(完整版)空间向量的数量积运算
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答案： D
工具
第三章 空间向量与立体几何
栏目导引
3．已知空间四边形 ABCD 的每条边和对角线的长都等于 a，
点 E，F 分别是 BC，AD 的中点，则 A→E ·A→F 等于________． 解析： A→E ·A→F ＝12(A→B ＋A→C )·12A→D ＝14(A→B ·A→D ＋A→C ·A→D )
b＋2c|＝( )
A. 5
B．5
C．6
D. 6
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第三章 空间向量与立体几何
栏目导引
解析： 因为|a|＝|b|＝|c|＝1， 〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°， 所以 a·b＝b·c＝a·c＝12， a2＝b2＝c2＝1， 所以|a－b＋2c|＝ ?a－b＋2c?2 ＝ a2＋b2＋4c2－2a·b＋4a·c－4b·c ＝ 1＋1＋4－2×12＋4×12－4×12 ＝ 6－1＋2－2＝ 5.
为 5 000 kg，在它的顶点处分别受到
大小相同的力 F1、F2、F3，并且每两个力之间的夹角都 是 60°.
问这每个力最小为多少时，才能提起这块混凝土构
件？
工具
第三章 空间向量与立体几何
栏目导引
2．在△ABC 中，〈A→B ，B→C 〉＝∠B 吗？如何作出空间两向
量 a 与 b 的夹角？夹角的取值范围是什么？ 3．已知两个非零向量 a 与 b，我们把数量|a||b|cos〈a，b〉 叫
3．1.3 空间向量的数量积运算
工具
第三章 空间向量与立体几何
栏目导引
工具
第三章 空间向量与立体几何
栏目导引
1.掌握空间向量夹角的概念及表示方法，掌握两个向量的数 量积概念、性质和计算方法及运算规律．
2.掌握两个向量的数量积的主要用途，会用它解决立体几何 中一些简单的问题.
工具
第三章 空间向量与立体几何
且|a|＝|b|＝|c|＝1，
易知∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝3π，
则 a·b＝b·c＝c·a＝12.
做 a 与 b 的 数量积 (或内积)，记作 a·b， 即 a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． 它所满足的运算律有： (1)交换律： a·b＝b·a ； (2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)； (3)分配律： (a＋b)·c ＝a·c＋b·c.
工具
第三章 空间向量与立体几何
栏目导引
4．已知非零向量 b 在非零向量 a 方向上的投影为零，则向
量 a，b 的夹角
如果〈a，b〉＝π2，那么向量 a，b互相垂直 ，记作 a⊥b .
工具
第三章 空间向量与立体几何
栏目导引
2．空间向量的数量积
定 已知两个非零向量a，b，则|a|·|b|·cos〈a，b〉叫做
义
a，b的数量积，记作a·b.
数乘向量与向量 运
数量积的结合律 算
交换律 律
分配律
(λa)·b＝ λ(a·b) .
量 a，b 的关系是 a⊥b .
5．已知向量 a，b 满足|a|＝1，|b|＝4，且 a·b＝2，则 a 与 b
π 的夹角为 3 .
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第三章 空间向量与立体几何
栏目导引
1．空间向量的夹角
定义
图示
记法
范围
已知两非零向量 a、b，在空
间中任取一点 O，作O→A＝a，
O→B＝b，则 ∠AOB 叫做向
〈a，b〉 [0，π]
(3) 若 θ 为 a，b 的夹角，则
cos
θ＝
a·b |a|·|b|.
(4)| a·b|≤ |a|·|b|.
应用
(1) 可以求向量的模或夹角，进而求两点距离 或两直线所成角． (2) 可证明两非零向量垂直，进而证明两直线 垂直 .
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第三章 空间向量与立体几何
栏目导引
1．已知向量 a，b，c 两两夹角为 60°，其模都为 1，则|a－
∴|P→C|＝7，即 PC＝7.
