区间[a, )上的反常积分定义为
a
f
(
x)d
x
lim
b
b
a
f
(
x)dx
在反常积分的定义式中, 如果极限是存在的, 则称此反常积分
收敛, 否则称此反常积分发散
4
2 2 2.
例6 求 2
sin x
dx.
0 sin x cos x
解 由I 2
sin x
dx, 设 J 2
cos x
1 x2
的瑕点
由
于
0
1
1 x2
dx
[
1 x
]0011
lim ((
xx00
1x1x )) 11
,,
即
反
常
积
分
0
1
1 x2
dx
发散
,
所
以
反
常
积分
1
1
1 x2
dx
发
散
下页
例例66
讨论反常积分
b
a
(
x
d
x a
)
q
的敛散性
解解
当 q1 时,
b
a (x
dx a)q
b
a
dx xa
[ln( x
a
)
]
b a
b
a
f
(x)dx lim tc
t
a
f
(x)dx
lim
tc
b
t
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
f
(x)dx
下页
二、无界函数的反常积分
❖无界函数反常积分的定义
设函数f(x)在区间(a, b]上连续, 点a为f(x)的瑕点 函数f(x)在(a, b]上的反常积分定义为
b
a
f
(x)dx
lim
t a
b
t
f
(x)dx
•反常积分的计算
如果F(x)为f(x)的原函数, 则f(x)在(a, b]上的反常积分为
b
b
a
f
(
x)dx
•反常积分的计算
如果F(x)是f(x)的原函数, 则有
a
f
(
x
)
d
x
lim
b
b
a
f
(
x
)d
x
lim [
b
F
(
x
)
]ba
lim F (b) F (a) lim F (x) F (a)
b
x
可采用如下简记形式：
a
f
(x)dx
[F
( x)]a
lim
x
F
(x)
F
(a)
解：
的无穷间断点, 故 I 为反常
积分.
I
0
11
f
( x) f 2(x)
d
x
2 f (x) 0 1 f 2(x) d x
3
21
f
( x) f 2 (x)
d
x
f 1
( x) f 2(x)
d
x
1
d
f f
(x) 2 (x)
arctan
f
(x)
C
]
] arctan 32 2
2
2
27
说明: (1) 有时通过换元 , 反常积分和常义积分可以互 相转化 .
x
x
( ) 22
下页
a
f
(x)dx
[F
( x)]a
lim
x
F
(x)
F
(a)
例例22
计算反常积分
te ptdt
0
(p
是常数,
且
p>0)
解解
te ptdt [
0
te
ptdt]0
[
1 p
tde pt ]0
[ 1 te pt 1
p
p
e ptd t]0
[
1 p
te pt
思考: 下列作法是否正确?
2. 注意特殊形式定积分的计算 3. 利用各种积分技巧计算定积分 4. 有关定积分命题的证明方法
例1. 求
lim
n
1 xne x 01 ex
dx
.
解: 因为
时,
0
x ne x 1 e x
x
n,
所以
0
1 xne x 01 ex
dx
1 xn dx 1
0
n1
利用夹逼准则得
令 x u2,得
(s) 2 eu2 u2s1 d u (s 0) 0
再令 2s 1 t , 即s 1 t , 得应用中常见的积分 2
uteu2 d u 1 1 t (t 1)
0
22
这表明左端的积分可用 函数来计算.
例如,
一、主要内容
问题1: 曲边梯形的面积
问题2: 变速直线运动的路程
b
a
f
(x)dx
lim
t a
b
t
f
(
x)d
x
lim
t a
[
F
(
x)
]bt
可采用简记形式
F (b) lim F (t) F (b) lim F (x)
t a
x a
b
a
f
(x)dx
[F
( x ) ]ba
F
(b)
lim
x a
F
(x)
下页
二、无界函数的反常积分
❖无界函数反常积分的定义
设函数f(x)在区间(a, b]上连续, 点a为f(x)的瑕点 函数f(x)在(a, b]上的反常积分定义为
n
n1
n
1 2
n
1 n
提示：
lim 1 n n 1
ni 2n 原式
i 1
lim 1
n
i 2n
n n i1
左边
lim n n n 1
n
i 2n
1 2x d x 0
= 右边
i 1
例3. 估计下列积分值
解: 因为 1 4
∴
11 dx
02
即 1 2
1, 4 x2
1
1
dx
0 4 x2
设函数f(x)在区间(a, b]上连续, 点a为f(x)的瑕点 函数f(x)在(a, b]上的反常积分定义为
b
a
f
(x)dx
lim
t a
b
t
f
(x)dx
类似地, 函数f(x)在[a, b)上(b为瑕点)的反常积分定义为
b
a
f
(
x
)d
x
lim
tb
t
a
f (x)dx
函数f(x)在[a, c)(c, b]上(c为瑕点)的反常积分定义为
n n sin k
n 1 k1 n
1 n
n
sin
k
n
k 1
n
1 k
n sin k
k 1
n
1 n
已知 lim n sin k 1 1 sin x dx 2 ,
n k 1
nn 0
lim n 1 n n 1
利用夹逼准则可知 I 2 .
