[工学]第一章 张量分析初步
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第一章 张量分析初步
第一章 张量分析初步
本章学习目的 引入最基本的张量概念，为今后学习应变张量、 应力张量、广义虎克定律和弹性波方程等专业概 念及运算做准备。是本门课的数学基础。 ? 1 已学习过的物理量
标量？ 向量？
a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 a 21 x1 a 22 x2 a23 x3 b2 a31 x1 a32 x2 a33 x3 b3
原直角坐标系下的向量 op xi yj zk 在新直角坐标系中可表示为 op x1e1 x2e2 x3e3
Hale Waihona Puke Baidu
向量的指标记号
书写成求和的方式：
3 op xi ei
i 1
为了不每次都书写求和符号，简化书写做如下约定： 如果在数学表达式内的任一项中，有某个指标重复 出现一次(出现两次)，就表示对该指标在其取值范 围内取一切值，并对对应项进行求和。 如果重复出现多于一次(出现两次以上)，因为没有 进行定义，所以没有意义，！ 则向量OP在新坐标系内可写为
X2
X1
再对上述代换结果进行简写P点改写为： P(x1,x2,x3)P(xi, i=1,2,3)P(xi) 基向量：ei, i=1,2,3 ei 则称上述字母i为指标，i的取值i=1,2,3为指标i的取值 范围，使用上述指标简写表达式的方式称为指标记号。 注意：指标记号只是一种人为规定的简写方式，是一 种约定俗成，如同结绳记事，并不是什么高深的东西。
则前述方程组也可用求和约定进行表达
aij x j bi , i, j 1,2,3
上式中i和j有何不同?
在每一项中i只出现了1次，j出现了2次，表示求和的只 有j指标。i？j？
哑批标：在同一项中重复出现一次(即出现两次)、从 而对其应用求和约定的指标称为哑指标。 如上式中的j 指标。 自由指标：同一项中不重复出现(即只出现一次)，因 而不约定求和的指标称为自由指标。如上式中的i指标。
ai b j ck
c)
ai b j ci
ai b j c j
d)
自由指标的个数决定简写方程代表的实际方程的个数， 可用3n次方来求代表的方程数；此时n为自由指标的 个数； 哑指标的个数决定了该项所代表的实际求和项的项数， 可用3n次方来求代表的方程数；此时n为哑指标的个 数；
如果研究的问题是二维问题，而不是三维问题， 如何使用指标记号？
P(x,y) P(x1,x2)P(x, =1,2) 向量OP表示为：OP=x1e1+x2e2 求和表示为： 2 OP x e , 1,2
1 OP x e , 1,2
可否将上式表示成如下形式？
aij x j bk
aij x j b j
指标记号的特点：
a)
哑指标只是表示约定求和，与用什么字母表示无关；
Aij x j bi , i, j 1,2,3
Aim xm bi , i, m 1,2,3
b)
在同一表达式中，每一项必须出现相同的自由指标；
1 0 0 ij 0 1 0 0 0 1
O
y
并两两正交——垂直 x 坐标轴代号x, y, z可否用别的符号进行代换呢？ X3 用xx1, yx2, zx3 P(x1, x2, x3) 则P (x, y, z)P(x1,x2,x3) O 基向量同样可以做如下代换：
i e1, j e2 , k e3
例题
Qii, S展开？ 步骤：分析i,指标类型？字母类型？再展开 2. 写出a=Aijbicj的展开式。
1. 3. 4.
5.
写出 ti ji n j 的展开式。 写出 bik b jk ij 的展开式。 u j 的展开式。 ?写出 1 ui
eij
6.
1 ?写出 w 2 ij eij 的展开式。
2
有了标量和向量是否足够描述自然现象？
如何用一个最简单 的式子来表示？
用矩阵？ 还有更简单的表示方法吗? aij x j bi 可总结为： aij, xj, bi是些什么量？
§1.1 指标记号及两个特殊符号
指标记号
空间有个坐标系OXYZ，P (x, y, z)是其中的一点，坐 z 标为：x, y ,z P(x, y, z) 直角坐标系中的基向量：
2 x j
(
xi
)
两个特殊符号
两个特殊符号
为书写的方便，可以使用kronecker符号和排列符号简化书 写。
kronecker符号
定义
1 i j ij 0 i j
11 22 33 1 12 21 13 31 23 32 0
op xi ei , i 1,2,3 op xi ei , i 1,2,3
提示: 求和约定同样是人为规定，就像“+”两边的数 要相加一样，仅仅是因为创造此记号法的人这么规定 而已 ，没有什么神秘的地方！ 谁创造了求和约定? Einstein (爱因斯坦)
a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 a 21 x1 a 22 x2 a 23 x3 b2 a31 x1 a32 x2 a33 x3 b3
P
O
每次还要书写取值范围，太烦！对取值范围进行 约定：
用拉丁字母(i, j, k等)书写的指标其取值范围是1,2,3； 用希腊字母(,b等)书写的指标其取值范围是1,2。
op xi ei
Aij x j bi
op x e
用希腊字母表示的自由指标的个数决定简写方程代表 的实际方程的个数，可用2n次方来求代表的方程数； 用希腊字母表示的哑指标的个数决定了该项所代表的 实际求和项的项数，可用2n次方来求代表的项数；
