华中科技大学《数理方程与特殊函数》课程PPT——第二章 2.4

以上几种形式对于一维振动方程、热传导方程和 矩形域上的拉普拉斯方程是适用的。 (5) 圆域上的拉普拉斯方程对应的固有函数系为 1, cos , sin , cos2 , sin 2 ,cosn , sin n ,
1
预备知识：卷积与卷积定理
t
复变函数 P224
（关于Laplace变换的） 1. 卷积 f1 (t ) f 2 (t ) 0 f1 ( ) f 2 ( t ) d , ( t 0) .
将
u n (t ) na l
l 0
na f n ( ) sin (t )d l
nx u ( x, t ) u n (t ) sin , l n 1

(n 1, 2, ).
(53)
代入
(49)
即得定解问题(46)-(48)的解。
14
例1 求解下列问题 x 2 u tt a u xx A sin t cos (0 x l , t 0), l
(55)
wtt a 2 wxx (0 x l , t 0), w(0, t ) 0, w(l , t ) 0, w( x,0) ( x), w ( x,0) ( x). t
(56)
5
为此，我们首先讨论齐次边界条件与零初值条件 的强迫振动问题：
12
u tt a 2 u xx f ( x, t ) (0 x l , t 0), (46) (47) u (0, t ) 0, u (l , t ) 0, u ( x,0) u ( x,0) 0. (48) t
于是得如下常微分方程的初值问题
na u' ' n (t ) u n (t ) f n (t ) l (n 1, 2, ). u n (0) u' n (0) 0,
n 0
l
2 n a nx x A sin t cos , u n cos u ' ' n l l l n 0
比较等式两边系数即得
na u' ' n un 0 l
nx , l
(50)
8
u tt a 2 u xx f ( x, t ) (0 x l , t 0), (46) (47) u (0, t ) 0, u (l , t ) 0, u ( x,0) u ( x,0) 0. (48) t
nx u ( x, t ) u n (t ) sin , l n 1 nx f ( x, t ) f n (t ) sin , l n 1
s 2U (s) su(0) u(0) k 2U (s) F (s)
s 2U ( s) k 2U ( s) F ( s)
因此
1 k U (s) F ( s ). 2 2 k s k
L[sin at ]
a s2 a2
对上式作拉普拉斯逆变换得
1 1 t u (t ) f (t ) sin kt f ( ) sin k (t )d . k k 0
我们可以设问题(54)的解为
u( x, t ) v( x, t ) w( x, t , ),
其中 v( x, t ) 表示仅由强迫力引起的弦振动的位移； 而 w( x, t ) 表示仅由初始状态引起的弦振动的位移；
u tt a 2 u xx f ( x, t ) (0 x l , t 0), (54) u (0, t ) 0, u (l , t ) 0, u ( x,0) ( x), u ( x,0) ( x). t
第一步：设所求的解为
nx u( x, t ) u n (t ) sin , l n 1

(49)
其中 u n (t ) 是关于 t 的待定函数。 第二步：将方程中的自由项 f ( x, t ) 也按上述固有 函数系展成傅里叶级数：
f ( x, t ) f n (t ) sin
n 1

1
[ F1 ( s)]
1
[ F2 ( s)].
2.4 非齐次方程的求解问题
本节考察非齐次方程的定解问题，并介绍一种
常用的解法：固有函数法。 下面我们将以三种类型定解问题的解法为例， 来说明这种解法的要点与解题步骤。 一、有界弦的强迫振动问题 二、有限长杆的热传导问题(有热源) 三、泊松方程(非齐次的拉普拉斯方程)

(49)
(50) (51)
其中
2 l nx f n (t ) f ( x, t ) sin dx (n 1, 2, ). 0 l l
2 n a nx 0, u n (t ) f n (t ) sin u ' ' n (t ) l l n 1
l 0
f n ( ) sin
na (t )d l
(n 1, 2, ).
(53)
11
补充 用拉普拉斯变换求解
u (t ) k 2 u(t ) f (t ),
u(0) 0, u (0) 0.
解 记 U (s) L[u], F (s) L[ f ], 对方程两边作 拉普拉斯变换得 L[u'' (t )] s 2 L[u(t )] su(0) u' (0)
（满足交换律、结合律、分配律）
2. 卷积定理 记 F1 ( s) 定理
[ f1 ( t ) ] , F2 ( s) [ f 2 (t ) ] .
[ f1 (t ) f 2 (t ) ] F1 ( s) F2 ( s) .
1
[F1 ( s ) F2 ( s ) ] f1 (t ) f 2 (t )
nx u ( x, t ) u n (t ) sin , l n 1