思考: 提示:由上题
sin n
(n 1)
n
lim
n
1 xne x 01 ex
dx
0
说明: 1) 思考例1下列做法对吗 ?
利用积分中值定理, 原式
不对 ! 因为 依赖于 n,且 0 1 .
2) 此类问题放大或缩小时一般应保留含参数的项 .
1
x
p
1
1 x
p
1
1
x
p
x
p
1
(0
x
1)
例2. 求
解：将数列适当放大和缩小，以简化成积分和：
d
x
[
ar
c
s
in
x a
]
a 0
lim arc s in x
x a
a
0
2
下页
当c (acb)为瑕点时,
b
a
f
(
x)d
x
c
a
f
(
x)d
x
b
c
f
(
x)dx
[ lim xc
F
(x)
F
(a)]
[F
(b)
lim
xc
F
(x)]
例例55
讨
论
反
常
积
分
1
1
1 x2
dx
的
收
敛
性
解解
在 区 间 [1,
1]上
x0
为函数
存在定理 定积分 广义积分
的定 性积 质分
牛顿-莱布尼茨公式
b
a f ( x)dx F (b) F (a)
计 算 法
定 积 分 的
二、与定积分概念有关的问 题的解法
1. 用定积分概念与性质求极限
2. 用定积分性质估值
3. 与变限积分有关的问题
三、有关定积分计算和证 明的方法 1. 熟练运用定积分计算的常用公式和方法
n
1
1
故
J
I
lim
sin
n
lim
sin
(n
1)
n
n n 1
n
n
n
1
1
2
00
2
练习: 求极限
1.
lim (
n
n n2
1
n2
n
22
n2
n n2
).
解：
原式
lim 1 n n
n1
i 1
1
(
i n
)2
1 0
1
1 x
2
d
x
4
2. 求极限
1
2
n
lim ( 2n 2n 2n ).
(b)
lim
x
F
(
x)
,
f
(x)d
x
[F
(x)
]
lim
x
F
(
x)
lim
x
F
(x)
下页
f
(
x)d
x
[F
(
x)
]
lim
x
F
(x)
lim
x
F
(
x)
例例11
计
算
反
常
积
分
1 1 x2
dx
解解
1 1 x2
dx
[arc tan
x]
lim arc tan x lim arc tan x
解:
令
t
1 x
01
1
1 t4
1 t2
d t
t 2 0 1t4
d
t
d
0 1
x x4
1 2
d 0 1
x x4
01
x2 x4
d
x
1
2
1 0 1
x2 x4
d
x
1
2
0
1 x2
1
1 x2
x2
d
x
1
2
0
(x
1
1 x
)2
2
d
(x
1) x
1
arctan
x
1 x
22
2 0
函数
1. 定义
类似地, 连续函数f(x)在区间(, b]上和在区间(, )的反常 积分定义为
b
f
(
x
)d
x
lim
a
b
a
f
(
x
)
d
x
f
(x)d
x
lim
a
0
a
f
(
x)d
x
lim
b
b
0
f
(
x)dx
下页
一、无穷限的反常积分
❖无穷限的反常积分的定义
连续函数f(x)在区间[a, )上的反常积分定义为
a
f
(
x)d
x
lim
0
1
(n 1) n(n) n(n 1)(n 1)
n!(1)
(2) 当s 0时, (s) .
