矩阵论学习-(矩阵分析)

第五章 矩 阵 分 析
本章讨论两个主要问题 : ( 1) 向量、矩阵范数 , (2 ) 矩阵函数及其计算 .范数是一 类类似于内积长度而比其含义更广泛的概念, 它对研究计算方法的收敛性与系统 的稳定性问题起着重要的作用 .而矩阵函数是解线性微分方程组的强有力的工具 .
§5 .1 向量范数与矩阵范数
线性空间 V n ( F ) 的 向 量 α 在取 定基 下与 坐标 x = ( x1 , x2 , … , xn ) T 一 一 对
应 , 空间 Vn ( F) 与 n 维向量空间 Fn 同构 , 则 Vn ( F)向量的范数就可以用 Fn 中的
向量 x 的范数来计算 .
常用的三种范数
设 x = ( x1 , x2 , … , xn ) T ∈ Cn ,
[内容提要]
1 . 向量范数
定义 1 .1 设 V n ( F ) 是数域 F 的线性空间 , 若 ＂ α∈ V n ( F ) , 都 对应一个数 , 记为‖α‖ , 且满足下列三条性质 .
(1 ) 正定性 : ＂ α∈ V n ( F ) , ‖α‖≥0, 当且仅当 α= 0 时‖α‖ = 0 .
‖ A‖1 = max{3 + 10 , 6 , 4 + 2 , 5} = 3 + 10 .
‖ A‖∞ = max{4 , 10 + 2 + 5 , 9} = 5 + 2 + 10 . 例 5 .1－2 证明下列各式
(1 ) ‖ x‖2 ≤‖ x‖1 ≤ n ‖ x‖2 . (2 ) ‖ x‖∞ ≤‖ x‖1 ≤ n‖ x‖∞ .
mn
1
∑ ∑ | aij | 2 2 ,
i= 1 j=1
m1 ‖ A‖ b ≤ ‖ A‖ a ≤ m2 ‖ A‖ b .
若 U, V 为两个酉阵, 则
‖ UAV ‖2 = ‖ UA‖2 = ‖ A V‖2 = ‖ A‖2 .
A 的谱半径与范数的关系:
154
矩 阵 论 学 习 辅 导 与 典型 题 解 析
‖ A‖ a = ‖ P - 1 AP‖是 Cn × n 中的一个矩阵范数 .
证 ( i) A = 0, ‖ A‖ a = 0, 当 A≠0 时, P - 1 AP≠0, 从而 ‖ A‖ a = ‖ P - 1 AP‖ > 0 .
x
2 i
)
1 2
定义的非负实数是
Rn
空间的一个向量范数
.
i =1
证
( i) ‖ x‖≥0 , ‖ x‖ = 0 x = 0 显然 .
n
1
n
1
n
1
( ii) ‖ kx‖ = ∑ ai ( kxi ) 2 2 =
k2 ∑
ai
x
2 i
2 = | k|
∑
ai
x
2 i
2 = | k |·‖ x‖ .
i =1
i =1
i=1
i =1
可得
‖ x‖2 ≤ ‖ x‖1 ≤ n ‖ x‖2 .
n
(2)
‖ x‖∞
= max | 1≤ i ≤ n
xi | ≤∑ | i= 1
xi
|
≤
n
max
1≤ i≤ n
|
xi |
=
n ‖ x‖∞
.
可得
‖ x‖∞ ≤‖ x‖1 ≤ n ‖ x‖∞ .
第五章 矩阵分析
155
n
(3 )
1
| fBiblioteka Baidu t) | d t > 0 .
a
a
1
( ii) ＂ k∈ C , 有
∫ ∫ b
b
‖ f ( t) ‖ = | k f ( t) | d t = | k | | f ( t ) | d t = | k |·‖ f ( t ) ‖ .
a
a
( iii) 对 g ( t ) ∈ C[ a , b] ,
的.
定义 1 .3 设‖ A‖是一个矩阵范数 , ‖ x‖是一个向量范数 , 若满足关系式
‖ Ax‖ ≤ ‖ A‖·‖ x‖ ,
称矩阵范数‖ A‖与向量范数‖ x‖是相容的 .
与向量范数相容的矩阵范数(诱导范数) :
‖ A‖ p = max ＂ x∈ C n
‖ Ax‖ p ‖ x‖ p
常用的矩阵范数 , 设 A = ( aij ) m× n , 则
0
2 i 2 -4
-i
计算 : ‖ Ax‖1 , ‖ Ax‖2 , ‖ Ax‖∞ , ‖ A‖1 , ‖ A‖∞ .
