保险精算 第1章 利息理论基础
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第一章 利息理论基础
⇒ d (1 + i ) = i ⇒ i − d = id
利息的度量（五）利息等价式
d (m ) i (m ) −1 δ ⇒ 1 + = 1 + i = e = (1 − d ) = 1 − m m (1.2.7) P 8, (1.3.13) i (m ) d (m ) ⇒ 1 + = 1 − m m i (m ) d (m ) i (m ) d (m ) * ⇒ − = m m m m
k =1 k =1
t
t
如何理解（1.3.7a）和（1.3.7b）（1.3.7c）
a (t ) = e
∫ δ (s )ds
0
t
= e ∫0
1
δ1ds
e ∫1
2
δ 2ds
∫t −1δs ds Le
t
= e δ1e δ 2 Le δt
in = a (n ) − a ( n − 1) = e δn − 1 a (n − 1)
d (4) 1− 4
4
(m )
d (4) 1− 4
3
d (4) 1− 4
2
1−
d
(4)
4
1 1
1− d
d
例1.2.1
求与实际利率8%等价的每年计息2次的年名 义利率以及每年计息4次的年名义贴现率。
例1.2.1答案
(2) 1、 1 + i = 1 + i = 1 + 8% ⇒ i (2) = 7.85% 2
in = a (n ) − a ( n − 1) = e δ −1 a (n − 1)
保险精算学利息的基本概念
1 vn a
n
d
积累值公式：
s n
(1 i)n d
1
2.3 任意时刻的年金值
2.3.1 首期付款前某时刻的年金现值：
2.3.2 在最后一期付款后某时刻的年金积累 值：
2.3.3 付款期间某时刻的年金当前值：
2.4 永续年金
付款次数没有限制，永远持续的年金成为永续年 金。
1 a
i
a 1 d
i(4) 4
4n
500 1
0.08 20 4
742.97
2、
A0
An
1
d (2) 2
2n
1
0
0
01
0.0 2
612
693.84
3、
i(4) 4
1
4
1
d (12) 12
12
i(4)
41
0.06 12
3
1
6.0605%
1.3 利息强度
投资一笔资金，设在时刻 t 的资金金额由总来能够函数 A（t）给出，这笔资金完全由于利息而变化，即本金不变。定义：
2.5 连续年金
付款频率无限大（即连续付款）的年金称为连续 年金。
现值公式：
积累值公式：
2.1 期末付年金
年金的定义
按一定的时间间隔支付的一系列付款称为年金。原始含义是限于一年 支付一次的付款，现已推广到任意间隔长度的系列付款。
期末付年金：
现值公式：
a 1 vn
n
iபைடு நூலகம்
积累值公式： s (1 i)n 1
n
i
2.2 期初付年金
每个付款期间开始时付款的年金为期初付年金。
保险精算第1章利息理论基础共52页文档
15
Actuarial Science
利息度量：转换频率不同
保险精算
16
名义利率与名义贴现率
“实际”一词的主要含义在于，利息为每个度 量期支付一次，或在期初，或在期末，视具体情况 而定。然而，实际上有很多在一个度量期中利息支 付不止一次或在多个度量期利息才支付一次的情形。 这时，我们称相应的一个度量期的利率和贴现率为 “名义”的。
味着递减的实际利率。
12
单利与复利
复利计息时，第 n期的实际利率为：
in
a(n)a(n1) a(n1)
(1i)n (1i)n1 (1i)n1
i (1i)n1 (1i)n1
i
结论：i n 关于 n为常数，即常数的复利意味
着恒定的实际利率。
13
单利与复利
对单利来讲，利息并不作为投资资金而再赚取 利息；对复利来讲，在任何时候，本金和到该时为 止得到的利息，总是用来投资以赚取更多的利息。
一个度量期的实际贴现率为该度量期内取得到 的利息金额与期末投资可回收金额之比。通常用字
母 d表示。
实际利率与实际贴现率的定义十分类似，都是 用来度量利息的。
6
实际利率与实际贴现率
某人以1本金开始一项业务，实际利率为i，则在 一度量期末可收回金额1i ，而利息（贴现）金额为
i，若这笔业务的实际贴现率为 d，则
Interest
2
利息
影响利息大小的要素： 本金：业务开始时投资的金额 时期长度：从投资日开始到收回的时间跨度
度量期、期：年 业务开始一定时间后回收的总金额称为该时刻 的积累值（Accumulated value，或终值）。 为了在一定时间后得到某个积累值，而在开始 时投入的本金金额称为该积累值的现值（Present Value）
Actuarial Science
利息度量：转换频率不同
保险精算
16
名义利率与名义贴现率
“实际”一词的主要含义在于，利息为每个度 量期支付一次，或在期初，或在期末，视具体情况 而定。然而，实际上有很多在一个度量期中利息支 付不止一次或在多个度量期利息才支付一次的情形。 这时，我们称相应的一个度量期的利率和贴现率为 “名义”的。
味着递减的实际利率。
12
单利与复利
复利计息时，第 n期的实际利率为：
in
a(n)a(n1) a(n1)
(1i)n (1i)n1 (1i)n1
i (1i)n1 (1i)n1
i
结论：i n 关于 n为常数，即常数的复利意味
着恒定的实际利率。
13
单利与复利
