解析几何：二次曲线的一般理论

2 2
与直线
x x0 Xt y y0 Yt
（2 ）
的交点，可以采用把直线方程（2）代入曲线方 程（1）然后讨论关于t的方程
(a11 X 2a12 XY a22Y )t
2 2 2 2 11 0 2 22 0
2(a11 x0 a12 y0 a13 ) X (a12 x0 a22 y0 a23 )Y t
定义1 有唯一中心的二次曲线叫中心二次曲线， 没有中心的二次曲线叫无心二次曲线，有一条中 心直线的二次曲线叫线心二次曲线，无心二次曲 线和线心二次曲线统称为非中心二次曲线. 定义2 通过二次曲线的中心，而且以渐近方 向为方向的直线叫做二次曲线的渐近线. 定理 二次曲线的渐近线与这二次曲线或者 没有交点，或者整条直线在这二次曲线上成为 二次曲线的组成部分.
2 0. 方程(4)有两个相等的实根 t1与t 2，直线 (2)与二次曲线 (1)有两个相互重合的实交 点.
3 0. 方程(4)有两个共轭的虚根，直 线(2)与 二次曲线交于两个共轭 的虚点 .
2. ( X , Y ) 0，这时又可分三种情况 ：
1 F1 ( x0 , y0 ) X F2 ( x0 , y0 ) Y 0. 此 时(4)是 关 于t的 一 次 方 程 , 直 线( 2)与 二 次 曲 线 (1)有 唯 一 实交点 . 2 F1 ( x0 , y0 ) X F2 ( x0 , y0 ) Y 0. 而

主方向与主直径的求法
a11 a12
即
2
a12 0 a22
②，
I1 I 2 0
③ ，
因此对于中心二次曲线来说，只要由 ②或③解出 ，再代入①就能得到它的主方 向．
二次曲线的渐近线讨论
1)椭圆型曲线：I 2 >0 没有实渐近方向从而没 有实渐近线， （或称有一对共轭相交虚渐近线） 2) 双曲型曲线： I 2 <0 有一对实渐近线 3)抛物型曲线：I 2 ＝0 I 3 ≠ 0曲线没有中心， 从而没有渐近线 I 2 ＝0, I 3 = 0曲线为线心，渐近线 就是中心直线．
0，
另外又有 t
因此，当 I 2
0 即二次曲线为中心曲线时， X , Y 0 ；
当 I 2 0 即有二次曲线为非中心曲线时，
X , Y 0 ，
这就是说，中心二次曲线的非渐近方向的共轭方向仍然是非渐 近方向，而在非中心二次曲线的情形是渐近方向．
由（1）得二次曲线的非渐近方向 X 与它的共轭方向 X : Y 之间的关系
a11x0 x a12 ( x0 y xy0 ) a22 y0 y a13 ( x x0 ) a23 ( y y0 ) a33 0
例1 求二次曲线x2-xy+y2+2x-4y-3=0在点(2,1) 的切线方程 解：因为F(2,1)=4-2+1+4-4-3=0,
且
（3）
(a x 2a12 x0 y0 a y 2a13 x0 2a23 y0 a33 ) 0
( X , Y ) t 2 2F1 ( x0 , y0 ) X F2 ( x0 , y0 ) Y t F ( x0 , y0 ) 0
（4）
对（3）或（4）可分以下几种情况来讨论：
定理 2 中心二次曲线的直径通过曲线的中心， 无心二次曲线的直径平行于曲线的渐近方向，线 心二次曲线的直径只有一条，即曲线的中心直线
例1
x2 y2 求椭圆或双曲线 a 2 b 2 1 的直径．
例2
求抛物线
y 2 px 的直径．
2
共轭方向与共轭直径
中心二次曲线的非渐近方向的共轭方向仍 然是非渐近方向，而在非中心二次曲线的情形 是渐近方向. 定义 中心曲线的一对具有相互共轭方向的 直径叫做一对共轭直径.
a11 I 3 a12 a13
a11 K1 a13
a12 a22 a23
a13 a23 a33
a23 a33
a13 a22 a33 a23
二次曲线与直线的相关位置
讨论二次曲线
F ( x, y) a11x 2a12 xy a22 y 2a13 x 2a23 y a33（1）
F ( x 0 , y 0 ) 0. ( 4 ) 是 矛 盾 方 程 , 直 线( 2)与 二 次 曲 线 (1)无 交 点 .
