自回归滑动平均模型课件
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，比一阶时小多了
平稳序列时序图
非平稳序列时序图
ARMA(1,1)，MA(1)
对ARMA(2,1)， 若
则
→ ARMA(1,1)
若
则
→ MA(1)
ARMA(2,1)适用性检查：
① 是否为白噪声： 方法同前： ，
②过拟合检验 再建立多阶模型ARMA(3,2)
若 ， 都接近0，且其置信区间包含0，则认为
有
当
时，展开
即 可化为 的线性组合
于是：
的均值：
所以
（算子定义）
② 的方差：
3.模型适用检查
模型建立之后，要进行适用性检查，最根本 的是检查 是否为白噪声
对
检查两方面：
（1） 是否与
无关
即计算 的自相关函数：
若 很小，则合格，
不用算了。
（2） 是否与
无关
若
很小时，则认为无关。
例：
所以建模为： 计算残差：
存在关系：
这反映： ①在同一t时刻，两个随机变量之间的相关性与时间无关，是
静态的 ②在t时刻 回归到
现若一个时间序列 以 ， 组成数据对：
也存在相关关系：
则①此式反映同一随机变量在不同时刻的相关性。
这种相关性与时间有关（t→t-1）,因此是一种动态模型
②此种回归是 示为：
回归到
本身，称为自回归，因此表
ARMA(2,1)是适用的。
③检查残差的平方和S是否显著减小 对于ARMA(2,1)
方差
若S(2,1)比S(1)显著减小，ARMA(2,1)适用 若S(3,2)比S(2,1)无显著减小，ARMA(2,1)适用
ARMA(n,m)模型
对于系统分析，AR的阶数总比MA的阶数高。 取ARMA(n,n-1)：
特性： ①是一阶线性自回归， 与 之间存在线性关系 ② 为白噪声（0均值，自协方差=方差） ③ 模型以差分方程形式描述
2.参数估计 仍可沿用最小二乘法进行参数估计：
残差
对于平稳序列，应满足：
对式
的讨论：
因为 ①是一个一阶自相关的平稳时间序列
②是一个彼此独立的白噪声
所以 AR(1)模型可以看作把一相关序列化为独立序列 的装置，或称“白噪声”装置，引入B算子：
得：
方差： 适用性检查：
（较大）
预报分析
AR(1)的物理意义
随机过程
分为两部分：①确定性部分 ②随机部分
由控制论：一阶线性系统，当输入为 时，其差分方程：
当 为白噪声时： 即AR(1)模型描述了一个以
即为AR(1)模型 为输入， 为输出的系统：
B为后移算子
随机游动
当
则
即
一次预报： 由：
，表明系统有很强的惯性.
时，称为中心化 模型
自回归系数多项式
• 引进延迟算子，中心化 简记为
模型又可以
• 自回归系数多项式
ARMA模型
• AR模型（Auto Regression Model） • MA模型（Moving Average Model） • ARMA模型（Auto Regression Moving
Average model）
自回归滑动平均模型课 件
2020年4月29日星期三
采用一条直线描述
的关系：
－ 截距 － 斜率 但实际存在误差： ε－ 残差
，使最佳
目的是寻求求
寻优常用最小二乘法进行估计（LSE） 目标使误差的平方和最小 设:
则
其中
于是得该时间序列的线性回归方程：
即：
其中 ， ， 为 位置，则为：
的均值，若使坐标平移至均值
AR(1)模型
在 实测的情况下，只能观测到系统的一组时间序列
对这样的Data作回归分析只能对时间 t 回归
这要求 中多元彼此无关，但实际上序列
中存在这相关关系
如开口量
较大，则个序列各元素之间的相关性 。
AR(1)模型 与 相关
在一元线性回归中，两组观测数据：
多元回归模型
寻求最优 ，采用最小二乘法：
由于 是白噪声，无法求出真值，只能得到其估计值， 对于一元回归： 对于多元回归，其估计值为：
若 为正态分布，则 也为正态分布，真值95%的概率在 范围：
结论： 回归分析是建立在因果关系的两列（一元回归）或 多
列（多元回归）随机过程的相关的基础上，只有观测到所 有的序列才能进行回归模型。其残差为白噪声。回归可用 来预报。
此时
这说明 是一个独立的随机变量之和，即序
列
中的各值是由前一个值再加上一个任意
的随机值，故称之为随机游动模型。
作业
• 采用多元模型对所给数据进行预测分析 • 对所给数据采用一列数据建立AR(1)模型，
并检验
AR模型的定义
• 具有如下结构的模型称为 阶自回归模 型，简记为
• 特别当
白噪声
(对中心化AR)
ARMA(2,1)模型
由太阳黑子序列（1749－1924）建立AR(1)模型：
检查
值较大， 不是白噪声。
与
， 也相关：
代入原AR(1)：
即：
自回归部分 滑动平均部分 此称之为ARMA（2，1） 自回归为二阶，滑动平均为一阶
AR(2)模型
若
，则
AR(2)建模比ARMA(2,1)容易：
即：
最小二乘法解： 例：太阳黑子：
即：
例题1：
已知AR(1)模型，
， 的95%置信区
间为（15.5，9.5），求模型的 ，
解：
例题2
有一时间序列： 建立AR(2)，一步预报 解：
原序列减均值
（注：今后不作说明，则皆为去均值的时序）
其中 残差的方差：
模型适用性 检查： 若建立的模型正确的，则残差为白噪声，满足： （1）均值为0 （2）协方差为：
表示为：
例：根据data建回归模型： 解：
所以模型为 所以
多元回归模型