证: (s) (s 1) , (1) 1 s
且可证明(s)在s 0连续,
s 0时, (s)
(3) 余元公式:
(s)(1 s) sin( s)
当
s
1 2
时,
有
(0 s 1)
(4) (s)的其他形式
下页
当
a
为
瑕
点
时
,
b
a
f
(x)d
x
[F
( x ) ]ba
F
(b)
lim
x a
F
(x)
当
b
为瑕点时,
b
a
f
(
x)d
x
[
F
(
x
)
]ba
lim
xb
F (x) F (a)
例例44
计
算
反
常
积
分
a
0
1 dx a2 x2
解解 因 为 lim 1 , xa a2 x2
所以点a为被积函数的瑕点
a
0
1 a2 x2
解解
当 p1 时,
a
1 xp
dx
a
1 x
dx
[ln
x]
a
当 p<1 时,
a
1 xp
dx
[1
1
p
x1
p]
a
当 p>1 时,
a
1 xp
dx
[1 1
p
x1
p]
a
a1 p p 1
因此,
当 p>1 时,
此反常积分收敛,
其值为
a1 p p 1
当p1时, 此反常积分发散
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❖无界函数二反常、积分无的定界义函数的反常积分 设函数f(x)在区间(a, b]上连续, 点a为f(x)的瑕点 函数f(x)在(a, b]上的反常积分定义为
b
a
f
(x)dx
lim
t a
b
t
f
(x)dx
•反常积分的计算
如果F(x)为f(x)的原函数, 则f(x)在(a, b]上的反常积分为
提问：
b
a
f
(x)dx
[F
( x ) ]ba
F
(b)
lim
x a
F
(x)
f(x)在[a, b)上和在[a, c)(c, b]上的反常积分如何计算？
如何判断反常积分的敛散性？
a a
b
v.p.a f (x) dx
(c为瑕点, a c b)
lim
0
c
a
f (x)dx
b
c
f (x) dx
注意: 主值意义下反常积分存在不等于一般意义下反
常积分收敛 .
计算 d x
0 1 x4 dx
1 x4
例题 试证
d x 0 1 x4
01
x2 x4
d
x
,
并求其值
.
(s) xs1ex d x (s 0) 0
2. 性质
(1) 递推公式 (s 1) s (s) (s 0)
证: (s 1) xsex d x xs d ex (分部积分)
0
0
xsex
s
xs1ex d x
0
0
s (s)
注意到: (1)
n N , 有
ex d x
例如 ,
1 0
1
1 x2
x2
1 x2
dt
1 d(x 1x) 0 (x 1x)2 2
0 dt 2 t2
(2) 当一题同时含两类反常积分时,
应划分积分区间,
分别讨论每一区间上的反常积分.
(3) 有时需考虑主值意义下的反常积分. 其定义为
v.p. f (x) dx lim
a
f (x) dx
b
a
f
(x)dx
lim
t a
b
t
f
(x)dx
在反常积分的定义式中, 如果极限是存在的, 则称此反常积分
收敛 否则称此反常积分发散
注： 如果函数f(x)在点x0的任一邻域内都无界, 那么点x0称为函数f(x)
的瑕点(也称为无界间断点) 无界函数的反常积分又称为瑕积分
下页
二、无界函数的反常积分
❖无界函数反常积分的定义
下页
一、无穷限的反常积分
❖无穷限的反常积分的定义
连续函数f(x)在区间[a, )上的反常积分定义为
a
f
(
x)d
x
lim
b
b
a
f
(
x)dx
•反常积分的计算
如果F(x)是f(x)的原函数, 则有
a
f
(x)dx
[F
( x)]a
lim
x
F
(x)
F
(a)
类似地, 有
b
f
(x)d
x
[F
(
x ) ]b
F
1 p2
e p t ]0
lim [ t
1 p
te pt
1 p2
e pt]
1 p2
1 p2
提示：
lim te pt
t
lim t
t e pt
lim t
1 pe pt
0
下页
a
f
(x)dx
[F
( x)]a
lim
x
F
(x)
F
(a)
例例33
讨论反常积分
a
1 xp
dx
(a>0)的 敛 散 性
当 q1 时,
b
a
(
x
d
x a
)
q
[11 q
(x
a
)1
q
]
b a
当 q1 时,
b
a
(x
dx a)q
[1
1
q
(x
a)1 q ]
b a
1 1 q
(b
a)1 q
因此,
当 q<1 时,
此反常积分收敛,
其
值
为
1 1 q
(b
a)1 q
当q1时, 此反常积分发散
结束
例7.
求
I
3 f (x) 11 f 2 (x) d x
6
例4. 证明 2 e2 x2x d x 2e2 .
4e 0
证: 令 令
则 得
故
例5 求 2 1 sin 2xdx. 0
y cos x
解：
sin x
原式 2 sin x cos x dx 0
o
4
2
x
4 (cos x sin x)dx
0
2(sin x cos x)dx