三阶行列式与线性方程组

由此可得： 由此可得： 推论： 推论：线性方程组
a11 x1 + a12 x 2 + L + a1 n x n = 0 a x + a x + La x = 0 21 1 22 2 2n n LL a n 1 x1 + a n 2 x 2 + L a n n x n = 0
最多有n-1 个互ห้องสมุดไป่ตู้的根。 个互异的根。 最多有
n −1
(k n−1 ≠ 0)
证明：反证法，利用 证明：反证法，利用Vandermonde 行列 式。
的系数行列式
a11 D= a 21 a n1
a12 a 22 L
L a1n L a2n ≠0, L
a n 2 L a nn
则方程组有唯一解，且其解为： 则方程组有唯一解，且其解为：
xj =
Dj D
, j = 1,2, L, n 。 其中D 其中 j为把系
数行列式D中第 j 列元素用方程组右 数行列式D中第 端常数项代替而得到的n 阶行列式。 端常数项代替而得到的 阶行列式。
Dj D , j = 1,2,L , n 。
4：Cramer 法则用于解方程组时，计算 ： 法则用于解方程组时， 量很大。 量很大。法则更重要的意义在于理 论方面。 论方面。
特殊情形： 特殊情形： 当上述方程组中的常数项为0时 当上述方程组中的常数项为 时， 称为齐次线性方程组。 称为齐次线性方程组。 观察1：齐次线性方程组一定有解； 观察 ：齐次线性方程组一定有解； 观察2： 法则， 观察 ：由Cramer法则，当齐次线性方 法则 程组的变量个数与方程个数相同时， 程组的变量个数与方程个数相同时， 若系数行列式为0，则它仅有零解； 若系数行列式为 ，则它仅有零解；
有非零解的必要条件是系数行列式 D=0。 。
Remarks: 1、这里自然只针对变量个数 、 与方程个数相同的情形。 与方程个数相同的情形。 2、这里的结论是必要条件， 、这里的结论是必要条件， 但以后可以证明这也是充 分条件。 分条件。
例：证明 n-1 项多项式
f ( x ) = k 0 + k1 x + L + k n −1 x
Remarks: 1：这里所说的方程组必须 ： 是变量个数与方程组个 数相同的。 数相同的。 2：当系数行列式为零，或 ：当系数行列式为零， 者变量个数与方程个数 不等时， 不等时，这里均没有讨 论其解的问题。 论其解的问题。
3：当 D ：
≠ 0时，方程组可以有三个结
论： 有解。 有解。 唯一解。 唯一解。 解的形式为 x j =
§1.5
Cramer法则
二阶、 二阶、三阶行列式与线性方程组 的关系可以推广到一般情形。 的关系可以推广到一般情形。
Cramer法则： 法则： 法则 设线性方程组
a11 x1 + a12 x2 + L + a1n xn = b1 a x + a x + L + a x = b 21 1 22 2 2n n 2 LL an1 x1 + an 2 x2 + L + an n xn = bn