3 F1 ( x0 , y0 ) X F2 ( x0 , y0 ) Y F ( x0 , y0 ) 0. 此时(4)是恒等式 , 直线(2)全部在二次曲线 (1)上.
二次曲线的渐近方向
定义满足条件Φ(X,Y)=0的方向X:Y叫做二次 曲线的渐近方向，否则叫做非渐近方向. 定义 没有实渐近方向的二次曲线叫做椭圆 型的，有一个实渐近方向的二次曲线叫做抛物 线型的，有两个实渐近方向的二次曲线叫做双 曲型的. 1)椭圆型：I2>0 2)抛物型： I2＝0
3)双曲型： I2<0
F1(2,1)=5/2≠0, F
2
(2,1)=-2 ≠0
所以(2,1)是二次曲线上的正常点，因此得在
点(2,1)的切线方程为： 5/2 (x-2)-2(y-1)=0 即：5x-4y-6=0
二次曲线的直径
定理1 二次曲线的一族平行弦的中点轨迹是 一条直线. 定义 二次曲线的平行弦中点轨迹叫做这个 二次曲线的直径，它所对应的平行弦，叫做共轭 于这条直径的共轭弦；而直径也叫做共轭于平行 弦方向的直径. 推论 二次曲线的一族平行弦的斜率为k， 那么共轭于这族平行弦直径方程为 F1(x,y)+kF2(x,y)=0
解析几何
第五章 二次曲线的一般理论
二次曲线的一般理论
在平面上，由二元二次方程
a11x 2a12 xy a22 y 2a13 x 2a23 y a33 0
2 2
所表示的曲线，叫做二次曲线。在这一章里，我 们将讨论二次曲线的几何性质，以及二次曲线的 化简，最后对二次曲线进行分类。
为了方便起见，特引进一些记号：
F ( x, y) a11 x 2a12 xy a22 y 2a13 x 2a23 y a33
2 2
F2 ( x, y) a12 x a22 y a23
2
F1 ( x, y) a11 x a12 y a13
F3 ( x, y) a13 x a23 y a33
a11 a12 a13 当 时， (5.2 2)无 解 ， 没 有 中 心 . a12 a22 a23 a11 a12 a13 当 时， (5.2 2)无 数 多 解 ， 直 线 上 所 有 a12 a22 a23
点 都 是 二 次 曲 线 的 中， 心 这 条 直 线 叫 中 心 直.线
命题：任一二次曲线至多有二渐近方向，具体地
I （i）当 2 = a
a11 a12
21
a 22 >0 时，曲线有二共轭复渐近方向；
I （ii）当 2 <0 时，曲线有二不同实渐近方向； I （iii）当 2 =0 时，曲线有二相同实渐近方向．
定义 2 没有实渐近方向的二次曲线叫做椭圆型的， 有一个实渐近主向的二次曲线叫做抛物型的，有两个实 渐近方向的二次曲线叫做双曲型的．
:Y
a11 XX a12 XY X Y a22YY 0
上式表明，两个方向 X : Y 与 X : Y 是对称的， 因此，对中心曲线来说，非渐近方向 为非渐近方向 X : Y ， 而 X : Y 的共轭方向就是 X : Y ．
X : Y 的共轭方向
x2 y 2 1 而双曲线 a 2 b2 的一对共轭直径的斜率
k
b kk 2 k 与 有着关系 a
2
．
二次曲线的主直径与主方向

定义1 二次曲线的垂直于其共轭弦的直径叫做二 次曲线的主直径，主直径的方向与垂直于主直径 的方向都叫做二次曲线的主方向．
显然，主直径是二次曲线的对称轴，因此主直径 也叫做二次曲线的轴，轴与曲线的交点叫做曲线 的顶点．
1. ( X , Y ) 0. 此 时(4)是 关 于 t的 二 次 方 程 , F1 ( x0 , y0 ) X F2 ( x0 , y0 ) Y ( X , Y ) F ( x0 , y0 )
2
1 0. 方程(4)有两个不等的实根 t1与t 2，代入 (2)得直线 (2)与二次曲线 (1)的两个不同的实交点 .