对单利来讲，利息并不作为投资资金而再赚取 利息；对复利来讲，在任何时候，本金和到该时为 止得到的利息，总是用来投资以赚取更多的利息。
一个度量期的实际贴现率为该度量期内取得到 的利息金额与期末投资可回收金额之比。通常用字
母 d表示。
实际利率与实际贴现率的定义十分类似，都是 用来度量利息的。
6
实际利率与实际贴现率
某人以1本金开始一项业务，实际利率为i，则在 一度量期末可收回金额1i ，而利息（贴现）金额为
i，若这笔业务的实际贴现率为 d，则
Interest
2
利息
影响利息大小的要素： 本金：业务开始时投资的金额 时期长度：从投资日开始到收回的时间跨度
度量期、期：年 业务开始一定时间后回收的总金额称为该时刻 的积累值（Accumulated value，或终值）。 为了在一定时间后得到某个积累值，而在开始 时投入的本金金额称为该积累值的现值（Present Value）
寿险精算原理 第一章
4、实际利率、名义利率、实际贴现率、名 义贴现率、利息强度和折现因子之间的等 价关系（单位时间为1年的情况下）：
m
m
i 1 m
d 1 i 1 v 1 d p 1 1
p
p
e
例3、已知年度实际利率为8%，求等价的 利息强度。 例4、一笔业务按利息强度6%计息，求投 资500元经8年的积累值。
a
a
n
1 i
n
dn
n a
a
n 1
1 i
n
1 i
n
n 1
n
1 i
i 1 i
※ d n 与 n无关，为常数，通常把这种情 况下的贴现率叫做复贴现率。
②与实际贴现率 d 等价的实际利率为 1 d 。 如果某人以实际贴现率 d 借款1元，则 实际上的本金为1 d ，而利息（贴现，意 味着期初支付）金额为 d ，则实际利率为：
例2、某银行以单利计息，年息为2%，某 人存入5000元，问5年后的积累值是多少？
例3、如果例2中银行以复利计息，其他条 件不变，问5年后的积累值是多少？
1.1.3 实际贴现率
某一个度量期的实际贴现率，是指该度量 期内得到的利息金额与此度量期期末积累 值金额之比。实际利率通常用字母 d 表示。 从投资日算起第 n 个度量期的实际贴侠率 用 d n 表示，则有
In a
n
a
n
n 1
1 i a
1 i n
n
1 i
n 1
i 1 i
1
保险精算学-利息理论基础
保险精算学-利息理论基础1. 引言保险精算学是一门研究保险数学和统计学原理在保险业务中的应用的学科。
而利息理论则是保险精算学中的一个基础概念，用于计算保险产品中的利息和投资回报率等重要指标。
本文将介绍保险精算学中利息理论的基础知识和应用。
2. 利息理论的定义利息理论是研究利息的概念、计算方法和应用的学科。
在保险精算学中，利息理论主要用于计算保险产品的利息收益和投资回报率。
利息理论包括利息的概念、利息计算公式、利息率等内容。
3. 利息的概念利息是指资金存放或借入一定期限后所产生的报酬。
在保险产品中，利息可以理解为保险公司对保费的投资回报。
保险公司收到的保费可以用于投资，在投资的过程中产生利息收入。
4. 利息计算公式利息计算公式是计算保险产品利息收益的数学公式。
根据不同的利息计算方法，可以得出不同的计算公式。
常见的利息计算公式包括简单利息、复利和连续复利等。
下面是几种常见的利息计算公式：•简单利息公式：$I = P \\cdot r \\cdot t$ 其中，I为利息收益，P为本金，r为利率，t为存放期限。
•复利公式：$I = P \\cdot (1 + \\frac{r}{n})^{nt} - P$ 其中，I为利息收益，P为本金，r为年利率，n为每年复利次数，t为存放年限。
•连续复利公式：$I = P \\cdot e^{rt} - P$ 其中，I为利息收益，P为本金，r为年利率，t为存放年限，e为自然对数的底数。
5. 利息率利息率是衡量利息收益的指标。
在保险精算学中，常用的利息率有以下几种：•名义利率：指标未经扣除通货膨胀率的利息率。
•实际利率：指标已经扣除通货膨胀率的利息率。
•名义年利率：年利率未经扣除通货膨胀率。
•实际年利率：年利率已经扣除通货膨胀率。
利息率的选择对保险产品的利息收益和投资回报率具有重要影响。
因此，在保险精算学中，需要根据具体情况选择合适的利息率。
6. 利息理论的应用利息理论在保险精算学中有广泛的应用，主要包括以下几个方面：•保险产品设计：利息理论可以用于计算保险产品的利息收益，帮助保险公司确定保险产品的定价和利益分配方式。
保险精算习题及答案
2．(1)假设 A(t)=100+10t, 试确定 i1 , i3 , i5 。
i1 =
A(1) − A(0) A(3) − A(2) A(5) − A(4) = 0.1, i3 = = 0.0833, i5 = = 0.0714 A(0) A(2) A(4)
n
(2)假设 A ( n ) = 100 × (1.1) ，试确定 i1 , i3 , i5 。
(1 + i) 4 = (1 + i1 )(1 − d 2 ) −1 (1 +
9．基金 A 以每月计息一次的年名义利率 12%积累，基金 B 以利息强度 δ t = 基金存入的款项相同，试确定两基金金额相等的下一时刻。
t 积累，在时刻 t (t=0)，两笔 6
a1 (t ) = (1.01)
t
12t
4．某人从 50 岁时起，每年年初在银行存入 5000 元，共存 10 年，自 60 岁起，每年年初从银行提出一笔 款作为生活费用，拟提取 10 年。年利率为 10%，计算其每年生活费用。