工具
第三章 空间向量与立体几何
栏目导引
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第三章 空间向量与立体几何
栏目导引
已知空间四边形 OABC各边及对角线长都相等， E，F分 别为AB，OC的中点，求异面直线OE与BF所成角的余弦值．
[策略点睛]
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第三章 空间向量与立体几何
栏目导引
[解题过程] 如图所示，设 O→A＝a，O→B ＝b，O→C ＝c，
＝14(a×acos 60°＋a×acos 60°) ＝12a 2 答案： 12a2
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第三章 空间向量与立体几何
栏目导引
4.如图所示，在?ABCD 中，AD＝4，CD ＝3，∠D＝60°，PA⊥平面 ABCD，PA＝6， 求线段 PC 的长．
解析： ∵P→C ＝P→A＋A→D ＋D→C . ∴|P→C |2＝(P→A ＋A→D ＋D→C )2 ＝|P→A |2＋|A→D|2＋|D→C|2＋2P→A ·A→D ＋2A→D ·D→C ＋2D→C ·P→A ＝62＋42＋32＋2|A→D ||D→C |cos 120°＝61－12＝49.
栏目导引
1.空间向量的数量积运算．(重点) 2.利用空间向量的数量积求夹角及距离．(难点) 3.空间向量数量积的运算律．(易错点)
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第三章 空间向量与立体几何
栏目导引
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第三章 空间向量与立体几何
栏目导引
1. 为了帮助四川地震灾区重建家
园，某施工队需要移动一个大型的正
四面体筋混凝土构件，已知它的质量
a·b＝ b·a . a·(b＋c)＝ a·b＋a·c .
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第三章 空间向量与立体几何
栏Baidu Nhomakorabea导引
两个 向量 数量 积的 性质
(1) 若 a，b 是非零向量，则 a⊥ b? a·b＝ 0.
(2) 若 a 与 b 同向，则 a·b＝ |a|·|b|；
若反向，则 a·b＝－ |a|·|b|.
特别地： a·a＝ |a|2 或 |a|＝ a·a.
答案： A
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第三章 空间向量与立体几何
栏目导引
2．空间四边形 OABC 中，OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝π3，
则 cos〈O→A，B→C 〉的值为( )
1 A.2 C．－12
2 B. 2 D．0
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第三章 空间向量与立体几何
栏目导引
解析： 因为 O→A ·B→C＝O→A ·(O→C －O→B ) ＝O→A ·O→C －O→A ·O→B ＝|O→A||O→C |cos〈O→A，O→C 〉－|O→A ||O→B |cos〈O→A，O→B〉 又因为〈O→A ，O→C 〉＝〈O→A ，O→B 〉＝π3， |O→B ＝|O→C |，所以 O→A·B→C ＝0， 所以O→A⊥B→C，所以 cos〈O→A ，B→C 〉＝0.
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3．已知空间四边形 ABCD 的每条边和对角线的长都等于 a，
点 E，F 分别是 BC，AD 的中点，则 A→E ·A→F 等于________． 解析： A→E ·A→F ＝12(A→B ＋A→C )·12A→D ＝14(A→B ·A→D ＋A→C ·A→D )
b＋2c|＝( )
A. 5
B．5
C．6
D. 6
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解析： 因为|a|＝|b|＝|c|＝1， 〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°， 所以 a·b＝b·c＝a·c＝12， a2＝b2＝c2＝1， 所以|a－b＋2c|＝ ?a－b＋2c?2 ＝ a2＋b2＋4c2－2a·b＋4a·c－4b·c ＝ 1＋1＋4－2×12＋4×12－4×12 ＝ 6－1＋2－2＝ 5.
为 5 000 kg，在它的顶点处分别受到
大小相同的力 F1、F2、F3，并且每两个力之间的夹角都 是 60°.
问这每个力最小为多少时，才能提起这块混凝土构
件？
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2．在△ABC 中，〈A→B ，B→C 〉＝∠B 吗？如何作出空间两向
量 a 与 b 的夹角？夹角的取值范围是什么？ 3．已知两个非零向量 a 与 b，我们把数量|a||b|cos〈a，b〉 叫
3．1.3 空间向量的数量积运算
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1.掌握空间向量夹角的概念及表示方法，掌握两个向量的数 量积概念、性质和计算方法及运算规律．
2.掌握两个向量的数量积的主要用途，会用它解决立体几何 中一些简单的问题.
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第三章 空间向量与立体几何
且|a|＝|b|＝|c|＝1，
易知∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝3π，
则 a·b＝b·c＝c·a＝12.
