演绎推理《三段论》

（1） 一次函数y kx b(k 0)的图象是一条直线 （大前提）
函数y 2x 5是一次函数 函数y 2x 5的图象是一条直线
（小前提） （结论）
演绎推理（练习）
（2）因为ABC三边长依次为3，4，5，所以ABC 是直角三角形；
（2） 一条边的平方等于其它两条边的平方和的三角形是直角三角形 （大前提）
(4)自然数是整数， －3是整数，
－3是自然数. 推理形式错误
案例分析2：
中国的大学遍布全国各地; 北京大学是中国的大学; 北京大学遍布全国各地.
错误的前提和推理形式可能导致错误的结论；
演绎推理错误的主要原因：
①大前提错误；(大前提不成立) ②小前提错误；(小前提不成立或不符合大前提的条件) ③推理形式错误
4、演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重
要思维过程．但数学结论、证明思路等的发
现，主要靠合情推理．因此，我们不仅要学会 证明，也要学会猜想．
作业：
1.课本84页A组6,B组1;
结论
例4 证明函数 f (x)=－x2＋2 x在(-∞,1)是增函数.
证明：
任取x1 , x2 (,1),且x1 x2 , f ( x1 ) f ( x2 ) ( x12 2 x1 ) ( x22 2 x2 )
( x2 x1 )( x2 x1 2) Q x1 x2 , 所以x2 x1 0; Q x1 , x2 1, 所以x2 x1 2 0. f ( x1 ) f ( x2 ) 0, f ( x1 ) f ( x2 ).
大前提 小前提 结论
3.三角函数都是周期函数,
因为tan 三角函数, 所以是tan 周期函数
大前提 小前提 结论
4.全等的三角形面积相等
大前提
如果三角形ABC与三角形A1B1C1全等,
小前提
那么三角形ABC与三角形A1B1C1面积相等. 结论
动手试试： 用三段论的形式写出下列演绎推理
（1)矩形的对角线相等，正方形是矩形，所以， 正方形的对角线相等。
所以2007不能被2整除. 结论
2.1.2演绎推理
教学目标：
1．了解演绎推理的含义。 2．能正确地运用演绎推理进行简单 的推理。 3．了解合情推理与演绎推理之间的 联系与差别。 教学重点：正确地运用演绎推理、进 行简单的推理。 教学难点：了解合情推理与演绎推理 之间的联系与差别。
案例分析1：
从一般性的原理出发，推出某个特殊情况 下的结论，这种推理称为演绎推理．
一、复习
归纳推理
由部分到整体、特殊到一般的推理; 以观察分析为基础,推测新的结论; 具有发现的功能; 结论不一定成立.
类比推理
由特殊到特殊的推理; 以旧的知识为基础,推测新的结果； 具有发现的功能; 结论不一定成立.
归纳推理和类比推理的过程
从具体问 题出发
观察、分析、 比较、联想
归纳推理
合情推理 类比推理
成等比数列.
T8 T12
T4 T8
3.已知VABC三边长为a, b, c,面积为S,则 VABC内切圆半径r= __2_S________ .
abc
分析：面积法 由12r(a+b+c)=S 2S r=a+b+c
变式：已知VABC三边长为a, b, c,面积为S,则
VABC内切圆半径r= 2S . abc
2、在演绎推理中，前提于结论之间存在着必然的联系， 只要前提和推理形式是正确的，结论必定正确。因此 演绎推理是数学中严格的证明工具。
3、在演绎推理是一种收敛性的思维方法，它较少创造 性，但却具有条理清晰、令人信服的论证作用，有助 于科学论证和系统化。
推理
合情推理
（或然性推理）
演绎推理 （必然性推理）
根据类比推理的方法, 若一个四面体A-BCD四个面的
A
面积分别为S1 , S2 , S3 , S4 ,体积为V， 则四面体的内切球半径
R ______3_V_________ .
S1 S2 S3 S4
O
O
B
D
C
4.