10
7
⎛ 1 ⎞ ̇̇10 = x ⎜ ̇̇10 5000a ⎟ a ⎝ 1+ i ⎠ ∴ x = 12968.7123
a1 (t ) = (1 + i )
t
t
0.01t 2 +0.1t 2
δ t dt a2 (t ) = e ∫0 = e
⇒ (1 0.1*20 2
= e4
(1 + i )3 = 1.8221
11. 某人 1999 年初借款 3 万元，按每年计息 3 次的年名义利率 6%投资，到 2004 年末的积累值为（ 万元。 A. 7.19 B. 4.04 C. 3.31 D. 5.21 ）
i1 =
A(1) − A(0) A(3) − A(2) A(5) − A(4) = 0.1, i3 = = 0.0833, i5 = = 0.0714 A(0) A(2) A(4)
n
(2)假设 A ( n ) = 100 × (1.1) ，试确定 i1 , i3 , i5 。
(1 + i) 4 = (1 + i1 )(1 − d 2 ) −1 (1 +
9．基金 A 以每月计息一次的年名义利率 12%积累，基金 B 以利息强度 δ t = 基金存入的款项相同，试确定两基金金额相等的下一时刻。
t 积累，在时刻 t (t=0)，两笔 6
a1 (t ) = (1.01)
t
12t
4．某人从 50 岁时起，每年年初在银行存入 5000 元，共存 10 年，自 60 岁起，每年年初从银行提出一笔 款作为生活费用，拟提取 10 年。年利率为 10%，计算其每年生活费用。
10
7
⎛ 1 ⎞ ̇̇10 = x ⎜ ̇̇10 5000a ⎟ a ⎝ 1+ i ⎠ ∴ x = 12968.7123
a1 (t ) = (1 + i )
t
t
0.01t 2 +0.1t 2
δ t dt a2 (t ) = e ∫0 = e
⇒ (1 0.1*20 2
= e4
(1 + i )3 = 1.8221
11. 某人 1999 年初借款 3 万元，按每年计息 3 次的年名义利率 6%投资，到 2004 年末的积累值为（ 万元。 A. 7.19 B. 4.04 C. 3.31 D. 5.21 ）
人民大学《保险精算学》
人民大学《保险精算学》第一章：利息理论基础第一节：利息的度量一、利息的定义利息产生在资金的所有者和使用者不统一的场合，它的实质是资金的使用者付给资金所有者的租金，用以补偿所有者在资金租借期内不能支配该笔资金而蒙受的缺失。
二、利息的度量利息能够按照不同的标准来度量，要紧的度量方式有1、按照计息时刻划分：期末计息：利率期初计息：贴现率2、按照积存方式划分：（1）线性积存：单利计息单贴现计息（2）指数积存：复利计息复贴现计息（3）单复利/贴现计息之间的相关关系Ø单利的实质利率逐期递减，复利的实质利率保持恒定。
单贴现的实质利率逐期递增，复贴现的实质利率保持恒定。
时，相同单复利场合，复利计息比单利计息产生更大的积存值。
因此长期业务一样复利计息。
时，相同单复利场合，单利计息比复利计息产生更大的积存值。
因此短期业务一样单利计息。
3、按照利息转换频率划分：（1）一年转换一次：实质利率（实质贴现率）（2）一年转换次：名义利率（名义贴现率）（3）连续计息（一年转换无穷次）：利息效力专门，恒定利息效力场合有三、变利息1、什么是变利息2、常见的变利息情形（1）连续变化场合（2）离散变化场合第二节：利息问题求解原则一、利息问题求解四要素1、原始投资本金2、投资时期的长度3、利率及计息方式4、本金在投资期末的积存值二、利息问题求解的原则1、本质任何一个有关利息问题的求解本质差不多上对四要素知三求一的问题。
2、工具现金流图：一维坐标图，记录资金按时刻顺序投入或抽出的示意图。
3、方法建立现金流分析方程（求值方程）4、原则在任意时刻参照点，求值方程等号两边现时值相等。
第三节：年金一、年金的定义与分类1、年金的定义：按一定的时刻间隔支付的一系列付款称为年金。
原始含义是限于一年支付一次的付款，现已推广到任意间隔长度的系列付款。
2、年金的分类：（1）差不多年金约束条件：等时刻间隔付款付款频率与利息转换频率一致每次付款金额恒定（2）一样年金不满足差不多年金三个约束条件的年金即为一样年金。
利息理论1
i
m
) 1 或
m
i
( m)
m m 1 i 1
21
例.贷款人A开价年利率为9%,贷款人B开价季度复 利8.75%，而贷款人C开价月度复利8.5%。某人需 要为期一年的贷款，问谁的贷款好？ 解:对B:
8.75% i 1 1 9.04% 4 8.5% i 1 1 8.83% 12
9
注（1)利率常用百分比表示。
（2）本金在整个时期内视为常数
（3)利率是一种度量，其中利息在期末支付。它 可用累积函数确定如下：
it1 ,t2
1.1.2. 单利和复利
a(t2 ) a(t1 ) a(t1 )
定义1.5 若有这样一种累积计算方式:1个货币单位 的投资，在每一时期中得到的利息为常数，则称对 应的利息计算方式为简单利息计算方式,简称单利 方式.对应的利息称为单利.
5
1.1.1 累积函数
定义1.1 考虑一单位本金，记原始投资为1时在 任何时刻的累积值为a(t)，称为累积函数。 a(t)的性质：
(1) a(0)=1;
(2) a(t)通常为增函数； 典型累积函数:
a(t ) 1 it
a(t ) (1 i) , t 1,2,...
