保险精算 第1章 利息理论基础

1 m
名义利率与名义贴现率
i(m) m (1 ) 1 i m i(m) m d ( m) m 1 i (1 ) (1 ) m m d (m) m 1 (1 ) 1 d m 1 i
i ( m) d ( m ) 1 (1 ) (1 ) m m
A(t )
a(t )
式中， t 为该投资额在 t 时的利息强度。
26
利息力
复利计息时
A(t ) a(t ) t A(t ) a(t ) t (1 i)t ln(1 i) [(1 i ) ] t (1 i)t (1 i ) 1 ln(1 i) ln ln v v
用 in 表示从投资日算起的第 n 个度量期的实际利 率，则：
A(n) A(n 1) in 其中， 为大于等于1的整数 n A(n 1)
用d n表示从投资日算起的第 n 个度量期的实际贴 现率，则：
A(n) A(n 1) dn 其中， 为大于等于1的整数 n A(n)
9
应用实例
1 1 1
付 款 额 …
1
n2
1
n 1
1
0
1
2
3
… 时 间
n
31
期末付年金
1 1 1 付 款 额 … 1
n2
1
n 1
1
0
1
2
3
an v v2 ... v v n n 1 v v 1 v v iv 1 v 1 vn 1 ian vn i 每年所得
解
A(3) 10000a(3) 10000 (1 i)3
i (4) 34 10000 (1 ) 4 6% 34 10000 (1 ) 4 10000 (1.015)12
11956.2 元
25
利息力
在很多情况下，需要度量在每一个时间点上的 利息，也就是在无穷小时间区间上的利息。这种对 利息在各个时间点上的度量称为利息力（或利息强 度）。 假设在 t 时刻的资金总量由总量函数 A(t ) 给出， 这笔资金完全由于利息而变化，即本金既不增加也 不撤回。 A(t ) a(t ) 定义 t
21
名义利率与名义贴现率
时间点 0 1/m … (m-2)/m (m-1)/m m/m=1
贴现
d ( m) d ( m ) m1 d ( m) d ( m) m2 (1 ) (1 ) … m m m m
d (m) d (m) (1 ) m m
d (m) 1 m
余额
(1
18
名义利率与名义贴现率
用i (m ) 符号记每一度量期支付 m 次利息的名义利 率。 所谓名义利率（Nominal interest）是指每1 / m 个度量期支付利息一次，而在每个度量的实际利率 为 i ( m) / m 。 即每一个度量期 i (m ) 的名义利率等价于每1 / m 度 量期 i ( m ) / m 的实际利率。
1 i (1
i
(m)
m
)
m
19
名义利率与名义贴现率
时间点 0 1/m 2/m … (m-1)/m m/m=1
利息
i (m) 1 m
i ( m) i ( m) (1 ) m m
…
i (m) i ( m) m2 i ( m) i ( m ) m1 (1 ) (1 ) m m m m
Interest
3
利息
影响利息大小的要素： 本金：业务开始时投资的金额 时期长度：从投资日开始到收回的时间跨度 度量期、期：年 业务开始一定时间后回收的总金额称为该时刻 的积累值（Accumulated value，或终值）。 为了在一定时间后得到某个积累值，而在开始 时投入的本金金额称为该积累值的现值（Present Value）
i(2) [(1 8%)1/2 1] 2 7.85% d (4) 4 [1 (1 8%)1/4 ] 7.623%
i 8.36%
24
（2）
d (12) 12 8% 12 1 i (1 ) (1 ) 1.0836 4 4
应用实例
例 求1万元按每年计息4次的年名义 利率6%投资3年的积累值。
15来自百度文库
应用实例
例 某银行以单利计息，年息为2%，某人 存入5000元，问5(0.5)年后的积累值是多少？ 若以复利计算，其他条件不变，问5(0.5)年后 的积累值是多少？ 解
单利 A(5) 5000 a(5) 5000 (1 5 2%) 50001.1 5500 元 A(0.5) 5000 a(0.5) 5000 (1 0.5 2%) 5000 1.01 5050元 复利 A(5) 5000 a(5) 5000 (1 2%)5 5520.4 元 A(0.5) 5000 a(0.5) 5000 (1 2%)0.5 5024.9 元
单利与复利
对单利来讲，利息并不作为投资资金而再赚取 利息；对复利来讲，在任何时候，本金和到该时为 止得到的利息，总是用来投资以赚取更多的利息。 t 1时，相同单复利场合，单利计息比复利计 息产生更大的积累值，即1 i t (1 i)t 。所以短期 业务一般单利计息。 t 1 时，相同单复利场合，复利计息比单利计 息产生更大的积累值，即1 i t (1 i)t 。所以长期 业务一般复利计息。
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单利与复利
单利计息时，第 n 期的实际利率为：
a(n) a(n 1) in a(n 1) (1 in) [1 i(n 1)] 1 i(n 1)
1 1 i (n 1) 结论：in 关于 n 单调递减，即常数的单利意
13
味着递减的实际利率。
单利与复利
i i i
… 时 间 n 1 n
n
i
i
1 i
0
1
2
3
… 时 间
n2
n 1
n
32
期末付年金
1 1 1 付 款 额 … 1
n2
1
n 1
1
0
1
2
3
… 时 间
n
sn (1 i)n1 (1 i)n2 ... (1 i) 1
余额
1
i ( m) 1 m
i ( m) 2 (1 ) m
i ( m) m i (1 ) 1 m
…
i ( m ) m1 (1 ) m
i ( m) m (1 ) 1 i m
i ( m) m (1 ) 1 i m
i
( m)
m[(1 i) 1]
20
1 m
7
实际利率与实际贴现率
某人以1本金开始一项业务，实际利率为 i，则在 一度量期末可收回金额1 i ，而利息（贴现）金额为 i ，若这笔业务的实际贴现率为 d ，则