1.已知数列
{an}是等差数
列，则
{a1+a2+n…+an}
是等差数列。若已知数列{bn}(bn>0, n∈N*)是
作为一般性原理的大前提被人们 熟知，是显然的，所以书写时 可以省略不写。
小前提 结论
例4 证明函数 f (x)=－x2＋2 x在(-∞,1)是增函数.
证明：满足对于任意x1 , x2∈D,若x1< x2，有 f(x1) < f(x2)成立的函数f(x) 是区间D上的增函数.
大前提
任取x1 , x2 (,1),且x1 x2 , f ( x1 ) f ( x2 ) ( x12 2 x1 ) ( x22 2 x2 )
试将其恢复成完整的三段论．
解：
大前提 ∵二次函数的图象是一条抛物线,
小前提 函数y = x2 + x + 1是二次函数,
结论
∴函数y = x2 + x + 1的图象是一
条抛物线.
1.所有的金属都能导电,
因为铜是金属, 所以铜能够导电.
大前提 小前提 结论
2.一切奇数都不能被2整除, 因为(2100+1)是奇数, 所以(2100+1)不能被2整除.
垂足.求证AB的中点M到D,E的距离相等.
证明:(1)∵
C ED
在△ABC中,AD⊥BC,即∠ADB=90o 小前提
∴△ABD是直角三角形. 同理△ABE是直角三角形
结论
A
M
B
(2)∵,
M是Rt△ABD斜边AB的中点,DM是斜边上的中线.
∴DM= 1 AB.
2
同理 EM= 1 AB.
2
∴DM = EM.
合情推理的结论需要演绎推理的验证，而演 绎推理的方向和思路一般是通过合情推理获得的
五、回顾小结：
一般 特殊 特殊
特殊 一般 特殊
五、回顾小结：
１、演绎推理概念;
演绎推理的一般模式——三段论.
2 、合情推理与演绎推理的区别与联系.
3、演绎推理错误的主要原因是： ①、大前提不成立；②、小前提不符合大前提的 条件；③推理形式错误
归纳
类比
三段论
(特殊到一般） （特殊到特殊）（一般到特殊）
合情推理与演绎推理的区别
合情推理
归纳推理
类比推理
演绎推理
推理 由部分到整体,个 由特殊到特殊的 由一般到特殊的
形式 别到一般的推理 推理
推理
区
别 推理 结论不一定正确，有待进一 结论 步证明
在前提和推理形 式都正确时,得到 的结论一定正确
联系
1.所有的金属都能导电, 因为铜是金属, 所以铜能够导电.
一般性的原理 特殊情况 结论
大前提 小前提 结论
2.一切奇数都不能被2整除, 一般性的原理
因为2007是奇数,
特殊情况
所以2007不能被2整除. 结论
二、演绎推理的定义 从一般性的原理出发，推出某个特殊
情况下的结论，这种推理称为演绎推理． 注：
ABC的三边长依次为3，4，5，而52 42 32
ABC是直角三角形
（小前提）
（结论）
练习： 分析下列推理是否正确，说明为什么？
(1)自然数是整数， 3是自然数，
大前提错误 (2)整数是自然数，
-3是整数，
3是整数.
-3是自然数.
(3)自然数是整数， -3是自然数，
-3是整数. 小前提错误
小前提 所以f (x) x2 2x在(,1)有f '(x) 0.
由函数的单调性与其导数的关系知：
结论 函数f(x)=-x2+2x在(-∞,1)是增函数。
在应用三段论进行证明时，因为作为一般性道理 的大前提被人们熟知，是显然的，所以书写时可以省 略不写。
例 求证：一个三角形中，最大的角不小于60°。
１．演绎推理是由一般到特殊的推理；
２．“三段论”是演绎推理的一般模式；包 括 ⑴大前提---已知的一般原理(已有的事 实，定义，定理，公理等）； ⑵小前提---所研究的特殊情况； ⑶结论-----据一般原理，对特殊情况做出 的判断．
所有的金属(M)都能够导电(P) M……P
铜(S)是金属(M)
S……M
( x2 x1 )( x2 x1 2) Q x1 x2 , 所以x2 x1 0; Q x1 , x2 1, 所以x2 x1 2 0. f ( x1 ) f ( x2 ) 0, f ( x1 ) f ( x2 ).