t
6
a(t ) e
7
为了表示货币价值的相对变化幅度,度量利息的 常用方法是计算所谓的利率. 定义1.3 时间区间[t1, t2 ] 内总量函数A(t)的变化量 (增量)与期初货币量的比值称为在时间区间 [t1, t2 ] 内的利率,记为
it1 ,t2
特别地,当 t1
A(n) A(n 1) In in A(n 1) A(n 1)
社会保险基金精算(第一章)寿险精算基础(2)
2
n −1
− nv
n
= a n − nv n
a n − nv ( Ia ) n = i
n
对于期首付等差递增年金来说， 对于期首付等差递增年金来说， 期首付等差递增年金来说
a n − nv ( Ia ) n = d
n
期末付等差递增年金的终值 期末付等差递增年金的终值 (FV) 等差递增年金的
(1 + i) n
(1 + i) n
(1 + i ) 2
(1 + i )
1 0
1 1
1 2
1 3
L
1 n-2
1 n-1 n
付款额 时间
L
思路1 思路
sn
= (1 + i ) + (1 + i ) 2 + L + (1 + i ) n
1 − (1 + i) n 1 + i (1 + i) n − 1 (1 + i) n − 1 s n = (1 + i) ⋅ = ⋅ = 1 − (1 + i) i 1 d
1000
0 1
1100 1200
2 3
L
1700
8
1800
9
1900
10
付款额
L
时间
900 100
0 1
900 200
2
900 300
3
L
900 800
8
900 900
9
900 1000
10
付款额
L
时间
900
900 200
2
900 300
3
n −1
− nv
n
= a n − nv n
a n − nv ( Ia ) n = i
n
对于期首付等差递增年金来说， 对于期首付等差递增年金来说， 期首付等差递增年金来说
a n − nv ( Ia ) n = d
n
期末付等差递增年金的终值 期末付等差递增年金的终值 (FV) 等差递增年金的
(1 + i) n
(1 + i) n
(1 + i ) 2
(1 + i )
1 0
1 1
1 2
1 3
L
1 n-2
1 n-1 n
付款额 时间
L
思路1 思路
sn
= (1 + i ) + (1 + i ) 2 + L + (1 + i ) n
1 − (1 + i) n 1 + i (1 + i) n − 1 (1 + i) n − 1 s n = (1 + i) ⋅ = ⋅ = 1 − (1 + i) i 1 d
1000
0 1
1100 1200
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L
1700
8
1800
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付款额
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时间
900 100
0 1
900 200
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900 900
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900 1000
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付款额
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时间
900
900 200
2
900 300
3
寿险精算学利息理论基础
精算师需要根据市场情况和公司战略，设计出符合市场需求的人寿保险产品，并确保产品具有合理的费 率水平。
保险费率的计算
01
02
03
保险费率是保险公司根据风险大 小和预期损失情况，向投保人收 取的保费标准。
寿险精算学在保险费率计算中发 挥着重要作用，通过对死亡率、 利率、疾病发生率等风险因素的 评估和预测，精算师可以制定出 合理的费率标准。
计算投资组合的预期收益，通常使用历史收益率、未来收益率和风 险调整后收益率等指标。
绩效评估
比较投资组合的实际表现与预期表现的差异，常用的指标包括夏普 比率、阿尔法系数和贝塔系数等。
投资组合的优化与调整
资产配置优化
根据投资目标和风险承受能力，确定最优的资 产配置比例。
动态调整
根据市场环境和投资组合的实际表现，定期或 不定期调整投资组合的资产配置。
信用风险
由于发行人违约，无法按时偿还 本金或利息的风险。
回报
债券的回报主要来源于利息收入 和资本利得（买卖债券的价差） 。
01
02
利率风险
由于市场利率波动，导致债券价 格波动的风险。
03
04
流动性风险
由于市场不活跃或缺乏交易对手 ，导致债券难以买卖的风险。
04
投资组合理论
投资组合的基本概念
投资组合
由多种资产组成的集合，包括股票、债券、现金等。
资产配置
投资者根据风险承受能力和投资目标，将资金分配到不同的资产 类别中。
多样化
通过持有多种不同类型的资产，降低单一资产的风险，提高整体 投资组合的风险调整后收益。
投资组合的评估方法
风险评估
衡量投资组合的风险水平，包括市场风险、信用风险和操作风险等。
保险费率的计算
01
02
03
保险费率是保险公司根据风险大 小和预期损失情况，向投保人收 取的保费标准。
寿险精算学在保险费率计算中发 挥着重要作用，通过对死亡率、 利率、疾病发生率等风险因素的 评估和预测，精算师可以制定出 合理的费率标准。
计算投资组合的预期收益，通常使用历史收益率、未来收益率和风 险调整后收益率等指标。
绩效评估
比较投资组合的实际表现与预期表现的差异，常用的指标包括夏普 比率、阿尔法系数和贝塔系数等。
投资组合的优化与调整
资产配置优化
根据投资目标和风险承受能力，确定最优的资 产配置比例。
动态调整
根据市场环境和投资组合的实际表现，定期或 不定期调整投资组合的资产配置。
信用风险
由于发行人违约，无法按时偿还 本金或利息的风险。
回报
债券的回报主要来源于利息收入 和资本利得（买卖债券的价差） 。
01
02
利率风险
由于市场利率波动，导致债券价 格波动的风险。
03
04
流动性风险
由于市场不活跃或缺乏交易对手 ，导致债券难以买卖的风险。
04
投资组合理论
投资组合的基本概念
投资组合
由多种资产组成的集合，包括股票、债券、现金等。
资产配置
投资者根据风险承受能力和投资目标，将资金分配到不同的资产 类别中。
多样化
通过持有多种不同类型的资产，降低单一资产的风险，提高整体 投资组合的风险调整后收益。
投资组合的评估方法
风险评估
衡量投资组合的风险水平，包括市场风险、信用风险和操作风险等。
寿险精算学利息理论基础
• 某人现在投资1000元，第3年末再投资 2000元，第5年末再投资2000元。其中前4 年以半年度转换名义利率5%复利计息，后 三年以恒定利息力3%计息，问到第7年末 此人可获得多少积累值？
A(7)1000(1j)8e3 2000(1j)2e3 2000e2 10001.0258e0.0920001.0252e0.092000e0.06 5756
• 以第7年末为时间参照点，有