解 Ax = ( 2 , 7 - i , - 2 + 6 i )T , 则
‖ Ax‖1 = 2 + 50 + 40 .
‖ Ax‖2 = 4 + 50 + 40 = 94 .
‖ Ax‖∞ = 50 .
(2 ) 齐次性 : ＂ k∈ F , α∈ Vn ( F ) , ‖ kα‖ = | k |·‖α‖ .
( 5 .1 －1)
(3 ) 三角不等式 : ＂ α,β∈ V n ( F ) 有 ,
‖α+ β‖≤‖α‖ + ‖β‖ ,
则称‖α‖是 Vn ( F ) 中向量 α的范数 , V n ( F ) 称为赋范线性空间 .
阵范数应同时反映了两重特征 : 既度量矩阵的“ 大小”, 也衡量变换的“大小”. 定义 1 .2 设 A∈ Cm × n , 用‖ A‖ 表示 按照 某一法 则确 定 的与 A 对 应的 实
数 , 且满足下四个性质 :
(1 ) 正定性 : ‖ A‖≥0 , 当且仅当 A = 0 时‖ A‖ = 0;
i=1
( iii) 对于 y = ( y1 , y2 , … , yn ) T , x + y = ( x1 + y1 , x2 + y2 , … , xn + yn ) T ,
n
n
∑ ∑ ‖ x + y‖2 =
ai ( xi + yi )2 =
ai (
x
2 i
+ 2 xi yi
+
y2i )
.
i= 1
明‖ x‖ b = ‖ Ax‖ a 所定义的函数是 Cn 的一个向量范数 .
证 ( i) x = 0 , ‖ x‖ b = 0 , 当 x≠ 0 时 , 由 A 是 列满 秩的 , 则有 Ax≠ 0, 从 而
‖ x‖ b = ‖ Ax‖ a > 0 .
( ii) ＂ k∈ C , ‖ kx‖ b = ‖ A( kx) ‖ a = | k |·‖ Ax‖ a = | k |·‖ x‖ b .
证明‖ f ( t) ‖是 C[ a, b]上的向量空间 .
证 (i) 当 f ( t) = 0 时 , ‖ f( t) ‖ = 0, 当 f ( t)不恒等于零时 , 则 f ( t) 必在 [ a,
b] 的某子区间[ a1 , b1 ]上不等于零 , 从而
∫ ∫ b
b
‖ f( t) ‖ =
| f( t) | d t ≥
(1 ) ρ( A ) ≤‖ A‖ ; (2 ) ＂ ε> 0 ,ρ( A) ≤‖ A‖ε≤ρ( A ) + ε.
( 5 .1 －7)
[典型题解析]
计算向量、矩阵 ( 1 , 2 , ∞ ) 范数是本节的最基本要求 .
-1
-1 0 2
i
例 5 .1－1 A = 3 + i 5 1 + i 0 , x = 2 , i = - 1
= max {‖ Ax‖ p } . ‖ x‖ = 1 p
( 5 .1 －5)
m
(1 )
列和范数
‖ A‖1
= max 1≤ j≤ n
∑ | aij |
i= 1
;
n
(2 ) 行和范数 ‖ A‖∞ = m ax ∑ | aij | ; 1≤ i≤ m j = 1
( 5 .1 －6)
(3 ) 谱范数 ‖ A‖2 = m axλ( AH A ) ,
‖ x‖ p = 称为向量的 p 范数 .
n
1
∑ | xi | p p (1 ≤ p < ∞)
i= 1
n
(1 ) ‖ x‖1 = ∑ | xi | . i= 1
n
(2 ) ‖ x‖2 = ∑ | xi | 2 . i= 1
(3 ) ‖ x‖∞ = max { | xi | } . 1≤ i ≤ n
‖
x‖
2 2
= ∑| i= 1
xi
|
2
≥ max 1≤ i≤ n
|
xi |2
= ‖ x‖2∞ ,
n
‖ x‖22 = ∑ | i=1
xi
|
2
≤
n
max
1 ≤ i≤ n
|
xi | 2 =
n ‖ x‖2∞
.
