高中数学趣说数学与文学(近体诗词音律的数学解释)

趣说数学与文学

通常情况下，人们认为数学与文学完全毫不相干，要把高度抽象形式化的数学和形象化艺术性的文学扯在一起，似乎有点不可思议。然而，在种种表面无关甚至完全不同的现象背后，隐匿着数学与文学极其丰富、深刻而美妙的联系。

就拿诗歌来说，是所有文学式样中最具代表性的一种。诗的形式是简练的，表达的思想情感是概括的，并且相对抽象，这与数学追求以最简练的形式抽象概括最深刻最具一般性的规律，是极为相似的。我国的格律诗词有非常复杂的格式样式，但不是没有法则可依，任意而为。其实“格律”本身就是指的“规律”—客观存在不依赖于人的主观意志的规定性。而这些规定又充分显示出必然与合理性。

近体诗中，律诗与绝句的平仄变化很复杂，规定也很多，但从数学观点去认识，却是一种具有简单运算规则的数学模式，其中蕴含着以简驭繁的奥秘，尽显数学美。

以五言诗声调的平仄为例，有以下四个基本类型：

仄起仄收：仄仄平平仄，

平起平收：平平仄仄平；

平起仄收：平平平仄仄，

仄起平收：仄仄仄平平。

将这四种类型的句子按一定的规则再排列，就能得到五言绝句的四种标准式样。但其中许多规则用文字语言叙述起来，总是显得很复杂。比如说，五言诗的每一句都基本符合上述四种类型。但不是绝对的，有四种基本“变格”，变格的一个原则是“一三不论，二四分明”。意思是，每一句的第一、三个字可以不论平仄，但第二、四字必须符合规则，最后一个字则主要要求押韵合辙，加之押韵也讲求第一、三句不要求，二、四句必须押韵，且押平声韵。再一个是“粘对”原则。这里面的意思较复杂，“粘”有一句当中相邻两字同声调的意思，句与句之间的关系是，每上下两句组成的一联，须符合平仄相“对”，即平对仄，仄对平，联与联之间则须相“粘”。

这些规则条件只能让人知道大概，很难记忆和运用。

下面仍以五言诗为例，用数学方法（优选法或称排除法）分析用这些法则得到的结果和法则建立的缘由如下：

1.因为所有汉字的声调分为“平、仄”两类，不妨记为p和z，那么每一个五字

种。

句的不同声调排列数，就是两类元素在5个位置上的排列数，即5232

2.按“平仄均沾”原则，即平声与仄声字数在句子（整首诗）中应尽可能均等，

将5p,4p1z,1p4z,5z 的组合形式去掉，剩下3p2z 和2p3z 两种组合形式，共有2

5220

P =种排列。如用“1”表示“平”，用“0”表示“仄”，则3p2z 组合有（11100）、（11001）、（10011）……等10种排列，同样2p3z 组合也有相应10种。

3.第二原则是，平仄要双叠，凡出现孤平孤仄者（首尾除外）不要，如（10101）；凡出现三平三仄者（句首除外）也不要，如（01110）。这样，3p2z 组合中，孤平孤仄者5种，三平三仄者3种，筛选结果有10-5-3=2种；同理，2p3z 组合也剩下2种。

因此，从32种排列中优选出来的标准句式有四种，简记为（00110）（11001）（11100）（00011）

将以上四种基本句型分别作为矩阵的一行，可组成一个4×5的矩阵①。 将矩阵①中的第1、2行与第3、4行对调，就得到矩阵②，这两个属于首句仄声不押韵类；还有一类首句平声押韵，那么矩阵①②的后三行保持不变，分别用它们的第四行“置换”第一行，分别得到矩阵③④，恰好符合“一三不论，二四分明”的一般原则和句与句、联与联的“粘对”原则。注意到这4个矩阵都是中间一列（第三列）打破“粘对”原则，正好“逆反”。于是，五言绝句的4种基本平仄格式用4个4×5的矩阵表示如下。

①00110110011110000011⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭②

1

11000

00110

011011001⎛⎫

⎪ ⎪ ⎪

⎪⎝⎭③

00111

10011

110000011⎛⎫

⎪ ⎪ ⎪

⎪⎝⎭④

1

10010

00110

011011001⎛⎫

⎪

⎪

⎪

⎪

⎝⎭

两首五言绝句加起来便成一首五律，因此五律有8种基本格式。在五律的每句前加两字，变成七律，于是知道共有16种格式。五律的平仄矩阵是8×5，七律的平仄矩阵是8×7，长律的平仄规律可以按此规律推出，这里就不一一列出。

原本认为错综复杂，难以记忆的诗词平仄规则，用矩阵表示，只要记住四种基本句式，所有绝句律诗的平仄矩阵就可通过变换得到，可以说十分简洁而优美。

以下列举王之涣的《登鹳雀楼》、王维的《送别》、王安石的《梅花》、皇甫冉的《婕妤怨》分别对应四种基本格式。

①

0110110011110000011⎛⎫

⎪

⎪ ⎪

⎪

⎝⎭

白日依山尽 黄河入海流 欲穷千里目 更上一层楼。

②

③

④

诗句之间复杂的音韵规定，用矩阵变换中简单的“换行”，就基本可以概括。如果将矩阵转置，居然可以通过新矩阵是否满秩，来检查“拗救”后的诗句是否仍出现格律中“孤平”或“孤仄”的禁忌！更令人惊喜的是，在排列平仄时，5p,4p1z,3p2z,2p3z,1p4z,5z 的对称形式，突然让我联想到杨辉三角、二项式展开式！

请看，五言诗句的平仄规律：

()5

0514123232341455

555555p z C p C p z C p z C p z C p z C z +=+++++的中间项系数非常

精准地刻画了五言诗句的所有平仄排列数。如此以来，七言诗句的平仄规律尽在

()

7

07343434

77

777

7p z C p C p z C p z C z +=+

++++之中！ 当我惊喜地发现这些规律时，我不得不由衷感叹古代诗人的智慧和理性精神，他们可能不知道什么是数学，也肯定没学习过排列组合、二项式定理、线性代数之类，但那种洞悉变换规律，自然地运用数学思想的能力，让人惊叹。正如17世纪以前就有杰出的画家运用透视原理，来处理由于不同方位光线照射而形成的绘画立体效果，

山中相送罢 日暮掩柴扉 春草明年绿 王孙归不归

11100000110011011001⎛⎫

⎪

⎪ ⎪

⎪

⎝⎭

墙角数枝梅 凌寒独自开 遥知不是雪 为有暗香来 0001111001111000

0011⎛⎫

⎪

⎪ ⎪

⎪

⎝⎭

花枝出建章 凤管发昭阳 借问承恩者 双蛾几许长

1100100011001101

1001⎛⎫

⎪

⎪ ⎪

⎪

⎝⎭