11.2.1与三角形有关的角课件ppt

想一想
三角形的三个内角和是多少? 有什么办法可以验证呢 ?
三角形的三个内角和等于180°
结论对任意三角形都成立吗？
三角形的内角和等于1800.
证法1：延长BC到CD，在△ABC的外部，
以CA为一边，CE为另一边作∠1=∠A， ∵ ∠1=∠A ∴ CE∥BA (内错角相等，两直线平行) ∴∠B=∠2 (两直线平行，同位角相等) A 又∵∠1+∠2+∠ACB=180° ∴∠A+∠B+∠ACB=180°
2. 如图，一种滑翔伞是左 右对称的四边形ABCD，其 B 中∠A＝150°，∠B＝∠D ＝40°。求∠C的度数。
40 ° 150° 1 2 40 °
A
D
解：在△ABC中 ∠B+∠1+∠BAC=180° 在△ACD中 ∠D+∠2+∠DAC=180° ∴∠B+∠D+∠1+∠2+∠BAC+∠CAD=360 ° 即 ∠B+∠D+ ∠BCD +∠BAD= 360 ° 40 °+40 °+ ∠BCD +150 ° = 360 ° ∴ ∠BCD = 360 °－40 °－40 °－ 150 ° =130 °
1 个直角？为什么？
1 个钝角？为什么？
（3）一个三角形中至少有
2 个锐角？为什么？
（4）任意 一个三角形中，最大的一个角的度数至少 为 60° .
例题 如图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛
在A岛的北偏东80 °方向，C岛在B岛的北偏西40 °方向。从C岛看A、B两岛的视角∠ACB是多少 度？ 解： ∠CAB=∠BAD-∠CAD=800-500=300
1
E
2
B
C
D
注意:辅助线应该用虚线表示
E
A
2 1 3
F
B
C
E
A 2 1 3
F
B
C
过A作EF∥BC， ∴∠B=∠2 (两直线平行,内错角相等) (两直线平行,内错角相等) ∠C=∠3 ∵∠2+∠3+∠BAC=180°
(平角的定义) ∴∠B+∠C+∠BAC=180° (等量代换)
作BC的延长线CD，过C作CE∥BA，
(2) 在△ABC中，∠A =500, ∠B =800,则∠C =（ B ）
A. 400
B. 500
C. 100
D. 1100
（3）在△ABC中，∠A =800, ∠B =∠C，则∠B =（ A ） A. 500 二、填空 （1）∠A:∠B:∠C=3:4:5，则∠B = 600 600 750 B. 400 C. 100 D. 450
E B
4.如图：已知在△ABC中， EF与AC交于点G，与BC的延 长线交于点F，∠B=450 ， 0，∠CGF=700， A∠F=30 求∠A的度数.
G C F
这节课你有那些收获?
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③
② ①
(A)带①去 (C)带③去
(B)带②去 (D)带①和②去
3、在△ＡＢＣ中，如果 1 1 ∠Ａ= ∠B= ∠ C， 3 2 那么△ＡＢＣ是什么三角形？
例2 已知：在△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A， BD是AC边上的高， 求∠DBC的度数.
分析：∠DBC在△BDC中，∠BDC=900，为求∠DBC的 度数，只要求出∠C的度数即可.
) 又 ∵∠2+∠1+∠BAC=180° ∴∠B+∠C+∠BAC=180°
E
A
2
B
1
F
C
开启
智慧
你还有其他方法来证明三 角形内角和定理吗？
A A S F E C B N P R
添加辅助线思路：1、构造平角2、构造同旁内角
E A
Q M
B 图1 S P Q M B T 图4 N A
C B
来自百度文库
D
T 图3
C
E
北
还有其 它方法 吗？
D
A
.
由AD∥BE，可得 E ∠BAD＋∠ABE=1800 所以∠ABE=1800－∠BAD C =1800－800＝1000 ∠ABC=∠ABE－∠EBC =1000－400＝600 B 在ΔABC中， 东∠ACB=1800-∠ABC－∠CAB =1800－600-300＝900 答：从C岛看A、B两岛的视角∠ACB是900 。
R
图2
A
F 4 C B
A E
1 2
1 2
3
C
B
D
图5
C
图6
D
…………
思路总结
为了说明三个角的和为1800,转化 为一个平角或同旁内角互补,这种转 化思想是数学中的常用方法.
