材料力学第8章-能量法1

n
F2 F1
Fi
Fn
i
Fn
n
能量法/克拉贝隆原理
•证明：
弹性体在 F1 , F2 ,, Fn 载荷作用下同时发生几种基本变形 (即组合变形）。且弹性体在变形过程中贮存的应变能只 取决于外力和位移的终值，与加力顺序无关。 因此可假设F1 , F2 ,, Fn 按同一比例从零逐渐增加到终值，
(dx)
FN 2 ( x)dx 1 dU FN ( x)d(L) 2 2 EA
整个杆件的拉压应变能
FN ( x)dx U dU L L 2 EA
2
能量法/杆件的应变能
2、圆截面杆的扭转
Mx
Mx
TL M x L GI p GI p
A

Mx L O 圆截面杆的应变能
能量法/卡氏定理
卡氏定理的特殊形式
(1)横力弯曲的梁：
M 2 ( x)dx U L 2 EI
1d , 2d ,, n d ,
F1 ( d ), F2 ( d ),, Fn ( d , )
在以上位移增量上所作的功为（略去高阶微量）：
dW ( d ) Fi i d Fi i d
i 1 i 1
n
n
积分得
1 W Fi i d Fi i U 0 i 1 i 1 2
M ( x) M F ( x) M m ( x) Fx m
m F 代入应变能的内力表达式：
L
M 2 ( x)dx L ( Fx m)2 U dx L 0 2 EI 2 EI
F 2 L3 FmL2 m2 L 6 EI 2EI 2EI
能量法/克拉贝隆原理
能量法/卡氏定理
三、卡氏定理 卡氏第二定理
U i Fi
1
F1 2
F2
Fi
i
Fn
n
线弹性结构的应变能，对于作用其上的
某一广义外力的变化率(偏导数)，等于 与该广义外力相应的广义位移。
卡氏第一定理
U Fi i
结构的应变能，对于结构上与某 一广义外力相应的广义位移的变
化率，等于该广义外力的值。
式中 M ——梁横截面上的弯矩； I ——梁横截面对中性轴的惯性矩
能量法/杆件的应变能
•横力弯曲梁(弯矩沿梁的轴线为变量)的应变能
按微段分析：
1 2 M 2 ( x)dx dU M ( x)d 2 2 EI
整梁的弯曲应变能
和拉压、扭转应变能比较
M ( x)dx U dU L L 2 EI
1 n
n
此式称为克拉贝隆原理。
能量法/克拉贝隆原理
•特别注意点：
Fi ——广义力，可以是一个力，也可以是一个力偶，
或者是一对力，或者是一对力偶。
i ——在所有力共同作用下(因 i 与全部作用力有关)，
与广义力 Fi 相对应的沿着力的方向的广义位移。
力——沿力矢方向的线位移
力偶——力偶转向的角位移 一对力——该对力两作用点沿力矢方向的相对线位移 一对力偶——该对力偶两作用截面间沿力偶转向的相对角位移
T 2 dx 1 dU T d 2 2GI p
T 2 ( x)dx U dU L L 2GI p
能量法/杆件的应变能
3、平面弯曲
m m
ML mL EI EI
A
L 纯弯曲梁的应变能：
m

o
2 2
B
1 m L M L EI 2 U W m 2 2 EI 2 EI 2 L
T ( x)dx U dU L L 2GI p
2
2
FN ( x)dx U dU L L 2 EA
2
能量法/杆件的应变能
4、剪切