i d 1 i
d (1 i) i
d i id
d i 1 d
1 v 1 i
d iv
d v 1
8
实际利率与实际贴现率
d )m 1 d m
(m)
(1
d ) m 1 … m
(m)
d (m) 2 (1 ) m
d ( m) 1 m
1
d (m) m (1 ) 1 d m
d (m) m d 1 (1 ) m
d
( m)
m[1 (1 d ) ] m(1 v )
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1 m
10
Actuarial Science
利息度量：积累方式不同
保险精算
11
单利与复利
考虑投资一单位本金。 如果其在 t 时的积累值为 a(t ) 1 i t 则该笔投资以每期单利计算，并将这样产生的 利息称为单利（Simple interest）。 t 如果其在 t时的积累值为 a(t ) (1 i) 则该笔投资以每期复利计算，并将这样产生的 利息称为复利（Compound interest）。
名义利率与名义贴现率
用d (m)符号记每一度量期支付 m 次利息的名义贴 现率。 所谓名义贴现率是指每 1 / m 个度量期支付利息 一次，而在每个度量的实际利率为( m) / m 。 d 即每一个度量期 d (m)的名义利率等价于每1 / m 度 d ( m) / m 的实际利率。 量期
d (m) m 1 d (1 ) m
Actuarial Science
第 1 章 利息理论基础
1.1 利息度量 1.2 年金
保险精算
1
Actuarial Science
1.1 利息度量
1.1.1 实际利率和实际贴现率 1.1.2 单利和复利 1.1.3 名义利率和名义贴现率
保险精算
2
利息
所谓利息（Interest），是指在一定时期内借款 人向贷款人支付的使用资金的报酬。 利息的实质是资金的使用者付给资金所有者的 租金，用以补偿所有者在资金租借期内不能支配该 笔资金而蒙受的损失。
复利计息时，第 n 期的实际利率为：
a(n) a(n 1) in a(n 1) n n 1 (1 i) (1 i) n 1 (1 i)
i (1 i) n1 i n 1 (1 i) 结论：in 关于 n 为常数，即常数的复利意味
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着恒定的实际利率。
4
利息
t期积累函数（因子）a(t ) 1------------------------------a(t )
总量函数 A(t )
k ------------------------------A(t ) a1 (t ) ------------------------- 1
0 t
a1 (t ) t期折现函数（因子） 1 折现因子a (1) ,记为 v
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Actuarial Science
利息度量：转换频率不同
保险精算
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名义利率与名义贴现率
“实际”一词的主要含义在于，利息为每个度 量期支付一次，或在期初，或在期末，视具体情况 而定。然而，实际上有很多在一个度量期中利息支 付不止一次或在多个度量期利息才支付一次的情形。 这时，我们称相应的一个度量期的利率和贴现率为 “名义”的。
第n期利息I n
I n A(n) A(n 1)
Actuarial Science
利息度量：计息时刻不同
保险精算
6
实际利率与实际贴现率
某一度量期的实际利率（Effective annual rate） 是指该度量期内得到的利息金额与此度量期开始时 投入的本金金额之比。通常用字母 i 表示。 一个度量期的实际贴现率为该度量期内取得到 的利息金额与期末投资可回收金额之比。通常用字 母 d 表示。 实际利率与实际贴现率的定义十分类似，都是 用来度量利息的。
例 某人存1000元进入银行，第1年末存款 余额为1020元，第2年存款余额为1050元，求i1 、 、1 、 2分别等于多少？ i2 d d 解
A(0) 1000 A(1) 1020 A(2) 1050
I1 A(1) A(0) 20
I 2 A(2) A(1) 50 I 20 I1 20 d1 1 1.961% 则 i1 A(0) 1000 2% A(1) 1020 I 30 I2 30 d2 2 2.857% i2 2.941% A(2) 1050 A(1) 1020
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应用实例
例 (1)求与实际利率8%等价的每年计息2次的年 名义利率以及每年计息4次的年名义贴现率。（2） 已知每年计息12次的年名义贴现率为8%，求等价的 实际利率。
解
（1）
i (2) 2 (1 ) 1 i 1 8% 2 d (4) 4 (1 ) 1 i 1 8% 4
ve

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Actuarial Science
1.2 年金
1.2.1 期末付年金 1.2.2 期初付年金 1.1.3 连续年金
保险精算
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年金
年金（Annuity）是指按照相等时间 间隔支付的一系列款项。
Annuity
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Actuarial Science
期末付年金
保险精算
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期末付年金
在每个付款期间末付款的年金为期末付 年金。 假设一笔年金，付款期限为 n 期，每期 期末付款额为1，每期利率为 i ，各期付款如下