1 .0 6 6 4 1 .0 6 4 x 1 .0 6 1 0 x 3 .7 4 3 5
• 以第8年末为时间参照点，有
1 . 0 6 7 4 1 . 0 6 5 x 1 0 1 . 0 6 x 3 . 7 4 3 5
• 请同学们自己练习以其他时刻为时间参照 点
（2） (1i)2 1
6(舍去负根)
由(1i)2 1 6
i 20.4% （i 2.204舍去)
例1.7：求时间
• 假定i(12) 分别为12%、6%、2%
• 计算在这三种不同的利率场合复利计息， 本金翻倍分别需要几年？
i(12) 2% 时 ， (10.17% )12n2 n ln2 34.7
i
a 1 v v n 1 (1 i ) a 1 v n
n
n
d
s 1 (1 i ) (1 i ) n 1 1 (1 i ) n (1 i ) nபைடு நூலகம் 1
n
1 (1 i )
i
s (1 i ) (1 i ) n (1 i ) s 1 (1 i ) n
• 工具：现金流图
现金流 p 0
p1
p2
pn
时间坐标 0 t1
t2
tn
• 方法：建立现金流分析方程（求值方程） • 原则：在任意时间参照点，求值方程等号两边现时值相等。
A(7)1000(1j)8e3 2000(1j)2e3 2000e2 10001.0258e0.0920001.0252e0.092000e0.06 5756
• 以第7年末为时间参照点，有
1 .0 6 6 4 1 .0 6 4 x 1 .0 6 1 0 x 3 .7 4 3 5
• 以第8年末为时间参照点，有
1 . 0 6 7 4 1 . 0 6 5 x 1 0 1 . 0 6 x 3 . 7 4 3 5
• 请同学们自己练习以其他时刻为时间参照 点
（2） (1i)2 1
6(舍去负根)
由(1i)2 1 6
i 20.4% （i 2.204舍去)
例1.7：求时间
• 假定i(12) 分别为12%、6%、2%
• 计算在这三种不同的利率场合复利计息， 本金翻倍分别需要几年？
i(12) 2% 时 ， (10.17% )12n2 n ln2 34.7
i
a 1 v v n 1 (1 i ) a 1 v n
n
n
d
s 1 (1 i ) (1 i ) n 1 1 (1 i ) n (1 i ) nபைடு நூலகம் 1
n
1 (1 i )
i
s (1 i ) (1 i ) n (1 i ) s 1 (1 i ) n
• 工具：现金流图
现金流 p 0
p1
p2
pn
时间坐标 0 t1
t2
tn
• 方法：建立现金流分析方程（求值方程） • 原则：在任意时间参照点，求值方程等号两边现时值相等。
保险精算学基本理论讲解(doc 93页)
第一章：利息理论基础第一节：利息的度量一、利息的定义利息产生在资金的所有者和使用者不统一的场合，它的实质是资金的使用者付给资金所有者的租金，用以补偿所有者在资金租借期内不能支配该笔资金而蒙受的损失。
二、利息的度量利息可以按照不同的标准来度量，主要的度量方式有1、按照计息时刻划分：期末计息：利率期初计息：贴现率2、按照积累方式划分：（1）线性积累：单利计息单贴现计息（2）指数积累：复利计息复贴现计息（3）单复利/贴现计息之间的相关关系Ø单利的实质利率逐期递减，复利的实质利率保持恒定。
单贴现的实质利率逐期递增，复贴现的实质利率保持恒定。
时，相同单复利场合，复利计息比单利计息产生更大的积累值。
所以长期业务一般复利计息。
时，相同单复利场合，单利计息比复利计息产生更大的积累值。
所以短期业务一般单利计息。
3、按照利息转换频率划分：（1）一年转换一次：实质利率（实质贴现率）（2）一年转换次：名义利率（名义贴现率）（3）连续计息（一年转换无穷次）：利息效力特别，恒定利息效力场合有三、变利息1、什么是变利息2、常见的变利息情况（1）连续变化场合（2）离散变化场合第二节：利息问题求解原则一、利息问题求解四要素1、原始投资本金2、投资时期的长度3、利率及计息方式4、本金在投资期末的积累值二、利息问题求解的原则1、本质任何一个有关利息问题的求解本质都是对四要素知三求一的问题。
2、工具现金流图：一维坐标图，记录资金按时间顺序投入或抽出的示意图。
3、方法建立现金流分析方程（求值方程）4、原则在任意时间参照点，求值方程等号两边现时值相等。
第三节：年金一、年金的定义与分类1、年金的定义：按一定的时间间隔支付的一系列付款称为年金。
原始含义是限于一年支付一次的付款，现已推广到任意间隔长度的系列付款。
2、年金的分类：（1）基本年金约束条件：等时间间隔付款付款频率与利息转换频率一致每次付款金额恒定（2）一般年金不满足基本年金三个约束条件的年金即为一般年金。
保险精算课件 第1章利息理论共96页文档
2.1.4 名义利率和名义贴现率Βιβλιοθήκη 1.名义利率：所谓名义利率
i(m)
，是指每
1 m
个度量期支
付利息一次，而每 1 个度量期的实际利率为 i ( m ) 。
m
m
设与名义利率等价的实际利率为 i ，则有：
1i (1i(m) )m m
i (1i(m) )m 1 m
时间点：0 1 m
2
m 1
m
m
m 1 m
例3. 王亮1994年1月1日从银行借款10000元， 假设年利率为6%，试分别以单利和复利计算 （1）1994年5月20日他需还银行多少钱？ （2）2019年1月1日他需还银行多少钱？ （3）多少年后他需还15000元？
2.1.3 现值和贴现率 1.现值
●我们把为了在 t 期末得到某个积累值， 而在开始时投资的本金金额称为该积累 值的现值（或折现值）。显然，a-1(t)是 在t期末支付1单位的现值，在t期末支付k 单位的现值为k·a-1(t)。
（2）求相当于每月结算一次的年利率为12% 的半年结算一次的贴现率。
例2：求1万元按每年计息4次的年名义利率 6%投资三年的积累值。
例3：每年计息2次的年名义利率为10%，在6 年后支付5万元，求其现值。
2.1.5 利息力
利息力又称息力，是衡量确切时点上利率水平的
指标。记为 t ，则
t lt i0[m A (t t) tA (t)]A (t)A A '((tt))a a '((tt))
● 积累函数a (t)有时也称作 t 期积累因子;
称 a-1(t)为折现函数或 t 期折现因子。特别地， 把一期折现因子a-1(1)简称为折现因子。
● 在复利方式下，当年利率不变时
保险精算学-利息理论基础
答案
2 A(0) 1000, A(1) 1020, A(3) 1050
I1 A(1) A(0) 20
2 A(2) 1 I 2 A(3) 30
i1
I1 20 2% A(0) 1000 I1 20 d1 1.96% A(1) 1020 I2 30 i2 2.94% A(1) 1020 I2 30 d2 2.86% A(2) 1050
如果应在将来某个时期支付的金额提前到现在 来支付，则支付额中应扣除一部分金额，这个 扣除额称为贴现额。 它相当于资金投资在期初的预付利息。 贴现和利息的区别在于分析的出发点不同： 利息是在本金基础上的增加额，而贴现则是在 累积额基础上的减少。它相当于利率在每一利 息计算期的起点时刻被记入。
例 子
考虑如下的计算实例：
设本金为1元，按半年结算的名义利率为10%，则结算利 率 = 10% / 2 = 5%.