(49)
由此得
2 nx na u ' ' ( t ) u ( t ) f ( t ) sin 0, n n n l l n 1
na u' ' n (t ) u n (t ) f n (t ) l
2
(52)
应用常微分方程中的常数变易法或拉氏变换法，得 问题(52)的解为
un (t ) na l
t 0
f n ( ) sin
na (t )d l
(n 1, 2, ).
(53)
13
u tt a 2 u xx f ( x, t ) (0 x l , t 0), (46) (47) u (0, t ) 0, u (l , t ) 0, u ( x,0) u ( x,0) 0. (48) t
由2.1节的知识可知， 满足(46)相应的齐次方程
utt a 2u xx ,
且同时满足齐次边界条件(47)的固有函数系为
nx {sin }n 1 l
7
u tt a 2 u xx f ( x, t ) (0 x l , t 0), (46) (47) u (0, t ) 0, u (l , t ) 0, u ( x,0) u ( x,0) 0. (48) t
v( x, t ) 和 w( x, t ) 分别满足如下定解问题： vtt a 2 v xx f ( x, t ) (0 x l , t 0), v(0, t ) 0, v(l , t ) 0, v( x,0) v ( x,0) 0. t
分离 变量法
u tt a 2 u xx f ( x, t ) (0 x l , t 0), (46) (47) u (0, t ) 0, u (l , t ) 0, u ( x,0) u ( x,0) 0. (48) t
上述问题，可采用类似于线性非齐次常微分方程 所用的常数变易法， 并保持这样的设想： 即这个定解问题的解可分解为无穷多个驻波 的叠加， 而每个驻波的波形仍然是由该振动体的 固有函数所决定。

其中 u n (t ) 是关于
t 的待定函数。
15
例1 求解下列问题 x 2 u tt a u xx A sin t cos (0 x l , t 0), l
u x (0, t ) 0, u x (l, t ) 0,
u( x,0) ut ( x,0) 0. 其中 A, 均是常数。 解 将 u( x, t ) u n (t ) cos nx , 代入原方程化简得
小结 几种常见的固有函数系的形式 (1) u(0, t ) 0, u(l , t ) 0; (2) u(0, t ) 0, u x (l, t ) 0; (3) u x (0, t ) 0, u(l, t ) 0; (4) u x (0, t ) 0, u x (l, t ) 0;
6
为此，我们首先讨论齐次边界条件与零初值条件 的强迫振动问题：
源自文库
u tt a 2 u xx f ( x, t ) (0 x l , t 0), (46) (47) u (0, t ) 0, u (l , t ) 0, u ( x,0) u ( x,0) 0. (48) t
于是得如下常微分方程的初值问题
na u' ' n (t ) u n (t ) f n (t ) l (n 1, 2, ). u n (0) u' n (0) 0,
2
(52)
应用常微分方程中的常数变易法或拉氏变换法，得 问题(52)的解为
u n (t ) na l
2
(n 1, 2, ).
在表达式(49)中利用初值条件(48)得
u n (0) 0,
u' n (0) 0,
10
u tt a 2 u xx f ( x, t ) (0 x l , t 0), (46) (47) u (0, t ) 0, u (l , t ) 0, u ( x,0) u ( x,0) 0. (48) t
nx sin (n 1, 2, ); l (2n 1)x sin (n 1, 2, ); 2l (2n 1)x cos (n 1, 2, ); 2l nx cos (n 0, 1, 2, ); l
u x (0, t ) 0, u x (l, t ) 0,
u( x,0) ut ( x,0) 0. 其中 A, 均是常数。 解 由于与方程相应的齐次方程且同时满足齐次 nx }n 0 , 第二类边界条件的固有函数系为{cos
首先，设所求的解为
l
nx u( x, t ) u n (t ) cos , l n 0
把(49)-(50)代入方程(46)中可得
9
u tt a 2 u xx f ( x, t ) (0 x l , t 0), (46) (47) u (0, t ) 0, u (l , t ) 0, u ( x,0) u ( x,0) 0. (48) t
3
一、有界弦的强迫振动问题 首先，我们考察下列问题 u tt a 2 u xx f ( x, t ) (0 x l , t 0), (54) u (0, t ) 0, u (l , t ) 0, u ( x,0) ( x), u ( x,0) ( x). t