有限元插值函数总结.

1
ξ
2
…
若坐标原点取在 中心，则H1(0)等 的形式要做相应 调整
对应的插值函数： N1 = H1(0) (ξ ) H1(0) (η ) N3 = H1(0) (ξ ) H1(1) (η )
(0) N5 = H 2 (ξ ) H1(0) (η )
N 2 = H1(1) (ξ ) H1(0) (η ) N 4 = H1(1) (ξ ) H1(1) (η ) …
4.1 概述
• 本章主要讨论C0型单 元，不考虑C1型单元 （梁除外）； • 对等参元（等参数单 元）而言，插值函数 等同于形函数 • 完全多项式：Pascal 三角形
1 x x2 x3 x4 x3y x2y x2y2 xy xy2 xy3 y y2
完全一次 完全二次
y3 完全三次 y4
• 插值函数的一般要求（对协调元而言）
– Ni(xj,yj,zj)=δij – 保证连续性，即协调性 – 完备性，对C0单元，要求包含任意线性项 – ∑Ni=1 →保证刚体平动(但不保证能描述常应变 状态)
4.2 Hermite单元簇
（可以要求导数连续）
1. 一维Hermite单元簇
ξ
φ (ξ ) = ∑ H 场函数：
i =1
2 ξ＝1
(1) 1
一维Hermite多项式
上述多项式在两端保持一阶导数连续，此Hermite多项式 成为一阶Hermite多项式。同理可构造n阶Hermite多项式， n阶Hermite多项式为ξ的2n+1次多项式。例如2阶Hermite 多项式可表示为： 2 2 2 dφ d 2φ (0) (1) (2) φ (ξ ) = ∑ H i (ξ )φi + ∑ H i (ξ )( )i + ∑ H i (ξ )( 2 )i dξ dξ i =1 i =1 i =1
其中 H1(0) (ξ1 ) = 1 d 2 H1(2) dξ 2 =1
ξ1
(0) dH 1 H1(0) (ξ 2 )， dξ
ξ1 ,ξ2
d 2 H1(0) ， dξ 2
=0
ξ1 ,ξ2
(2) dH 1 H1(2) (ξ1 ) = H1(2) (ξ2 ) = dξ
ξ1 ,ξ2
d 2 H1(2) = dξ 2
ξ
-1
1
ξ
-1
ξ
1 -1 1
ξ
则： 1 3 H (ξ ) = (ξ − 3ξ + 2) 4 1 (0) H2 (ξ ) = (−ξ 3 + 3ξ + 2) 4
(0) 1
1 3 H (ξ ) = (ξ − ξ 2 − ξ + 1) 4 1 (1) H2 (ξ ) = (ξ 3 + ξ 2 − ξ − 1) 4
∑l
k =0
n
n k
(ξ ) = 1
why ?
φ = ∑ lkn (ξ )φk
k =0
n
2. 二维Lagrange多项式
对所有的点沿着两个方向编号，设第i个点对应的编号为 (I,J)，其对应的插值函数为： N i ≡ N IJ = lIn (ξ )lJm (η )
1 (0,m) (I,J) (n,m) 1
(0) N3 = H 2 (ξ ) = 3ξ 2 − 2ξ 3 (1) N4 = H 2 (ξ ) = −ξ 2 + ξ 3
( N1 + N 2 + N 3 + N 4 ≠ 1) 但 N1 + N 3 = 1
若坐标系放在中心!
H1(0) ξ H1(1) H2(0) H2(1)
1 ξ=－1
2 ξ＝+1 -1 1
Leabharlann Baidu
2
(0) i
(ξ )φi + ∑ H i(1) (ξ )(
i =1 4
2
dφ )i dξ
1 ξ=0
or Q1 = φ1
φ (ξ ) = ∑ N i Qi
i =1
Q2 = φ2
Q3 = (
dφ )1 dξ
Q4 = (
dφ )2 dξ
H i(0) (ξ j ) = δ ij H i(1) (ξ j ) = 0
η (0,0) ξ (n,0)
几种常用的Lagrange单元：
线性
二次
三次
1
若m=n，其对应 的Pascal三角形 为菱形：
x4 x5
x x2 x3 x3y x4y x2y x2y2 x3y2 xy
y y2 xy2 xy3 xy4 y3 y4 y5
dH i(0) (ξ ) =0 dξ ξ
j
dH i(1) (ξ ) = δ ij dξ ξ
j
H1(0)
H1(1)
H2(0)
H2(1)
0
1
ξ
0
1
ξ
0
ξ
1 0 1
ξ
(0) (1) H1(0)、H1(1)、H 2 、H 2 各有四个方程，可以确定为三次多项式
N1 = H1(0) (ξ ) = 1 − 3ξ 2 + 2ξ 3 N 2 = H1(1) (ξ ) = ξ − 2ξ 2 + ξ 3
第3部分 数值离散中的插值方法
内容
• 基于单元 基于单元（ （传统） 传统）的插值方法 • 基于单元的新型插值方法
• 四边形面积坐标 • B网方法
• 基于离散点的插值方法
– 移动最小二乘MLS – PIM – 多节点Lagrange插值 – ……
第4章 基于单元(传统)的插值方法
• • • • • • 概述 Hermite单元簇 Lagrange单元簇 Serendipity单元簇 三角形单元簇 三维单元的插值函数
=0
ξ2
厖
2. 二维Hermite多项式
可以通过一维Hermite多项式构造二维Hermite多项式 （一个节点4个自由度）：
3 η 4
Q1 = φ1 Q5 = φ2
∂φ Q2 = ∂ξ 1 … …
∂φ Q3 = ∂η 1 … …
∂ 2φ Q4 = ∂ ∂ ξ η 1 ∂ 2φ Q8 = ∂ ∂ ξ η 2 Q16 = …
(1) N8 = H 2 (ξ ) H1(1) (η )
…
…
4.3 Lagrange单元簇
1. 一维Lagrange多项式
ξ
ξ0
ξ1
ξ2
ξn
第k点对应的插值函数： (ξ − ξ 0 )(ξ − ξ1 )⋯ (ξ − ξ k −1 )(ξ − ξ k +1 )⋯ (ξ − ξ n ) N k = lkn (ξ ) = (ξ k − ξ 0 )(ξ k − ξ1 )⋯ (ξ k − ξ k −1 )(ξ k − ξ k +1 )⋯ (ξ k − ξ n ) k = 0,1,⋯ , n 显然满足δij的性质， n + 1个节点，n次多项式