高斯噪声中信号参量估计

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第9章 高斯噪声中信号参量估计
式中：
x
为接收信号的第
k
次k 观测值；
s为k (有) 用信号的第 次观k
测值； 为n噪k 声的第 次观测k 值。带限高斯白噪声情况下信号参
量估计就是根据N 次观测值组成的观测向量
x [x1, x2 ,, xn ]T
（9.2.5）
构造估计量 ˆ作为被估计参量 的 估计。
第9章 高斯噪声中信号参量估计
第8章讨论的是信号参量估计的基本理论，除了将代价 函数具体化了之外，似然函数、被估计参量的概率密度和 信号形式均未具体化。这一章就来讨论将似然函数具体化 为高斯噪声情况的信号参量估计，并且将信号形式具体化 正弦或余弦函数。这一章可以看作是上一章基本理论的应 用。
本章所讨论内容的前提是信道噪声为加性高斯噪声， 且信号形式是正弦或余弦函数，而信号参量是未知的。
道 噪 声 的 概 率 密 度 。 被 估 计 参 量 向 量 θ通 过 发 送 信 号
s(t,θ体) 现在似然函数中。
对于高斯噪声，通常是按照白噪声和色噪声分类进行讨论
和处理。高斯白噪声按照时域抽样定理就可以使时域抽样相
互统计独立，而高斯色噪声按照卡亨南-洛维展开使展开
式的各个分量相互统计独立。对于高斯白噪声，通常是按照
Gn
()
N0 2
0
Bn
其他
（9.2.2）
式中：Bn为高斯白噪声功率谱密度带宽。在观测时间 (0,内T )，对 接收信号统计独立采样的数目为
N TBn π
（9.2.3）
为了对信号参量作出估计，对接收信号作N 次独立采样，得
到
xk sk ( ) nk k 1, 2,, N
（9.2.4）
9.2 高斯白噪声中信号单个参量估计
2
2 n
9.2 高斯白噪声中信号单个参量估计
（9.2.7）
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第9章 高斯噪声中信号参量估计
由于接收信号的N 次观测值是相互统计独立的，观测向量
x的联合概率密度是各次观测值概率密度的乘积，故观测向量
x的似然函数为
N
p(x| ) p(xk | )
x(t) s(t,θ) n(t) s(t,1,2 ,,m ) n(t) 式中：θ [1,2 ,为,未m知]T 参量向量。
（9.1.1）
信号参量估计就是利用接收信号连续波形或其他的独立抽 样值构造一个函数 作θˆ(为t) 对未知参量向量 的估θ计量。采用 的最佳估计准则不同，函数 的形θˆ(式t) 便可能不同，因此存在 各种不同的估计量。典型的构造估计量的基本方法，即典型
由于信道噪声是0均值的带限高斯白噪声，故噪声第 次k观测
值的概率密度为
p(nk )
1
2π n
exp
nk2
2
2 n
（9.2.6）
式中：
为2 带限高斯白噪声的方差。将式（9.2.4）代入到式（
n
9.2.6），得到接收信号第 k次观测值的似然函数为
p(xk | )
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1
2π n
exp
[
xk
sk ( )]2
信号参量估计的方法主要有贝叶斯估计、最大后验估计及 最大似然估计。贝叶斯估计要求已知观测信号的似然函数、 被估计参量的先验概率密度及代价函数；最大后验估计要求 已知观测信号的似然函数和被估计参量的先验概率密度；最 大似然估计要求已知观测信号的似然函数。
本章主要以最大似然估计为代表，讨论高斯噪声中信号参 量估计。
带限高斯白噪声和理想高斯白噪声分类进行讨论和处理。带
限高斯白噪声可以用有限的时域抽样值代替时域的连续观测
，而理想高斯白噪声需要时域的连续观测。
9.1 概述
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第9章 高斯噪声中信号参量估计
本章主要以理想高斯白噪声为代表，讨论高斯白噪声中信 号参量估计。
大多数信息传输系统利用电磁波作为载体传输信息，而电 磁波的信号形式主要是正弦或余弦函数，故本章将以正弦或 余弦函数为代表，讨论高斯噪声中信号参量估计。
对接收信号的观测方式或采样方式取决于高斯白噪声的带宽
。如果高斯白噪声是带宽有限的，则可以按照采样定理用有限
的时域离散的接收信号采样值代替时域的连续观测。如果高斯
白噪声是带宽无限的，则必须连续观测接收信号。
9.2 高斯白噪声中信号单个参量估计
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第9章 高斯噪声中信号参量估计
1.带限高斯白噪声情况
对于0均值的带限高斯白噪声，其功率谱密度为
9.1 概述
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第9章 高斯噪声中信号参量估计
9.2 高斯白噪声中信号单个参量估计
贝叶斯估计、最大后验估计及最大似然估计均可以实现高 斯白噪声中单个信号参量估计，只不过要求的已知条件不同 而已。本节以最大似然估计为代表，讨论高斯白噪声中单个 信号参量估计的方法，其他估计方法可以参考它的分析方 法类推。
噪声为 ，在n(t观) 测时间 内，(0接,T收) 设备的接收信号为
x(t) s(t,θ) n(t) 0 t T
（9.2.1）
式中： 为单个被估计参量。
高斯白噪声中单个信号参量最大似然估计需要的已知条件是
：发送信号 s的(t,信θ) 号形式已知；信道噪声 为0n均(t)值高斯白噪
声。如果信号形式是正弦函数，被估计参量 可以是信号的振 幅、相位、频率及时延等。
9.2.1 高斯白噪声中信号单个参量的最大似然估计9.2.2 信号幅度的估计 9.2.3 信号相位的估计 9.2.4 信号频率的估计 9.2.5 信号时延的估计
9.2 高斯白噪声中信号单个参量估计
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第9章 高斯噪声中信号参量估计
9.2.1 高斯白噪声中信号单个参量的最大似然估计
设信息传输系统中发送设备发送的信号为 s(，t,θ信) 道的加性
的最佳估计准则有：贝叶斯估计准则、最大后验估计准则及
最大似然估计准则。
9.1 概述
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第9章 高斯噪声中信号参量估计
最大似然估计仅要求已知观测信号的似然函数 p(，x |θ而)似
然函数包含了3个要素：观测信号总体的概率密度、发送信
号的形式及观测信号的观测数据。因为观测信号的随机性由
信道噪声的随机性决定，故观测信号总体的概率密度就是信
0
第9章 高斯噪声中信号参量估计
主要内容
9.1 概述 9.2 高斯白噪声中信号单个参量估计 9.3 高斯白噪声中信号多个参量估计
9.4 高斯色噪声中信号参量估计
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第9章 高斯噪声中信号参量估计
9.1 概述
信号参量估计中，接收设备的接收信号 为x(t发) 送设备发
送的信号 s与(t,θ信)道噪声 相加n(，t) 则接收信号模型为