小前提
∴函数f (x)=－x2＋2 x在(-∞,1)是增函数.
证明：设△ABC中， ∠ A≤∠B≤∠C， 省略了大前提
则 ∠ A+ ∠B +∠C ≤3∠C
不等式的性质 省略了大前提
即 3∠C≥180 °
三角形内角和是180 °
所以 ∠C≥60 °
思考：证明过程中哪步到哪步是三段论？
三、演绎推理的特点:
1．演绎推理的前提是一般性原理，演绎所得的 的结论是蕴含于前提之中的个别、特殊事实，结 论完全蕴含于前提之中，因此演绎推理是由一般 到特殊的推理；
☆但是
正确的前提和推理形式一定能得到正确的结论！
因而，演绎推理可以作为数学中严格证明的工具 所以，我们主要运用演绎推理来证明数学命题
例3 在锐角三角形ABC中,AD⊥BC, BE⊥AC,D,E是
垂足.求证AB的中点M到D,E的距离相等.
证明:(1)∵有一个内角是直角
的三角形是直角三角形,
大前提
C ED
归纳、 类比
提出 猜想
通俗地说，合情推理是指“合乎情理”的推理.
练习
(直击高考：09浙江文第16题)
设等差数列an的前n项和为Sn ,则S4，S8 S4，
S12 S8，S16 S12成等差数列.类比以上结论：
设等比数列bn的前n项积为Tn ,
则T4，____,
_____,
T16 T12
铜(S)能够导电(P)
S……P
若集合M的所有元素 都具有性质P，S是M 的一个子集，那么S 中所有元素也都具有 性质P。
P SM
三段论的基本格式
M—P（M是P） S—M（S是M） S—P（S是P）
（大前提） （小前提）
（结论）
四例、M1数完成学下运面用的S 推理过程
P
“二次函数y=x2 + x + 1的图象是一条抛物线 .”
小前提
∴函数f (x)=－x2＋2 x在(-∞,1)是增函数.
结论
例大前2：提证：明在函某数个f区(x间)=（-xa2+,2bx）在内(-若∞f,1' ()x是) 增0函，数那。么 证明：因函为数yf=(fx()x)在x这2 个 2区x,间所内以单调递增；
f '(x) 2x 2 2(x 1), 又因为x (,1),即x 1, 所以x 1 0, 从而 2(x 1) 0,即f '(x) 0,
等比数列，类比上述等差数列，则
是
等比数列？
答：数列{ n a1a2…an}是等比数列.
二、新授课：
完成下列推理，它们是合情推理吗？ 它们有什么特点？
1.所有的金属都能导电, 因为铜是金属, 所以铜能够导电.
一般性的原理 特殊情况 结论
2.一切奇数都不能被2整除, 一般性的原理
因为2007是奇数,
特殊情况
每个矩形的对角线相等（大前提） 正方形是矩形（小前题） 正方形的对角线相等（结论）
（2)y＝sinx（x为R）是周期函数。
三角函数是周期函数（大前提） y＝sinx是三角函数（小前题） y＝sinx是周期函数（结论）
演绎推理（练习）
练习3：把下列推理恢复成完全的三段论:
（1）函数y 2x 5的图象是一条直线.
在△ABC中,AD⊥BC,即∠ADB=90o 小前提
∴△ABD是直角三角形. 同理△ABE是直角三角形
结论
A
M
B
(2)∵直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半, 大前提
M是Rt△ABD斜边AB的中点,DM是斜边上的中线. 小前提
ຫໍສະໝຸດ Baidu
∴DM= 1 AB.
2
同理 EM= 1 AB.
2
∴DM = EM.
结论
例3 在锐角三角形ABC中,AD⊥BC, BE⊥AC,D,E是