多元线性回归，例如压力和温度，浓度等几 个因素有关，则：
t 取不同值有
平稳序列时序图
非平稳序列时序图
ARMA(1,1)，MA(1)
对ARMA(2,1)， 若
则
→ ARMA(1,1)
若
则
→ MA(1)
ARMA(2,1)适用性检查：
① 是否为白噪声： 方法同前： ，
②过拟合检验 再建立多阶模型ARMA(3,2)
若 ， 都接近0，且其置信区间包含0，则认为
有
当
时，展开
即 可化为 的线性组合
于是：
的均值：
所以
（算子定义）
② 的方差：
3.模型适用检查
模型建立之后，要进行适用性检查，最根本 的是检查 是否为白噪声
对
检查两方面：
（1） 是否与
无关
即计算 的自相关函数：
若 很小，则合格，
不用算了。
（2） 是否与
无关
若
很小时，则认为无关。
例：
所以建模为： 计算残差：
存在关系：
这反映： ①在同一t时刻，两个随机变量之间的相关性与时间无关，是
静态的 ②在t时刻 回归到
现若一个时间序列 以 ， 组成数据对：
也存在相关关系：
则①此式反映同一随机变量在不同时刻的相关性。
这种相关性与时间有关（t→t-1）,因此是一种动态模型
②此种回归是 示为：
回归到
本身，称为自回归，因此表
ARMA(2,1)是适用的。
③检查残差的平方和S是否显著减小 对于ARMA(2,1)
方差
若S(2,1)比S(1)显著减小，ARMA(2,1)适用 若S(3,2)比S(2,1)无显著减小，ARMA(2,1)适用
ARMA(n,m)模型
对于系统分析，AR的阶数总比MA的阶数高。 取ARMA(n,n-1)：
特性： ①是一阶线性自回归， 与 之间存在线性关系 ② 为白噪声（0均值，自协方差=方差） ③ 模型以差分方程形式描述
2.参数估计 仍可沿用最小二乘法进行参数估计：
残差
对于平稳序列，应满足：
对式
的讨论：
因为 ①是一个一阶自相关的平稳时间序列
②是一个彼此独立的白噪声
所以 AR(1)模型可以看作把一相关序列化为独立序列 的装置，或称“白噪声”装置，引入B算子：
得：
方差： 适用性检查：
（较大）
预报分析
AR(1)的物理意义
随机过程
分为两部分：①确定性部分 ②随机部分
由控制论：一阶线性系统，当输入为 时，其差分方程：
当 为白噪声时： 即AR(1)模型描述了一个以
即为AR(1)模型 为输入， 为输出的系统：
B为后移算子
随机游动
当
则
即
一次预报： 由：
，表明系统有很强的惯性.
时，称为中心化 模型
自回归系数多项式
• 引进延迟算子，中心化 简记为
模型又可以
• 自回归系数多项式
ARMA模型
• AR模型（Auto Regression Model） • MA模型（Moving Average Model） • ARMA模型（Auto Regression Moving
Average model）
自回归滑动平均模型课 件
2020年4月29日星期三
采用一条直线描述
的关系：
－ 截距 － 斜率 但实际存在误差： ε－ 残差
，使最佳
目的是寻求求
寻优常用最小二乘法进行估计（LSE） 目标使误差的平方和最小 设:
则
其中
于是得该时间序列的线性回归方程：
即：
其中 ， ， 为 位置，则为：
的均值，若使坐标平移至均值
AR(1)模型
在 实测的情况下，只能观测到系统的一组时间序列
对这样的Data作回归分析只能对时间 t 回归
这要求 中多元彼此无关，但实际上序列
中存在这相关关系
如开口量
较大，则个序列各元素之间的相关性 。
AR(1)模型 与 相关
在一元线性回归中，两组观测数据：
多元回归模型
寻求最优 ，采用最小二乘法：
由于 是白噪声，无法求出真值，只能得到其估计值， 对于一元回归： 对于多元回归，其估计值为：
若 为正态分布，则 也为正态分布，真值95%的概率在 范围：
结论： 回归分析是建立在因果关系的两列（一元回归）或 多
列（多元回归）随机过程的相关的基础上，只有观测到所 有的序列才能进行回归模型。其残差为白噪声。回归可用 来预报。
此时
这说明 是一个独立的随机变量之和，即序
列
中的各值是由前一个值再加上一个任意
的随机值，故称之为随机游动模型。
作业
• 采用多元模型对所给数据进行预测分析 • 对所给数据采用一列数据建立AR(1)模型，
并检验
AR模型的定义
• 具有如下结构的模型称为 阶自回归模 型，简记为
• 特别当
白噪声
(对中心化AR)
ARMA(2,1)模型
由太阳黑子序列（1749－1924）建立AR(1)模型：
检查
值较大， 不是白噪声。
与
， 也相关：
代入原AR(1)：
即：
自回归部分 滑动平均部分 此称之为ARMA（2，1） 自回归为二阶，滑动平均为一阶
AR(2)模型
若
，则
AR(2)建模比ARMA(2,1)容易：
即：
最小二乘法解： 例：太阳黑子：
即：
例题1：
已知AR(1)模型，
， 的95%置信区
间为（15.5，9.5），求模型的 ，
解：
例题2
有一时间序列： 建立AR(2)，一步预报 解：
原序列减均值
（注：今后不作说明，则皆为去均值的时序）
其中 残差的方差：
模型适用性 检查： 若建立的模型正确的，则残差为白噪声，满足： （1）均值为0 （2）协方差为：
表示为：
例：根据data建回归模型： 解：
所以模型为 所以
多元回归模型
多元线性回归，例如压力和温度，浓度等几 个因素有关，则：
t 取不同值有