FS
纯剪切时微段梁的应变能： FS/A C
FS dx O B

1 dU FS dx 2 1 FS dx 2 G 2 1 ( FS ) dx 2 GA
杆件上的应变能。 3 应变能为内力（或外力）的二次函数，故叠加原理 在应变能计算中不能使用。 只有当杆件上任一载荷在其他载荷引起的位移上不 做功时，才可应用。例如：
能量法/克拉贝隆原理
FN (x) — 只产生轴向线位移 T(x) — 只产生扭转角 M(x) — 只产生弯曲转角 不计FS 产生的应变能
F ( x)dx T 2 ( x)dx M 2 ( x)dx U L L 2GI L 2 EA 2 EI p
4 应变能是恒为正的标量，与坐标轴的选择无关，
在杆系结构中，各杆可独立选取坐标系。
2 N
能量法/克拉贝隆原理
•例1 试计算图示吊车架的应变能，并应用它求节点A的 竖直位移。已知E=200GPa,F =57.6kN。斜杆AB由两根 50505mm等边角钢组成，每根角钢的横截面面积 A1 4.8cm 2 ，横杆AC由两根No.10槽钢组成，每根槽钢 2 的横截面面积 A2 12.74cm。设各杆自重可以不计。
(1) k 由截面的几何形状决定: 矩形截面:k = 1.2, 圆截面: k = 10/9,圆环形截面:k = 2 (2)一般实心截面的细长梁:剪切应变能远小于其弯曲 应变能，通常忽略不计。
细长梁的剪切应变能远小于弯曲应变能，可忽略不计！ 例：矩形截面悬臂梁，长L，截 面高h，宽b，k = 1.2。 解： 整个梁的剪切应变能： U S
L
FL2 mL 梁自由端的转角为： B 2 EI EI
梁的应变能
1 1 F 2 L3 FmL2 m2 L U F B m B 2 2 6 EI 2 EI 2 EI
能量法/克拉贝隆原理
(2) 先作用F,加载时做功为：
m F
1 FL3 F 2 3EI
再加力偶矩m，外力所作的功为：
B F 2m C 30° A
能量法/克拉贝隆原理
FN2
FN1
•解: 由节点A的平衡条件求得AB杆的内力：
A F
FN1 2 F 115.2 kN
AC杆的内力为：
FN2 FN1 cos 30 99.8 kN
杆系的应变能：
U
2 FN1 LAB
2 EA1

2 FN 2 LAC
2 EA2
能量法/克拉贝隆原理
•例子
F


m 力：F，位移： L+ L F 力：m，位移：
m F
m

力：F，位移：
力：m，位移：
能量法/克拉贝隆原理
•关于应变能计算的讨论
1 以上计算公式仅适用于线弹性材料在小变形下的应 变形能的计算。 2 应变能可以通过外力功计算，也可以通过杆件微段
上的内力功等于微段的应变能，然后积分求得整个
能量法
第八章
一、杆件的应变能
能量法
二、应变能普遍表达式(克拉贝隆原理) 三、卡氏定理 四、互等定理 五、虚功原理 六、超静定问题 七、冲击应力
单位力法 力法
图乘法
能量法/基本概念
求解弹性体系(如杆件)的变形可采用的方法： 1、分析法/解析法
平衡方程——静力平衡关系 几何方程——变形几何关系 物理方程——应力应变关系
能量法/克拉贝隆原理
二、应变能的普遍表达式(克拉贝隆原理) 基本变形下应变能的一般表达式：
F A
1 1F 1 2 U W F C 2 2 C 2
式中F——广义力(力或力偶)； ——广义位移(线位移或角位移) 且 F =C (力与位移成线性关系)
O B
2

表明：弹性体的应变能是一个状态量，仅决定于外力和位 移的最终值，与加载的过程无关。
L
mL2 1 mL F m 2 EI 2 EI
梁的总应变能：
F 2 L3 FmL2 m2 L U 6 EI 2 EI 2 EI
从这两种不同的加载次序来看，梁的应变能仅与载荷的始 态和终态有关，而与加载次序无关。
能量法/克拉贝隆原理
(3) AB 梁的应变能也可通过截面上的内力来计算。 弯矩方程：
n
式中 n——杆系中杆件的总数。 FNi ——结构中第i杆的轴力
Li——结构中第i杆的长度， Ai ——第i杆的截面面积
能量法/杆件的应变能
•受力复杂杆(轴力沿杆的轴线变化)的应变能
x dx q L 取微段研究：
FN ( x)dx d(L) EA
微段的应变能：
FN ( x)
dx
FN ( x) dFN
2 M x L T 2 L GI p 2 1 U W M x 2 2GI p 2GI p 2L