三角形内角和定理: 三角形的内角和等于1800.
（1）在△ABC中，∠A=35°，∠ B=43 °
则∠ C= 102 ° . （2）在△ABC中， ∠A :∠B:∠C=2:3:4 则∠A = 40 ° ∠ B= 60 ° ∠ C= 80 ° . （1）一个三角形中最多有 （2）一个三角形中最多有
内角三兄弟之争
在一个直角三角形里住着三个内角， 平时，它们三兄弟非常团结。可是有一天， 老二突然不高兴，发起脾气来，它指着老大 说：“你凭什么度数最大，我也要和你一样 大！”“不行啊！”老大说：“这是不可能 的，否则，我们这个家就再也围不起来了 ……”“为什么？” 老二很纳闷。
同学们，你们知道其中的道理吗？
（2）∠C =900，∠A =300，则∠B =
（3）∠B =800，∠A =3∠C，则∠A =
3. 在△ABC中，已知∠A-∠C=250，∠B∠A=100，求∠B的度数.
分析：根据三角形内角和定理可知： ∠A+∠B+∠C=1800，然后结合已知条件便可以求出 . ：在△ABC中， 解
∠A+∠B+∠C=1800（三角形內角和定理） 联立∠A-∠C=250，∠B-∠A=100可得， ∠A=650，∠B=750，∠C=400 答：∠B的度数是750.
解：在△ACD中
C
B
D
∠CAD ＝30 ° ∠D ＝90 °
∴ ∠ACD =180 ° －30 ° －90 °=6 0 °
在△BCD中 ∠CBD = 45 ° ∠D ＝90 °
∴ ∠BCD = 180 °－90°－45 °=45 °
∴ ∠ACB = ∠ACD －∠BCD = 6 0 °－45 °
＝15°
北
.
.
北 D
50°
C
1
E
40° 2
你能想出一个更 简捷的方法来求 ∠C的度数吗？
B F
A
解： 过点C画CF∥AD
∵ CF∥AD, 又AD ∥BE ∴ CF∥ BE
∴ ∠1＝∠DAC＝50 °,
∴∠2＝∠CBE ＝40 ° ∴ ∠ACB＝∠1﹢∠2 ＝50 °﹢ 40 ° ＝90 °
1. 如图，从A处观测C处时仰角 ∠CAD＝30°，从B处观测C 处时仰角∠CBD＝45°。 从C处观测A、B两处时视角 A ∠ACB是多少？
C
B
40 ° 150° 40 °
A
C
另解： 由题意得 在△ABC中
∠BAC＝∠DAC＝75°
∠BCA ＝180 °- ∠BAC - ∠B ＝180 °- 75 ° - 40°= 65 °
∴ ∠ACD = ∠ BCD = 65 ° ∴ ∠BCD = ∠ACD + ∠ BCD =130 °
1、如图,某同学把一块三角形的玻 璃打碎成三片,现在他要到玻璃店去 配一块形状完全一样的玻璃,那么最 省事的办法是 ( C )
解：设∠A= x ，则∠C=∠ABC=2x. ∴x+ 2x+ 2x=180(三角形内角和定理). A 0. 解方程，得x=36 ∴ ∠C=2×360=720. 在△BDC中， B ∵∠BDC=900（已知）， ∴∠DBC=1800-900-720（三角形内角 和定理). ∴∠DBC=180.
D
C
一 、选择题 (1) 在△ABC中，∠A:∠B:∠C =1:2:3，则∠B =（ B ） A. 300 B. 600 C. 900 D. 1200
于是∠A=∠1(两直线平行，内错角相等) A A ∠B=∠2 (两直线平行，同位角相等) 。 又∵∠1+∠2+∠ACB=180° (平角的定义) ∴∠A+∠B+∠ACB=180°
1 。2
×
？ ？
？
E
×
(等量代换) ？
B
C
三角形的内角和等于1800. 证法3：过A作EF∥BA，
∵ EF∥BA ∴∠B=∠2(两直线平行,内错角相等 ) ∠C=∠1(两直线平行,内错角相等