第一章 张量分析初步
本章学习目的 引入最基本的张量概念，为今后学习应变张量、 应力张量、广义虎克定律和弹性波方程等专业概 念及运算做准备。是本门课的数学基础。 ? 1 已学习过的物理量
标量？ 向量？
a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 a 21 x1 a 22 x2 a23 x3 b2 a31 x1 a32 x2 a33 x3 b3
原直角坐标系下的向量 op xi yj zk 在新直角坐标系中可表示为 op x1e1 x2e2 x3e3
Hale Waihona Puke Baidu
向量的指标记号
书写成求和的方式：
3 op xi ei
i 1
为了不每次都书写求和符号，简化书写做如下约定： 如果在数学表达式内的任一项中，有某个指标重复 出现一次(出现两次)，就表示对该指标在其取值范 围内取一切值，并对对应项进行求和。 如果重复出现多于一次(出现两次以上)，因为没有 进行定义，所以没有意义，！ 则向量OP在新坐标系内可写为
X2
X1
再对上述代换结果进行简写P点改写为： P(x1,x2,x3)P(xi, i=1,2,3)P(xi) 基向量：ei, i=1,2,3 ei 则称上述字母i为指标，i的取值i=1,2,3为指标i的取值 范围，使用上述指标简写表达式的方式称为指标记号。 注意：指标记号只是一种人为规定的简写方式，是一 种约定俗成，如同结绳记事，并不是什么高深的东西。
则前述方程组也可用求和约定进行表达
aij x j bi , i, j 1,2,3
上式中i和j有何不同?
在每一项中i只出现了1次，j出现了2次，表示求和的只 有j指标。i？j？
哑批标：在同一项中重复出现一次(即出现两次)、从 而对其应用求和约定的指标称为哑指标。 如上式中的j 指标。 自由指标：同一项中不重复出现(即只出现一次)，因 而不约定求和的指标称为自由指标。如上式中的i指标。
ai b j ck
c)
ai b j ci
ai b j c j
d)
自由指标的个数决定简写方程代表的实际方程的个数， 可用3n次方来求代表的方程数；此时n为自由指标的 个数； 哑指标的个数决定了该项所代表的实际求和项的项数， 可用3n次方来求代表的方程数；此时n为哑指标的个 数；
如果研究的问题是二维问题，而不是三维问题， 如何使用指标记号？
P(x,y) P(x1,x2)P(x, =1,2) 向量OP表示为：OP=x1e1+x2e2 求和表示为： 2 OP x e , 1,2
1 OP x e , 1,2
可否将上式表示成如下形式？
aij x j bk
aij x j b j
指标记号的特点：
a)
哑指标只是表示约定求和，与用什么字母表示无关；
Aij x j bi , i, j 1,2,3
Aim xm bi , i, m 1,2,3
b)
在同一表达式中，每一项必须出现相同的自由指标；
1 0 0 ij 0 1 0 0 0 1
O
y
并两两正交——垂直 x 坐标轴代号x, y, z可否用别的符号进行代换呢？ X3 用xx1, yx2, zx3 P(x1, x2, x3) 则P (x, y, z)P(x1,x2,x3) O 基向量同样可以做如下代换：
i e1, j e2 , k e3
例题
Qii, S展开？ 步骤：分析i,指标类型？字母类型？再展开 2. 写出a=Aijbicj的展开式。
1. 3. 4.
5.
写出 ti ji n j 的展开式。 写出 bik b jk ij 的展开式。 u j 的展开式。 ?写出 1 ui
eij
6.
1 ?写出 w 2 ij eij 的展开式。
2
有了标量和向量是否足够描述自然现象？
如何用一个最简单 的式子来表示？
用矩阵？ 还有更简单的表示方法吗? aij x j bi 可总结为： aij, xj, bi是些什么量？
§1.1 指标记号及两个特殊符号
指标记号
空间有个坐标系OXYZ，P (x, y, z)是其中的一点，坐 z 标为：x, y ,z P(x, y, z) 直角坐标系中的基向量：
2 x j
(
xi
)
两个特殊符号
两个特殊符号
为书写的方便，可以使用kronecker符号和排列符号简化书 写。
kronecker符号
定义
1 i j ij 0 i j
11 22 33 1 12 21 13 31 23 32 0
op xi ei , i 1,2,3 op xi ei , i 1,2,3
提示: 求和约定同样是人为规定，就像“+”两边的数 要相加一样，仅仅是因为创造此记号法的人这么规定 而已 ，没有什么神秘的地方！ 谁创造了求和约定? Einstein (爱因斯坦)
a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 a 21 x1 a 22 x2 a 23 x3 b2 a31 x1 a32 x2 a33 x3 b3
P
O
每次还要书写取值范围，太烦！对取值范围进行 约定：
用拉丁字母(i, j, k等)书写的指标其取值范围是1,2,3； 用希腊字母(,b等)书写的指标其取值范围是1,2。
op xi ei
Aij x j bi
op x e
用希腊字母表示的自由指标的个数决定简写方程代表 的实际方程的个数，可用2n次方来求代表的方程数； 用希腊字母表示的哑指标的个数决定了该项所代表的 实际求和项的项数，可用2n次方来求代表的项数；