B
式中 T ——圆杆横截面上的扭矩； I p ——圆杆横截面对圆心的极惯性矩。
能量法/杆件的应变能
•受力复杂的圆截面杆(扭矩沿杆的轴线为变量) 可取微段分析：
T d T
dx 整个杆的扭转应变能为
172 J
设节点A的竖直位移为 A ，则由 U W
1 P A 得： 2
U A 5.97 mm 1 P 2
能量法/克拉贝隆原理
•例2 图示等截面悬臂梁，E,A,I 已知。在自由端受集中力F 和 集中力偶m 作用。设材料是线弹性的，试计算梁的应变能。考虑 两种不同的加载次序，略去剪力的影响。 m F 解：(1)集中力F和集中力偶m同时由 零开始按比例逐渐增加至最终值。 自由端的垂直位移为： FL3 mL2 B () 3EI 2 EI (方向与m一致)
由于切应力在截面上并非均匀分布。引入系数k,因此 微段梁的应变能为： 2
( FS ) dx dU k 2GA
能量法/杆件的应变能
•整个梁的剪切应变能：
( FS ) dx U dU k L L 2GA
2
式 中 k A I2
( S ) 2 dA A b2
(b为截面的宽度，S为截面对中性 轴的静矩)
FN L FL L EA EA
式中 FN ——轴力， A ——横截面面积
能量法/杆件的应变能
由拉压杆件组成的杆系的应变能：
2 1 5 4 3 F
1 U W Fi Li i 1 2 Fi Li F Li i 1 2 Ei Ai i 1 2 Ei Ai
n 2 n 2 Ni
能量法/克拉贝隆原理
•应变能的普遍表达式(克拉贝隆原理)的导出 设在某弹性体上作用有外力 F1 , F2 ,, Fn ，在支承约束 下，在相应的力 Fi方向产生的位移为 i ，(i =1,2,…,n)。
则物体的应变能为：
1 U W Fi i i 1 2
1
F1 2 F2 Fi
2、能量法
利用应变能的概念，解决与弹性体系变形有关的问题的 方法。 在求解组合变形、曲杆或杆系以及超静定问题时，能量 法是一种非常有效的方法，是结构分析的基础。
能量法/基本概念
能量法有关的几个基本概念
1、外力功:线弹性体系在外力的作用下产生变形，每个外力
在与它相对应的位移上所作的功 W。
2、应变能:弹性体受外力作用下产生变形而储存了能量，这个
被储存的能量即为应变能或变形能 U。
3、能量守恒：忽略缓慢加载过程中动能和其它形式的能量损
失，杆件能量守恒，即杆内所储存的应变能U
在数值上与外力所作的功 W 相等。功能原理
U＝W
能量法/杆件的应变能
一、杆件产生基本变形时的应变能 1、轴向拉伸或压缩
F A L L F L O B
1 U W F L 2 2 2 F L FN L 2 EA 2 EA EA 2 L 2L
m F
F 2 L3 FmL2 m2 L U 6 EI 2 EI 2 EI
L
•从结果中可以看到：第一、三项分别为F和m单独作用时 的 应变能，故F、m同时作用在杆内所引起的应变能不等于各
载荷单独作用时所引起的应变能之和。其原因是这两个载
荷都使梁产生了同一种弯曲变形，彼此都在对方引起的位 移上做了功（结果中的第二项即代表F和m共同作用时在相 互影响下所做的功）。
即外力增加的过程为：
0 Fi Fi (i 1, 2,, n)
材料是线弹性的，则对应的位移也以的比例增加，相应 的位移为：
0 i i (i 1, 2,, n)
式中 ：01 (从0线性增加到1)
能量法/克拉贝隆原理
如果增加d，则位移的相应增量为： 则外力
F

பைடு நூலகம்
( Fs ) dx 0.6F L k 2GA Gbh L
2 2 3
2
2
整个梁的弯曲应变能： U M ( x )dx 2 F L b 3 L 2 2 EI Ebh Ub 5 L 得 U 3(1 ) h S Ub 125 30 L 细长梁 5 U S 3(1 ) h