第一次结算结果：1×(1+0.05) = 1.05元，
第二次结算结果：1.05× (1+0.05) =1.1025元，
一年的利息额：1.1025 -1= 0.1025元， 实际的年利率：10.25%.
终值=本金+利息 A = S + I
影响利息大小的三要素：
本金金额 利率 投资时间
二、利息的度量
1. 2.
按照计息时刻划分：
期末计息：利率 期初计息：贴现率
1. 2.
按照积累方式划分
线性积累 （1）单利计息 （2）单贴现计息 指数积累 （1）复利计息 （2）复贴现计息
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解
A(3) 10000a(3) 10000 (1 i)3
i (4) 34 10000 (1 ) 4 6% 34 10000 (1 ) 4 10000 (1.015)12
11956.2 元
25
利息力
在很多情况下，需要度量在每一个时间点上的 利息，也就是在无穷小时间区间上的利息。这种对 利息在各个时间点上的度量称为利息力（或利息强 度）。 假设在 t 时刻的资金总量由总量函数 A(t ) 给出， 这笔资金完全由于利息而变化，即本金既不增加也 不撤回。 A(t ) a(t ) 定义 t
d )m 1 d m
(m)
(1
d ) m 1 … m
(m)
d (m) 2 (1 ) m
d ( m) 1 m
1
d (m) m (1 ) 1 d m
d (m) m d 1 (1 ) m
d
( m)
m[1 (1 d ) ] m(1 v )
22
1 m
名义利率与名义贴现率
用d (m)符号记每一度量期支付 m 次利息的名义贴 现率。 所谓名义贴现率是指每 1 / m 个度量期支付利息 一次，而在每个度量的实际利率为( m) / m 。 d 即每一个度量期 d (m)的名义利率等价于每1 / m 度 d ( m) / m 的实际利率。 量期
d (m) m 1 d (1 ) m
Interest
3
利息
影响利息大小的要素： 本金：业务开始时投资的金额 时期长度：从投资日开始到收回的时间跨度 度量期、期：年 业务开始一定时间后回收的总金额称为该时刻 的积累值（Accumulated value，或终值）。 为了在一定时间后得到某个积累值，而在开始 时投入的本金金额称为该积累值的现值（Present Value）
i(2) [(1 8%)1/2 1] 2 7.85% d (4) 4 [1 (1 8%)1/4 ] 7.623%
i 8.36%
24
（2）
d (12) 12 8% 12 1 i (1 ) (1 ) 1.0836 4 4
应用实例
例 求1万元按每年计息4次的年名义 利率6%投资3年的积累值。
i i i
… 时 间 n 1 n
n
i
i
1 i
0
1
2
3
… 时 间
n2
n 1
n
32
期末付年金
1 1 1 付 款 额 … 1
n2
1
n 1
1
0
1
2
3
… 时 间
n
sn (1 i)n1 (1 i)n2 ... (1 i) 1
1 1 1
付 款 额 …
1
n2
1
n 1
1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
0
1
2
3
… 时 间
n
31
期末付年金
1 1 1 付 款 额 … 1
n2
1
n 1
1
0
1
2
3
an v v2 ... v v n n 1 v v 1 v v iv 1 v 1 vn 1 ian vn i 每年所得
余额
1
i ( m) 1 m
i ( m) 2 (1 ) m
i ( m) m i (1 ) 1 m
…
i ( m ) m1 (1 ) m
i ( m) m (1 ) 1 i m
i ( m) m (1 ) 1 i m
i
( m)
m[(1 i) 1]
20
1 m
4
利息
t期积累函数（因子）a(t ) 1------------------------------a(t )
总量函数 A(t )
k ------------------------------A(t ) a1 (t ) ------------------------- 1
0 t
a1 (t ) t期折现函数（因子） 1 折现因子a (1) ,记为 v
ve
27
Actuarial Science
1.2 年金
1.2.1 期末付年金 1.2.2 期初付年金 1.1.3 连续年金
保险精算
28
年金
年金（Annuity）是指按照相等时间 间隔支付的一系列款项。
Annuity
29
Actuarial Science
期末付年金
保险精算
30
期末付年金
在每个付款期间末付款的年金为期末付 年金。 假设一笔年金，付款期限为 n 期，每期 期末付款额为1，每期利率为 i ，各期付款如下
7
实际利率与实际贴现率
某人以1本金开始一项业务，实际利率为 i，则在 一度量期末可收回金额1 i ，而利息（贴现）金额为 i ，若这笔业务的实际贴现率为 d ，则
i d 1 i
d (1 i) i
d i id
d i 1 d
1 v 1 i
d iv
d v 1
8
实际利率与实际贴现率
21
名义利率与名义贴现率
时间点 0 1/m … (m-2)/m (m-1)/m m/m=1
贴现
d ( m) d ( m ) m1 d ( m) d ( m) m2 (1 ) (1 ) … m m m m
d (m) d (m) (1 ) m m
d (m) 1 m
余额
(1
1 m
名义利率与名义贴现率
i(m) m (1 ) 1 i m i(m) m d ( m) m 1 i (1 ) (1 ) m m d (m) m 1 (1 ) 1 d m 1 i
i ( m) d ( m ) 1 (1 ) (1 ) m m
16
Actuarial Science
利息度量：转换频率不同
保险精算
17
名义利率与名义贴现率
“实际”一词的主要含义在于，利息为每个度 量期支付一次，或在期初，或在期末，视具体情况 而定。然而，实际上有很多在一个度量期中利息支 付不止一次或在多个度量期利息才支付一次的情形。 这时，我们称相应的一个度量期的利率和贴现率为 “名义”的。
