微元法的应用(讲演PPT)
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微元法的应用
数学与应用数学09级
微元法的应用
☺1.微元法概述 ☺2.微元法的数学理论 ☺3.微元法在物理学中的应用 ☺4.微元法求解几何体的面积和体积 ☺5.微元法在其他方面的应用
微元法概述
微元法（Infinitesimal method ）：微元法是先从部 分再到整体的思维方法，即为求得某一实际问题中的 量w，只需先求得微元dw，然后再对dw进行定积分 的运算即可求得w。通俗地说，就是把要研究的对象 分为无限多且无限小的部分，取出具有代表性的极小 的一部分，即微元，再对该微元进行细节分析和描述， 然后从局部到全体综合起来加以考虑的科学的思维方 法。
例：口服药物要想在肌体的不同部位发挥作用，必须先被 吸收进入血液循环。假设药物吸收率的公式是f(t)，0≦t≦b。 怎么求解药物吸收的总量呢？
解：用微元法考Βιβλιοθήκη Baidu的话，可以取时间微元dt，在微元时间内，药物吸 收率可以近似的看作与t时刻的药物吸收率f(t)是相等的，所以药物吸收 量的微元就可以表示为：dD=f(t)dt然后进行定积分的运算即可求得药 物吸收的总量D。
微元法可以将变量和难以确定的量转化成常量和容易确 定的量，使那些复杂的问题简单化， 这样我们就可以用 简便的方法对事物的规律进行分析研究。 微元法是微积分学中的主要思想，在解决数学分析、物 理、几何等问题时经常用到这种方法，广泛地应用于经 济、生物、工业计算、医学研究等方面。在物理学中， 定义感应电动势、瞬时速度和瞬时加速度等等都用到了 这种思想。
积分变量选择得恰当，可以使积分的计算过程简便，否则会造 成计算复杂，甚至无法计算的困扰。
同样，坐标系建立得是否恰当,也会直接影响建立函数 关系的难易,进而影响微元的寻找以及所求积分的计算。 下面我们看一下怎么求解曲顶面面积和体积：
微元法在其他方面的应用
在医学中，在检测病人的病情指标时，很多都是根据 微元法理论发展演变而来的。像病人对某种药物吸收 总量的计算、血脉管稳定流动时血流量的指标检测等 等。这些方法在实际问题中都很好应用，更好更精确 的为病人服务。
在概率论中也有微元法的身影。利用Newton微元法，对 于连续型的随机变量，可以计算出具体在某一点的微概 率 。我们可以像处理离散型随机变量函数一样，来求连 续型随机变量函数的概率密度函数 。
谢谢各位!
Thank you!
数学与应用数学09级
微元法的具体应用步骤是：先把所研究的区间上分成足 够的的区间，先考虑每一个小区间上的微分；其次，对 每一个微小区间上的微分进行无限地累加，并连续作和。 这整个过程可以简单概括为化整为零，积零为整，这就 是微元法的求解问题的思路。 当然微元表达式的确定是依赖于积分变量的选择的，所 以要先确定积分变量，才能确定相应的微元表达式。坐 标系建立得合理，积分变量选择得恰当，可以使积分的 计算过程简便，不然就会造成计算复杂，甚至无法计算 的困扰。根据实际问题的具体情况，可以先画出图像， 使选取的积分变量、积分区间比较直观，求微元也会简 单很多。
微元法在物理学中的应用
利用微元法求解物理问题时，可以使研究对象简 单化，使所求解的问题转换为定积分的计算。 下面我们看两个例子，例1是是已知作用力求运 动状态的情况，而例2是已知运动状态求解作用 力的情况。可以看出用微元法求解问题只要分析 找到规律，利用定积分的运算就可以很方便的解 决。
例1：一条链子的长度为l，单位长度的质量为λ。链条 放在桌子上，桌上有一小孔，链条一端由小孔恰好伸 下，其余部分堆在小孔周围。因为某种扰动，链条由 自身重量开始下落。试问链条下落的速度v与下落的距 离y之间的关系。注：链条的摩擦略去不计算，且认为 链条柔软可自由伸开。
解：若选择全部的链条为整体作为一个系统， 由于链条与各处的摩擦略去不计，故整个过 程遵循动量守恒。 根据质点系的动量定理就可以得到： 在的dt时间里，下垂部分链条的动量增量为： 由上面两个公式得到定积分： 求解定积分得：
例2：一条链子的长度为l，单位长度的质量为λ 。 将其卷成一堆放在地面上。若手握着链条的一端， 以匀速v将其向上提起。当链条的一端被提起离地 面的高度为y时，求手的提力。
微元法渗透着微积分的思想，它在处理积分的实际应用 问题时也是相辅相成的，是物理学发展史中最具里程性 的思维方法之一，是牛顿力学的数学基础，也是数学理 论中一种常用的方法 ，故而研究微元法就显得十分重要。
微元法的数学理论
微元法的适用条件： 1.所求的量可以表示成在一个区域上的函数 ； 2.所求的量在区域上具有线性可加性 ； 3.在该区域上的部分量可用变量的微分的线性部分来 进行表示。
解：以整个链条为一个系统，设在某时刻t，链条 一端距离远点的高度为y，其速率为v。由于地面 部分的链条的速度为0 。 故在时刻t，链条的动量为 : 则链条的动量随时间的变化率为： 又链条系统受到的合外力为：
由①、②两式就可得： 移项得：
微元法求解几何体的面积和体积