(5.2 1)
推论 坐标原点是二次曲线的中心，其充要条 件是曲线方程里不含x与y的一次项.
二次曲线(1)的的中心坐标由下方程组决定： F1 ( x, y) a11x a12 y a13 0 (5.2 2) F2 ( x, y) a12 x a22 y a23 0 如果I2≠0，则(5.2－2)有唯一解，即为唯一中心 坐标 如果I2＝0，分两种情况：
简称奇点；二次曲线的非奇异点叫做二次曲线的 正常点.
定理1 如果(x0,y0)是二次曲线(1)的正常点， 那么通过(x0,y0)的切线方程是 (x-x0)F1(x0,y0)+(y-y0)F2(x0,y0)=0， (x0,y0)是它的切点. 如果(x0,y0)是二次曲线(1)的 奇异点，那么通过(x0,y0)的切线不确定，或者说过 点(x0,y0)的每一条直线都是二次曲线(1)的切线. 推论 如果(x0,y0)是二次曲线(1)的正常点， 那么通过(x0,y0)的切线方程是：
定义 2 中心曲线的一对具有相互共轭方 向的直径叫做一对共轭直径． 设
Y Y k k X ， X ，
则
a22kk a12 k k a11 0
x2 y 2 1 如椭圆 a 2 b2 的一对共轭直径的斜率
k
与 k
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b2 kk 2 有着关系 a ，
2 2 2
2a12 a12 X a22Y a11 X a12Y t a11a22 a a22 a11 X a12Y t
2 2 12 2
a
2
11
X 2a12 XY a22Y
2
2
t
2
I 2 X , Y t

因为
X : Y 为非渐近方向，所以 X , Y 0 ，
共轭方向与共轭直径 二次曲线的与非渐近方向 X : Y 共轭的 直径方向
X : Y a12 X a22Y : a11 X a12Y
（1 ） 叫做非渐近方向 X : Y 的共轭方向，所 以有
X a12 X a22Y t
，
X , Y a11 a12 X a22Y t
( x, y) a11 x 2a12 xy a22 y
a11 a12 a13 A a12 a22 a23 a a a 13 23 33
*
2
a11 A a 12
a12 a22
I1 a11 a12
I2 a11 a12 a12 a22
二次曲线的中心与渐近线
定义 如果点C是二次曲线的通过它的所有弦 的中点(C是二次曲线的对称中心)，那么点C叫做 二次曲线的中心. 定理 点C(x0 ,y0)是二次曲线(1)的中心，其充 要条件是：
F1 ( x0 , y0 ) a11x0 a12 y0 a13 0 F2 ( x0 , y0 ) a12 x0 a22 y0 a23 0
二次曲线的切线
定义1 如果直线与二次曲线相交于相互重合的 两个点，那么这条直线就叫做二次曲线的切线，这 个重合的交点叫做切点，如果直线全部在二次曲线 上，我们也称它为二次曲线的切线，直线上的每个 点都可以看作切点. 定义2 二次曲线(1)上满足条件F1(x0,y0)=0
F2(x0,y0)=0的点(x0,y0)叫做二次曲线的奇异点，