用 in 表示从投资日算起的第 n 个度量期的实际利 率，则：
A(n) A(n 1) in 其中， 为大于等于1的整数 n A(n 1)
用d n表示从投资日算起的第 n 个度量期的实际贴 现率，则：
A(n) A(n 1) dn 其中， 为大于等于1的整数 n A(n)
9
应用实例
10
Actuarial Science
利息度量：积累方式不同
保险精算
11
单利与复利
考虑投资一单位本金。 如果其在 t 时的积累值为 a(t ) 1 i t 则该笔投资以每期单利计算，并将这样产生的 利息称为单利（Simple interest）。 t 如果其在 t时的积累值为 a(t ) (1 i) 则该笔投资以每期复利计算，并将这样产生的 利息称为复利（Compound interest）。
复利计息时，第 n 期的实际利率为：
a(n) a(n 1) in a(n 1) n n 1 (1 i) (1 i) n 1 (1 i)
i (1 i) n1 i n 1 (1 i) 结论：in 关于 n 为常数，即常数的复利意味
14
着恒定的实际利率。
23
应用实例
例 (1)求与实际利率8%等价的每年计息2次的年 名义利率以及每年计息4次的年名义贴现率。（2） 已知每年计息12次的年名义贴现率为8%，求等价的 实际利率。
解
（1）
i (2) 2 (1 ) 1 i 1 8% 2 d (4) 4 (1 ) 1 i 1 8% 4
例 某人存1000元进入银行，第1年末存款 余额为1020元，第2年存款余额为1050元，求i1 、 、1 、 2分别等于多少？ i2 d d 解
A(0) 1000 A(1) 1020 A(2) 1050
I1 A(1) A(0) 20
I 2 A(2) A(1) 50 I 20 I1 20 d1 1 1.961% 则 i1 A(0) 1000 2% A(1) 1020 I 30 I2 30 d2 2 2.857% i2 2.941% A(2) 1050 A(1) 1020
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第 1 章 利息理论基础
1.1 利息度量 1.2 年金
保险精算
1
Actuarial Science
1.1 利息度量
1.1.1 实际利率和实际贴现率 1.1.2 单利和复利 1.1.3 名义利率和名义贴现率
保险精算
2
利息
所谓利息（Interest），是指在一定时期内借款 人向贷款人支付的使用资金的报酬。 利息的实质是资金的使用者付给资金所有者的 租金，用以补偿所有者在资金租借期内不能支配该 笔资金而蒙受的损失。
18
名义利率与名义贴现率
用i (m ) 符号记每一度量期支付 m 次利息的名义利 率。 所谓名义利率（Nominal interest）是指每1 / m 个度量期支付利息一次，而在每个度量的实际利率 为 i ( m) / m 。 即每一个度量期 i (m ) 的名义利率等价于每1 / m 度 量期 i ( m ) / m 的实际利率。
12
单利与复利
单利计息时，第 n 期的实际利率为：
A(3) 10000a(3) 10000 (1 i)3
i (4) 34 10000 (1 ) 4 6% 34 10000 (1 ) 4 10000 (1.015)12
11956.2 元
25
利息力
在很多情况下，需要度量在每一个时间点上的 利息，也就是在无穷小时间区间上的利息。这种对 利息在各个时间点上的度量称为利息力（或利息强 度）。 假设在 t 时刻的资金总量由总量函数 A(t ) 给出， 这笔资金完全由于利息而变化，即本金既不增加也 不撤回。 A(t ) a(t ) 定义 t
d )m 1 d m
(m)
(1
d ) m 1 … m
(m)
d (m) 2 (1 ) m
d ( m) 1 m
1
d (m) m (1 ) 1 d m
d (m) m d 1 (1 ) m
d
( m)
m[1 (1 d ) ] m(1 v )
22
1 m
名义利率与名义贴现率
用d (m)符号记每一度量期支付 m 次利息的名义贴 现率。 所谓名义贴现率是指每 1 / m 个度量期支付利息 一次，而在每个度量的实际利率为( m) / m 。 d 即每一个度量期 d (m)的名义利率等价于每1 / m 度 d ( m) / m 的实际利率。 量期
d (m) m 1 d (1 ) m
Interest
3
利息
影响利息大小的要素： 本金：业务开始时投资的金额 时期长度：从投资日开始到收回的时间跨度 度量期、期：年 业务开始一定时间后回收的总金额称为该时刻 的积累值（Accumulated value，或终值）。 为了在一定时间后得到某个积累值，而在开始 时投入的本金金额称为该积累值的现值（Present Value）
i(2) [(1 8%)1/2 1] 2 7.85% d (4) 4 [1 (1 8%)1/4 ] 7.623%
i 8.36%
24
（2）
d (12) 12 8% 12 1 i (1 ) (1 ) 1.0836 4 4
应用实例
例 求1万元按每年计息4次的年名义 利率6%投资3年的积累值。
i i i
… 时 间 n 1 n
n
i
i
1 i
0
1
2
3
… 时 间
n2
n 1
n
32
期末付年金
1 1 1 付 款 额 … 1
n2
1
n 1
1
0
1
2
3
… 时 间
n
sn (1 i)n1 (1 i)n2 ... (1 i) 1
1 1 1
付 款 额 …
1
n2
1
n 1
1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
0
1
2
3
… 时 间
n
31
期末付年金
1 1 1 付 款 额 … 1
n2
1
n 1
1
0
1
2
3
an v v2 ... v v n n 1 v v 1 v v iv 1 v 1 vn 1 ian vn i 每年所得
余额
1
i ( m) 1 m
i ( m) 2 (1 ) m
i ( m) m i (1 ) 1 m
…
i ( m ) m1 (1 ) m