前面我们说过，积分变量的选择和坐标系的建立对我们用微元法求解 问题是否简便至关重要。下面可以通过两个例子的对比来具体说明。
数学与应用数学09级
微元法的应用
☺1.微元法概述 ☺2.微元法的数学理论 ☺3.微元法在物理学中的应用 ☺4.微元法求解几何体的面积和体积 ☺5.微元法在其他方面的应用
微元法概述
微元法（Infinitesimal method ）：微元法是先从部 分再到整体的思维方法，即为求得某一实际问题中的 量w，只需先求得微元dw，然后再对dw进行定积分 的运算即可求得w。通俗地说，就是把要研究的对象 分为无限多且无限小的部分，取出具有代表性的极小 的一部分，即微元，再对该微元进行细节分析和描述， 然后从局部到全体综合起来加以考虑的科学的思维方 法。
例：口服药物要想在肌体的不同部位发挥作用，必须先被 吸收进入血液循环。假设药物吸收率的公式是f(t)，0≦t≦b。 怎么求解药物吸收的总量呢？
解：用微元法考Βιβλιοθήκη Baidu的话，可以取时间微元dt，在微元时间内，药物吸 收率可以近似的看作与t时刻的药物吸收率f(t)是相等的，所以药物吸收 量的微元就可以表示为：dD=f(t)dt然后进行定积分的运算即可求得药 物吸收的总量D。
微元法可以将变量和难以确定的量转化成常量和容易确 定的量，使那些复杂的问题简单化， 这样我们就可以用 简便的方法对事物的规律进行分析研究。 微元法是微积分学中的主要思想，在解决数学分析、物 理、几何等问题时经常用到这种方法，广泛地应用于经 济、生物、工业计算、医学研究等方面。在物理学中， 定义感应电动势、瞬时速度和瞬时加速度等等都用到了 这种思想。
积分变量选择得恰当，可以使积分的计算过程简便，否则会造 成计算复杂，甚至无法计算的困扰。
同样，坐标系建立得是否恰当,也会直接影响建立函数 关系的难易,进而影响微元的寻找以及所求积分的计算。 下面我们看一下怎么求解曲顶面面积和体积：
微元法在其他方面的应用
在医学中，在检测病人的病情指标时，很多都是根据 微元法理论发展演变而来的。像病人对某种药物吸收 总量的计算、血脉管稳定流动时血流量的指标检测等 等。这些方法在实际问题中都很好应用，更好更精确 的为病人服务。
在概率论中也有微元法的身影。利用Newton微元法，对 于连续型的随机变量，可以计算出具体在某一点的微概 率 。我们可以像处理离散型随机变量函数一样，来求连 续型随机变量函数的概率密度函数 。
谢谢各位!
Thank you!
数学与应用数学09级
微元法的具体应用步骤是：先把所研究的区间上分成足 够的的区间，先考虑每一个小区间上的微分；其次，对 每一个微小区间上的微分进行无限地累加，并连续作和。 这整个过程可以简单概括为化整为零，积零为整，这就 是微元法的求解问题的思路。 当然微元表达式的确定是依赖于积分变量的选择的，所 以要先确定积分变量，才能确定相应的微元表达式。坐 标系建立得合理，积分变量选择得恰当，可以使积分的 计算过程简便，不然就会造成计算复杂，甚至无法计算 的困扰。根据实际问题的具体情况，可以先画出图像， 使选取的积分变量、积分区间比较直观，求微元也会简 单很多。
微元法在物理学中的应用
利用微元法求解物理问题时，可以使研究对象简 单化，使所求解的问题转换为定积分的计算。 下面我们看两个例子，例1是是已知作用力求运 动状态的情况，而例2是已知运动状态求解作用 力的情况。可以看出用微元法求解问题只要分析 找到规律，利用定积分的运算就可以很方便的解 决。
例1：一条链子的长度为l，单位长度的质量为λ。链条 放在桌子上，桌上有一小孔，链条一端由小孔恰好伸 下，其余部分堆在小孔周围。因为某种扰动，链条由 自身重量开始下落。试问链条下落的速度v与下落的距 离y之间的关系。注：链条的摩擦略去不计算，且认为 链条柔软可自由伸开。
解：若选择全部的链条为整体作为一个系统， 由于链条与各处的摩擦略去不计，故整个过 程遵循动量守恒。 根据质点系的动量定理就可以得到： 在的dt时间里，下垂部分链条的动量增量为： 由上面两个公式得到定积分： 求解定积分得：
例2：一条链子的长度为l，单位长度的质量为λ 。 将其卷成一堆放在地面上。若手握着链条的一端， 以匀速v将其向上提起。当链条的一端被提起离地 面的高度为y时，求手的提力。
微元法渗透着微积分的思想，它在处理积分的实际应用 问题时也是相辅相成的，是物理学发展史中最具里程性 的思维方法之一，是牛顿力学的数学基础，也是数学理 论中一种常用的方法 ，故而研究微元法就显得十分重要。
微元法的数学理论
微元法的适用条件： 1.所求的量可以表示成在一个区域上的函数 ； 2.所求的量在区域上具有线性可加性 ； 3.在该区域上的部分量可用变量的微分的线性部分来 进行表示。
解：以整个链条为一个系统，设在某时刻t，链条 一端距离远点的高度为y，其速率为v。由于地面 部分的链条的速度为0 。 故在时刻t，链条的动量为 : 则链条的动量随时间的变化率为： 又链条系统受到的合外力为：
由①、②两式就可得： 移项得：
微元法求解几何体的面积和体积
前面我们说过，积分变量的选择和坐标系的建立对我们用微元法求解 问题是否简便至关重要。下面可以通过两个例子的对比来具体说明。