(4 )
由(2) 有
1 n
‖
x‖1
≤
‖
x‖∞
,
及
‖
x‖ ∞
≤
‖
x‖1
,
再
由
(
3)
有
‖
x‖ ∞
≤
‖ x‖2 ≤ n ‖ x‖∞ , 有
i=1
由柯西不等式
n
n
∑ ∑ ‖ x + y‖2 ≤
ai
x
2 i
+
ai y2i + 2 ‖ x‖·‖ y‖ =
i= 1
i=1
‖ x‖2 + ‖ y‖2 + 2‖ x‖·‖ y‖ = ( ‖ x‖ + ‖ y‖ )2 ,
可得‖ x + y‖≤‖ x‖ + ‖ y‖ .因而 , ‖ x‖是 Rn 的一个向量范数 . 例 5 .1－4 设‖ x‖ a 是 Cn 的 一个 向量 范数 , 矩阵 A∈ Cm × n 是 列满 秩 的 , 证
( iii) 对 y∈ Cn , 有
‖ x + y‖ b = ‖ A ( x + y) ‖ a = ‖ Ax + Ay‖ a ≤
‖ Ax‖ a + ‖ Ay‖ a = ‖ x‖ a + ‖ y‖ a ,
故‖ x‖ b = ‖ Ax‖ a 是 Cn 的一个向量范数 .
说明:本例 A 列满秩是必要的 , 否则条件 (i)不成立 .
m axλ( AH A ) 表示 矩阵 AH A 的特征 值的 最大 者 , ‖ A‖1 , ‖ A‖∞ , ‖ A‖2 分 别
与向量范数‖ x‖1 , ‖ x‖∞ , ‖ x‖2 相容 ; (4 ) Frobenius 范数
‖ A‖ F =
它与向量范数‖ x‖2 相容 . 矩阵范数也具有等价性 , 即
(3 ) ‖ x‖∞ ≤‖ x‖2 ≤ n ‖ x‖∞ .
(4 )
1‖ n
x‖1 ≤‖ x‖2 ≤
n ‖ x‖1 .
证 设 x = ( x1 , x2 , … , xn ) T , 则
(1 ) 令 α= ( | x1 | , | x2 | , … , | xn | ) T , β= (1 , 1 , … , 1) T , 则
1 n
‖
x‖1
≤‖
x‖ ∞
≤‖
x‖2
≤
n ‖ x‖∞ ≤
n ‖ x‖1 ,
可得
1 n
‖
x‖1
≤
‖
x‖2
≤
n ‖ x‖1 .
例 5 .1－3 设 a1 , a2 , … , an 都是 正实 数 , 向量 x = ( x1 , x2 , … , xn ) T ∈ R n , 证
明由‖
x‖
=
n
(∑
ai
向量范数具有等价性 , 即
( 5 .1 －2)
m1 ‖ x‖ b ≤ ‖ x‖ a ≤ m2 ‖ x‖ b .
( 5 .1 －3)
第五章 矩阵分析
153
2 . 矩阵范数 矩阵 A∈ Cm × n , 既可看 做 m n 维 空间 的向 量 , 又可看 做 Cn → Cm 的 映 射 .矩
例 5 .1－5 设区间 [ a , b]上全体实值连续函数的集合 , 在通常函数的加法与数
156
矩 阵 论 学 习 辅 导 与 典型 题 解 析
乘运算构成一个 R 上线性空间 , 记为 C[ a , b] , ＂ f ( x ) ∈ C[ a, b] , 定义实数 :
∫b
‖ f( t) ‖ = | f ( t) | d t, a
∫ ∫ b
b
‖ f ( t) + g( t)‖ = | f ( t) + g( t) | d t ≤ ( | f ( t) | +| g( t) | )d t =
a
a
∫ ∫ b
b
| f( t) | d t + | g( t) | d t = ‖ f( t)‖ + ‖ g( t)‖ .
a
a
由向量范数定义知 : ‖ f ( t ) ‖是 C[ a, b] 中的向量范数 . 例 5 .1－6 设 ‖ A ‖ 是 Cn × n 的 矩 阵 范 数 , P 是 n 阶 可 逆 矩 阵 , 证 明 实 函 数
由 | ( α,β) | ≤ | α|·| β| , 得
1
| x1 | + | x2 | + … + | xn | ≤ n ( | x1 | 2 + | x2 | 2 + … + | xn | 2 ) 2 .
即
‖ x‖1 ≤ n ‖ x‖2 .
n
n
又
∑ ∑ | xi | 2 ≤ ( | xi | ) 2 , 即 ‖ x‖2 ≤ ‖ x‖1 ,
(2 ) 齐次性 : ‖ kA‖ = | k |·‖ A‖ , k 为数 ;
(3 ) 三角不等式 : ‖ A + B‖≤‖ A‖ + ‖ B‖ ;
( 5 .1 －4)
(4 ) 乘积不等式 : ‖ AB‖≤‖ A‖·‖ B‖ ,
则称‖ A‖为矩阵空间的一个范数 .
Am × n , Bn × l , ABm × l 所涉 及 的 各个 矩 阵 空 间 的矩 阵 范 数 定 义 的 规 则 是 相 同