微元法的应用(讲演PPT)
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微元法渗透着微积分的思想,它在处理积分的实际应用 问题时也是相辅相成的,是物理学发展史中最具里程性 的思维方法之一,是牛顿力学的数学基础,也是数学理 论中一种常用的方法 ,故而研究微元法就显得十分重要。
微元法的数学理论
微元法的适用条件: 1.所求的量可以表示成在一个区域上的函数 ; 2.所求的量在区域上具有线性可加性 ; 3.在该区域上的部分量可用变量的微分的线性部分来 进行表示。
解:若选择全部的链条为整体作为一个系统, 由于链条与各处的摩擦略去不计,故整个过 程遵循动量守恒。 根据质点系的动量定理就可以得到: 在的dt时间里,下垂部分链条的动量增量为: 由上面两个公式得到定积分: 求解定积分得:
例2:一条链子的长度为l,单位长度的质量为λ 。 将其卷成一堆放在地面上。若手握着链条的一端, 以匀速v将其向上提起。当链条的一端被提起离地 面的高度为y时,求手的提力。
微元法的应用
数学与应用数学09级
微元法的应用
☺1.微元法概述 ☺2.微元法的数学理论 ☺3.微元法在物理学中的应用 ☺4.微元法求解几何体的面积和体积 ☺5.微元法在其他方面的应用
微元法概述
微元法(Infinitesimal method ):微元法是先从部 分再到整体的思维方法,即为求得某一实际问题中的 量w,只需先求得微元dw,然后再对dw进行定积分 的运算即可求得w。通俗地说,就是把要研究的对象 分为无限多且无限小的部分,取出具有代表性的极小 的一部分,即微元,再对该微元进行细节分析和描述, 然后从局部到全体综合起来加以考虑的科学的思维方 法。
微元法可以将变量和难以确定的量转化成常量和容易确 定的量,使那些复杂的问题简单化, 这样我们就可以用 简便的方法对事物的规律进行分析研究。 微元法是微积分学中的主要思想,在解决数学分析、物 理、几何等问题时经常用到这种方法,广泛地应用于经 济、生物、工业计算、医学研究等方面。在物理学中, 定义感应电动势、瞬时速度和瞬时加速度等等都用到了 这种思想。
微元法在物理学中的应用
利用微元法求解物理问题时,可以使研究对象简 单化,使所求解的问题转换为定积分的计算。 下面我们看两个例子,例1是是已知作用力求运 动状态的情况,而例2是已知运动状态求解作用 力的情况。可以看出用微元法求解问题只要分析 找到规律,利用定积分的运算就可以很方便的解 决。
例1:一条链子的长度为l,单位长度的质量为λ。链条 放在桌子上,桌上有一小孔,链条一端由小孔恰好伸 下,其余部分堆在小孔周围。因为某种扰动,链条由 自身重量开始下落。试问链条下落的速度v与下落的距 离y之间的关系。注:链条的摩擦略去不计算,且认为 链条柔软可自由伸开。
在概率论中也有微元法的身影。利用Newton微元法,对 于连续型的随机变量,可以计算出具体在某一点的微概 率 。我们可以像处理离散型随机变量函数一样,来求连 续型随机变量函数的概率密度函数 。
谢谢各位!
Thank you!
数学与应用数学09级
解:以整个链条为一个系统,设在某时刻t,链条 一端距离远点的高度为y,其速率为v。由于地面 部分的链条的速度为0 。 故在时刻t,链条的动量为 : 则链条的动量随时间的变化率为: 又链条系统受到的合外力为:
由①、②两式就可得: 移项得:
微元法求解几何体的面积和体积
前面我们说过,积分变量的选择和坐标系的建立对我们用微元法求解 问题是否简便至关重要。下面可以通过两个例子的对比来具体说明。
例:口服药物要想在肌体的不同部位发挥作用,必须先被 吸收进入血液循环。假设药物吸收率的公式是f(t),0≦t≦b。 怎么求解药物吸收的总量呢?
解:用微元法考虑的话,可以取时间微元dt,在微元时间内,药物吸 收率可以近似的看作与t时刻的药物吸收率f(t)是相等的,所以药物吸收 量的微元就可以表示为:dD=f(t)dt然后进行定积分的运算即可求得药 物吸收的总量D。
微元法的具体应用步骤是:先把所研究的区间上分成足 够的的区间,先考虑每一个小区间上的微分;其次,对 每一个微小区间上的微分进行无限地累加,并连续作和。 这整个过程可以简单概括为化整为零,积零为整,这就 是微元法的求解问题的思路。 当然微元表达式的确定是依赖于积分变量的选择的,所 以要先确定积分变量,才能确定相应的微元表达式。坐 标系建立得合理,积分变量选择得恰当,可以使积分的 计算过程简便,不然就会造成计算复杂,甚至无法计算 的困扰。根据实际问题的具体情况,可以先画出图像, 使选取的积分变量、积分区间比较直观,求微元也会简 单很多。
积分变量选择得恰当,可以使积分的计算过程简便,否则会造 成计算复杂,甚至无法计算的困扰。
同样,坐标系建立得是否恰当,也会直接影响建立函数 关系的难易,进而影响微元的寻找以及所求积分的计算。 下面我们看一下怎么求解曲顶面面积和体积:
微元法在其他方面的应用
在医学中,在检测病人的病情指标时,很多都是根据 微元法理论发展演变而来的。像病人对某种药物吸收 总量的计算、血脉管稳定流动时血流量的指标检测等 等。这些方法在实际问题中都很好应用,更好更精确 的为病人服务。