圆与圆的位置关系直线与圆的方程的应用

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2.代数法：通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断． Δ>0⇒相__交__
圆 圆CC12方 方程 程―消―元→一元二次方程ΔΔ＝ <_外0_0⇒_切⇒__外内____离切____或或___ _内__含_
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两圆 x2＋y2＝9 和 x2＋y2－8x＋6y＋9＝0 的位置关系是( )
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当| 50－k－1|＝5， 50－k＝6，k＝14 时，两圆内切． 当|r2－r1|＜|C1C2|＜r2＋r1， 即 14＜k＜34 时，两圆相交． 当 1＋ 50－k＜5 或| 50－k－1|＞5， 即 0≤k＜14 或 34＜k＜50 时，两圆相离．
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1．判断两圆的位置关系或利用两圆的位置关系求参数的取值范围有以下几 个步骤：
【答案】 B
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[小组合作型] 圆与圆位置关系的判定
当实数 k 为何值时，两圆 C1：x2＋y2＋4x－6y＋12＝0，C2：x2＋y2 －2x－14y＋k＝0 相交、相切、相离？
【精彩点拨】
求圆C1的 半径r1
→
求圆C2的半径r2
→Leabharlann Baidu
求|C1C2|
→
利用|C1C2|与|r1－r2| 和r1＋r2的关系求k
r2－d2＝245－12＝
x2＋y2＝1， x2＋y2－2x－2y＋1＝0
的解，
两式相减得 x＋y－1＝0.
因为 A，B 两点的坐标满足 x＋y－1＝0，
所以 AB 所在直线方程为 x＋y－1＝0，
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即 C1，C2 的公共弦所在直线方程为 x＋y－1＝0，
圆
C3
的圆心为(1,1)，其到直线
AB
的距离
d＝
1 ，由条件知 2
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【自主解答】 将两圆的一般方程化为标准方程，C1：(x＋2)2＋(y－3)2＝1， C2：(x－1)2＋(y－7)2＝50－k. 圆 C1 的圆心为 C1(－2,3)，半径 r1＝1； 圆 C2 的圆心为 C2(1,7)，半径 r2＝ 50－k(k＜50)． 从而|C1C2|＝ －2－12＋3－72＝5. 当 1＋ 50－k＝5，k＝34 时，两圆外切．
A．外离
B．相交
C．内切
D．外切
【解析】 两圆 x2＋y2＝9 和 x2＋y2－8x＋6y＋9＝0 的圆心分别为(0,0)和(4， －3)，半径分别为 3 和 4.
所以两圆的圆心距 d＝ 42＋－32＝5. 又 4－3<5<3＋4，故两圆相交． 【答案】 B
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教材整理 2 直线与圆的方程的应用 阅读教材 P130“练习”以下至 P132“练习”以上部分，完成下列问题． 用坐标方法解决平面几何问题的“三步曲”
阶
阶
段
段
一
4.2.2 圆与圆的位置关系
三
4.2.3 直线与圆的方程的应用
学
阶 段 二
业 分 层 测
评
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1．掌握圆与圆的位置关系及判定方法．(重点、易错点) 2．能利用直线与圆的位置关系解决简单的实际问题．(难点)
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[基础·初探] 教材整理 1 圆与圆位置关系的判定 阅读教材 P129 至 P130“练习”以上部分，完成下列问题． 1．几何法：若两圆的半径分别为 r1、r2，两圆的圆心距为 d，则两圆的位置 关系的判断方法如下：
(1)化成圆的标准方程，写出圆心和半径； (2)计算两圆圆心的距离 d； (3)通过 d，r1＋r2，|r1－r2|的关系来判断两圆的位置关系或求参数的范围， 必要时可借助于图形，数形结合． 2．应用几何法判定两圆的位置关系或求字母参数的范围是非常简单清晰 的，要理清圆心距与两圆半径的关系．
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[再练一题] 1．已知圆 C1：x2＋y2－2ax－2y＋a2－15＝0，圆 C2：x2＋y2－4ax－2y＋4a2 ＝0(a＞0)．试求 a 为何值时，两圆 C1，C2 的位置关系为： (1)相切；(2)相交；(3)外离；(4)内含．
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【解】 圆 C1，C2 的方程，经配方后可得 C1：(x－a)2＋(y－1)2＝16， C2：(x－2a)2＋(y－1)2＝1， ∴圆心 C1(a,1)，C2(2a,1)，半径 r1＝4，r2＝1. ∴|C1C2|＝ a－2a2＋1－12＝a. (1)当|C1C2|＝r1＋r2＝5，即 a＝5 时，两圆外切； 当|C1C2|＝r1－r2＝3，即 a＝3 时，两圆内切．
直线被圆 C3：(x－1)2＋(y－1)2＝245所截得的弦长．
【精彩点拨】
联立圆C1、C2的方程
―作―差→
得公共弦所 在的直线
―→
圆心C3到公共 弦的距离d
―→
圆的半径r
―→
弦长＝2
r2－d2
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【自主解答】 设两圆的交点坐标分别为 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则 A，B 的坐标是方程组
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一辆卡车宽 1.6 米，要经过一个半径为 3.6 米的半圆形隧道，则这辆卡车的
平顶车蓬蓬顶距地面的高度不得超过( )
A．1.4 米
B．3.5 米
C．3.6 米
D．2 米
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【解析】 建立如图所示的平面直角坐标系．
如图，设蓬顶距地面高度为 h，则 A(0.8，h－3.6)．半圆所在圆的方程为： x2＋(y＋3.6)2＝3.62，把 A(0.8，h－3.6)代入得 0.82＋h2＝3.62，∴h＝4 0.77 ≈3.5(米)．
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位置关系 外离
外切
相交
内切
内含
图示
d 与 r1、r2 _d_＞__r_1_＋__r_2 _ 的关系
_d_＝__r_1＋__r_2_
__|r_1－__r_2_| _ _＜__d_＜__r1_＋__r_2_
_d_＝__|_r1_－__r_2_|
_0_≤__d_＜__ _|_r1_－__r_2|_
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(2)当 3＜|C1C2|＜5，即 3＜a＜5 时，两圆相交． (3)当|C1C2|＞5，即 a＞5 时，两圆外离． (4)当|C1C2|＜3，即 a＜3 时，两圆内含．
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两圆相交有关问题
求圆 C1：x2＋y2＝1 与圆 C2：x2＋y2－2x－2y＋1＝0 的公共弦所在