i ( m) m (1 ) 1 i m
i ( m) m (1 ) 1 i m
i
( m)
m[(1 i) 1]
20
1 m
4
利息
t期积累函数（因子）a(t ) 1------------------------------a(t )
总量函数 A(t )
k ------------------------------A(t ) a1 (t ) ------------------------- 1
0 t
a1 (t ) t期折现函数（因子） 1 折现因子a (1) ,记为 v
ve
27
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1.2 年金
1.2.1 期末付年金 1.2.2 期初付年金 1.1.3 连续年金
保险精算
28
年金
年金（Annuity）是指按照相等时间 间隔支付的一系列款项。
Annuity
29
Actuarial Science
期末付年金
保险精算
30
期末付年金
在每个付款期间末付款的年金为期末付 年金。 假设一笔年金，付款期限为 n 期，每期 期末付款额为1，每期利率为 i ，各期付款如下
7
实际利率与实际贴现率
某人以1本金开始一项业务，实际利率为 i，则在 一度量期末可收回金额1 i ，而利息（贴现）金额为 i ，若这笔业务的实际贴现率为 d ，则
i d 1 i
d (1 i) i
d i id
d i 1 d
1 v 1 i
d iv
d v 1
8
实际利率与实际贴现率
21
名义利率与名义贴现率
时间点 0 1/m … (m-2)/m (m-1)/m m/m=1
贴现
d ( m) d ( m ) m1 d ( m) d ( m) m2 (1 ) (1 ) … m m m m
d (m) d (m) (1 ) m m
d (m) 1 m
余额
(1
1 m
名义利率与名义贴现率
i(m) m (1 ) 1 i m i(m) m d ( m) m 1 i (1 ) (1 ) m m d (m) m 1 (1 ) 1 d m 1 i
i ( m) d ( m ) 1 (1 ) (1 ) m m
16
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利息度量：转换频率不同
保险精算
17
名义利率与名义贴现率
“实际”一词的主要含义在于，利息为每个度 量期支付一次，或在期初，或在期末，视具体情况 而定。然而，实际上有很多在一个度量期中利息支 付不止一次或在多个度量期利息才支付一次的情形。 这时，我们称相应的一个度量期的利率和贴现率为 “名义”的。
用 in 表示从投资日算起的第 n 个度量期的实际利 率，则：
A(n) A(n 1) in 其中， 为大于等于1的整数 n A(n 1)
用d n表示从投资日算起的第 n 个度量期的实际贴 现率，则：
A(n) A(n 1) dn 其中， 为大于等于1的整数 n A(n)
9
应用实例
10
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利息度量：积累方式不同
保险精算
11
单利与复利
考虑投资一单位本金。 如果其在 t 时的积累值为 a(t ) 1 i t 则该笔投资以每期单利计算，并将这样产生的 利息称为单利（Simple interest）。 t 如果其在 t时的积累值为 a(t ) (1 i) 则该笔投资以每期复利计算，并将这样产生的 利息称为复利（Compound interest）。
复利计息时，第 n 期的实际利率为：
a(n) a(n 1) in a(n 1) n n 1 (1 i) (1 i) n 1 (1 i)
i (1 i) n1 i n 1 (1 i) 结论：in 关于 n 为常数，即常数的复利意味
14
着恒定的实际利率。
23
应用实例
例 (1)求与实际利率8%等价的每年计息2次的年 名义利率以及每年计息4次的年名义贴现率。（2） 已知每年计息12次的年名义贴现率为8%，求等价的 实际利率。
解
（1）
i (2) 2 (1 ) 1 i 1 8% 2 d (4) 4 (1 ) 1 i 1 8% 4
例 某人存1000元进入银行，第1年末存款 余额为1020元，第2年存款余额为1050元，求i1 、 、1 、 2分别等于多少？ i2 d d 解
A(0) 1000 A(1) 1020 A(2) 1050
I1 A(1) A(0) 20
I 2 A(2) A(1) 50 I 20 I1 20 d1 1 1.961% 则 i1 A(0) 1000 2% A(1) 1020 I 30 I2 30 d2 2 2.857% i2 2.941% A(2) 1050 A(1) 1020
Actuarial Science
第 1 章 利息理论基础
1.1 利息度量 1.2 年金
保险精算
1
Actuarial Science
1.1 利息度量
1.1.1 实际利率和实际贴现率 1.1.2 单利和复利 1.1.3 名义利率和名义贴现率
保险精算
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利息
所谓利息（Interest），是指在一定时期内借款 人向贷款人支付的使用资金的报酬。 利息的实质是资金的使用者付给资金所有者的 租金，用以补偿所有者在资金租借期内不能支配该 笔资金而蒙受的损失。
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名义利率与名义贴现率
用i (m ) 符号记每一度量期支付 m 次利息的名义利 率。 所谓名义利率（Nominal interest）是指每1 / m 个度量期支付利息一次，而在每个度量的实际利率 为 i ( m) / m 。 即每一个度量期 i (m ) 的名义利率等价于每1 / m 度 量期 i ( m ) / m 的实际利率。
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单利与复利
单利计息时，第 n 期的实际利率为：