收益与风险之间的关系

UB (C) C 311.597
求出C，C=311.5972=97092.51，这意味着，B 最多 愿意为保险支付2907.49美元。很显然，有对数效用方程 的个体比有平方根效用方程的个体更“风险回避”。
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例3-2：期权真的是“零和游戏”吗？
在第一章，衍生工具交易被描述成“零和”游戏--买家获得的正是卖家损失的，反之亦然。但是 这并不意味着，买卖双方都不能从交易中获利。 假设个体A 有50美元现金和一股股票，她认 为这支股票有60%的可能会跌到80美元, 而有 40%的可能升至120。 个体B 只有100美元, 可 是他比A 对股价的走势更乐观，他认为这支股票 有30%的可能会跌到80, 而有70%的可能升至 120。我们来说明A 和B 如何使用看跌期权而都 从交易中获益。假定该看跌期权的执行价格为 100, 合约价格是10，假设两人都有平方根效用 方程， 不考虑时间价值。
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~ U (C ) E U ( w)
例3-1：确定最大保险费
假设有两个个体—有对数效用函数的A 和有平方根效用函 数的B。 两人都有100 000 现金，但都有5% 的几率损 失50 000。 那末，两人能承受的最高保险费将是多少？ 个体A 目前的预期满意水平为
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第三章 收益与风险之间的关系
姜红霞 吕程源 郭燕
本章主要内容
1.效用理论 2.组合理论 3.资本资产定价模模型 4. 小结
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3.1效用理论
经济学里假设经济个体有三种类型：风险爱好 型、风险中立型、风险回避型。但是在大部分 金融模型中，假设个体都是风险回避的，投资 者厌恶风险但愿意承担一定风险来获得相应收 益。财富效用方程，U(w) ，即从拥有一定财 富 w 中所获得的满足程度。假设个体的边际财 富效用为正，即财富越多， 满足感越多。但是， 边际财富效用方程是递减的 ，随着财富增长， 满足感的增长会越来越少。
~ E U ( wA ) 0.6 130 10 (100 80) 0.4 170 10 0 12.16
因此，从最终财富的预期效用角度来看， A 因买入看跌 期权而有所获益。
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另一方面，个体B对这支股票的走势有更乐观的 预计， 他考虑出售看跌期权。 B 目前的财富效 用 U (wB ) 100 10 如果他出售看跌期权，在股价下跌的情况下，他 的最终财富是100 加上看跌期权合约价值减去看 跌期权收益（为A 所有）；如果股价上升，最终 财富则是100加上看跌期权合约价值。所以，在 他卖出看跌期权后，他的预期财富效用是
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图3-2：公平下注时风险回避型个体的效用函数
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为了分析具体问题，我们首先要对效用方程的数 学概念进行更准确的定义；其次，还需要引入一 个重要的概念，即等值现金。 在效用方程的定义方面我们一般用对数财富效用 方程和平方根财富效用方程来描述风险规避者的 行为。 接下来的例子中，我们介绍一下等值现金这个概 念。假设个体持有两种资产，一个是价值为R 的 无风险资产， 一个是价值为X1 或 X2 的风险资 产，价值为X1和X2 的几率分别是P和 1-P。 假 设无风险利率为0， 该个体的预期最终财富效用 为 ~ ~ ~ E U (w) pU ( R X 1 ) (1 p)U ( R X 2 ) (3-1)
但是，预期财富水平不变，并不意味着该个体对是否接受 下注漠不关心。 他很关心，原因是， 在接受了下注后， 他预期的满意水平将会变为
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因为他的效用方程如下图3-2所示是外凸的，他 下注后的预期财富效用将比下注前的低，即 E[U(w)]<U(w0)。因为进行公平下注减少了个 体的预期效用，拥有正的且递减边际财富效用的 个体即为风险回避者。
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假设A 想要买入该看跌期权，考虑到她对这支股票的悲观 预期，A 目前的预期效用水平是 ~ E U ( wA ) 0.6 50 80 0.4 50 120 12.06 根据该支股票的表现，最终财富水平是130 或170。 如 果她买入了该看跌期权， 那么她的最终财富水平在股价 下降时是130 减去看跌期权价值加上期权收益，在股价上 升时是170 减去看跌期权价值。 因此，如果她买进这种 看跌期权，她的预期效用为
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现在，假设有人想要购买该个体持有的风险资产， 那么该个体将最少出什么价呢？ 回答这个问题前， 我们必须首先确定该个体全部头寸的等值现金。 等值现金是指该个体愿意将全部资产变现的现金 价值，通常，等值现金可通过令现金效用与预期 最终财富效用相等而计算出，即 (3-2) 在计算出现金同值 C 后，卖出风险资产的最低售 价即为C-R。
~ E U A ( w) 0.05ln(100,000 50,000) 0.95ln(100,000) 11.478
假定预期效用不变，这意味着A 认为保持现有状况 （即 持有100000 美元现金， 但可能损失50000美元）与获 得C 数量的现金没有区别。 而C 由下列公式决定
U A (C ) ln C 11.478
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求出 C，得 C=e11.478=96593.63。换句话来讲，A 对于(1)持有100 000美元现金， 但有5%的概率损失50 000美元， 与(2)持有96593.63美元现金没有区别。 因 此， A 愿意支付的最多保险金是10000096593.63=3406.37美元。 个体B的等值现金财富水平由下式决定
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图3-1 描绘了风险回避型个体的效用函数。随着 财富的增加，效用也在增长，Biblioteka Baidu是增长率在下降。
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我们举一个公平下注的例子来展示这个个体是一个风险回 避者。 所谓公平下注即是预期结果为零的任何下注。例 如，输赢X的几率如果是一半一半，这样的下注即为公平 下注。 接受公平下注意味着，个体预期的财富水平不变， 如果个体在下注前的财富水平为w0, 他在接受下注时的预 期财富水平仍然是w0 ，