做 a 与 b 的 数量积 (或内积)，记作 a·b， 即 a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． 它所满足的运算律有： (1)交换律： a·b＝b·a ； (2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)； (3)分配律： (a＋b)·c ＝a·c＋b·c.
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4．已知非零向量 b 在非零向量 a 方向上的投影为零，则向
量 a，b 的夹角
如果〈a，b〉＝π2，那么向量 a，b互相垂直 ，记作 a⊥b .
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2．空间向量的数量积
定 已知两个非零向量a，b，则|a|·|b|·cos〈a，b〉叫做
义
a，b的数量积，记作a·b.
数乘向量与向量 运
数量积的结合律 算
交换律 律
分配律
(λa)·b＝ λ(a·b) .
量 a，b 的关系是 a⊥b .
5．已知向量 a，b 满足|a|＝1，|b|＝4，且 a·b＝2，则 a 与 b
π 的夹角为 3 .
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1．空间向量的夹角
定义
图示
记法
范围
已知两非零向量 a、b，在空
间中任取一点 O，作O→A＝a，
O→B＝b，则 ∠AOB 叫做向
〈a，b〉 [0，π]
(3) 若 θ 为 a，b 的夹角，则
cos
θ＝
a·b |a|·|b|.
(4)| a·b|≤ |a|·|b|.
应用
(1) 可以求向量的模或夹角，进而求两点距离 或两直线所成角． (2) 可证明两非零向量垂直，进而证明两直线 垂直 .
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1．已知向量 a，b，c 两两夹角为 60°，其模都为 1，则|a－
∴|P→C|＝7，即 PC＝7.
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已知空间四边形 OABC各边及对角线长都相等， E，F分 别为AB，OC的中点，求异面直线OE与BF所成角的余弦值．
[策略点睛]
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第三章 空间向量与立体几何
栏目导引
[解题过程] 如图所示，设 O→A＝a，O→B ＝b，O→C ＝c，
＝14(a×acos 60°＋a×acos 60°) ＝12a 2 答案： 12a2
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4.如图所示，在?ABCD 中，AD＝4，CD ＝3，∠D＝60°，PA⊥平面 ABCD，PA＝6， 求线段 PC 的长．
解析： ∵P→C ＝P→A＋A→D ＋D→C . ∴|P→C |2＝(P→A ＋A→D ＋D→C )2 ＝|P→A |2＋|A→D|2＋|D→C|2＋2P→A ·A→D ＋2A→D ·D→C ＋2D→C ·P→A ＝62＋42＋32＋2|A→D ||D→C |cos 120°＝61－12＝49.
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1.空间向量的数量积运算．(重点) 2.利用空间向量的数量积求夹角及距离．(难点) 3.空间向量数量积的运算律．(易错点)
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第三章 空间向量与立体几何
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第三章 空间向量与立体几何
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1. 为了帮助四川地震灾区重建家
园，某施工队需要移动一个大型的正
四面体筋混凝土构件，已知它的质量
a·b＝ b·a . a·(b＋c)＝ a·b＋a·c .
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第三章 空间向量与立体几何
栏Baidu Nhomakorabea导引
两个 向量 数量 积的 性质
(1) 若 a，b 是非零向量，则 a⊥ b? a·b＝ 0.
(2) 若 a 与 b 同向，则 a·b＝ |a|·|b|；
若反向，则 a·b＝－ |a|·|b|.
特别地： a·a＝ |a|2 或 |a|＝ a·a.
答案： A
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2．空间四边形 OABC 中，OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝π3，
则 cos〈O→A，B→C 〉的值为( )
1 A.2 C．－12
2 B. 2 D．0
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解析： 因为 O→A ·B→C＝O→A ·(O→C －O→B ) ＝O→A ·O→C －O→A ·O→B ＝|O→A||O→C |cos〈O→A，O→C 〉－|O→A ||O→B |cos〈O→A，O→B〉 又因为〈O→A ，O→C 〉＝〈O→A ，O→B 〉＝π3， |O→B ＝|O→C |，所以 O→A·B→C ＝0， 所以O→A⊥B→C，所以 cos〈O→A ，B→C 〉＝0.