一道竞赛题的多种解法
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故点 Ｑ 与点 Ｑ重合．
因为 Ａ Ｐ＝ ／Ａ Ｑ， Ｂ ， 所 以 ＺＡ Ｐ＝ ／Ａ Ｑ ．Ｂ ＿ Ｂ．
同理 ，若 却 ＝ｖ３－ ，可得 ：一ｖ３－ 下
．
从而 ＝ （ ） Ｖ３－ 却＋ ＝丁
．
【 明】 说 方法 １ 为原试题答案 ，由于 《 学课 程标 准 对相 数 》
函数关系式 为 ｙ：— —
—ｔ ．
即（ｘ ～３ （８ ） ． ４ ５ ） —３ ＝０
争一
Ｙ —
： 一 ，
所 以 却＝
Ｚａ
或 、 ． ／
由
一
一
解得
ａｔ一 ￡
—
又 （， ＝ ～ ，＋￣ 由１ 得 Ｑ一 ＸＸ ． ） 手 ３ ｐＱ３
ｙ
、
Ｉ（ ） ，／Ａ Ｐ ＿ Ｂ ￣ １可知 ｔ Ｂ ＝／ Ｑ＝３￣ Ｃ＝、 ０ Ｄ＝、 丁 ｂ Ａ ０ ，Ｂ ／ ，Ｂ ／ ． 所以 Ａｃ＝、 。 ，Ａ ／ 一２ Ｄ＝２ ／ ． 一、 ¨ ３６ 因为 Ｐ ／Ｄ Ｃ ／ Ｑ，
所 以 ＡＡＣ ＡＡＤ ． Ｐ Ｑ
一
所 点 坐 为 － ，） 以 Ｅ标 ｃ ０ ＿ ．
孚 川 或＝ 川． ｙ
（ 方法 ２ ）设直线 ） 函数关系式为 Ｙ＝ ＋ ，其中 ｔ ． 的 ｔ ＝１
由 （ ） 知 ， ／Ａ Ｐ＝／Ａ Ｑ＝３ 。 １可 ＿ Ｂ ＿ Ｂ ０． 所以口 ｐ＝２ Ｑ Ｄ ．
［］ ３ 李玉荣．一道经典几何题 新考［］ Ｊ．中国数 学教 育 （ 中 初
似 三角 形 的 判定 及 一元 二 次 方 程 根 与 系 数 关 系 的要 求 降低 ， 因
所直 的数系 以， 函关劫 孚 川或＝ ｌ 线 ｙ 孚
（ 方法 ３ ）如 图 ４ ，设 Ｂ Ｐ交 轴
ｙ
此学 生更容易想到方法 ２ 、方法 ３中的证 明思路 ，尤其是方法 ３ 于点 Ｅ ．
版 ） ０ ０ １） ０ ６ ，２ １ （０ ：４ ，４ ．
［］ ４ 王飞兵． ００年浙江省 台州市中考动 态数 学试题 赏析 与教 ２１ 学启示［］ Ｊ．中国数学教育 （ 中版） ０ ０ １ ） ７ ４ ． 初 ，２ １（２ ：３－ ０
４８
所 以直 线 Ｐ 的 函数 关 系式 为 ｙ Ｑ ：一
＋１ ．
［］ ２ 冯仲庆． 应用特征式 “２ ：ｎ ａ ”解数学竞赛题［ ］ ｂ Ｊ．中国
根 据 对 称 性 可 知 ，所 求 直 线 Ｐ 的 函 数 关 系 式 为 Ｙ＝ Ｑ
一
数 学教育 （ 中版） ０ ０ ５ ：４ — ８ 初 ，２ １ （ ） ６ ４ ．
Ｑ两 点．
于 Ｐ 、
、
Ｑ作 Ｙ 轴的８＃ ５２，垂足分别为点 ｃ 、ｎ
设尸 ｃ：０ ｐ＝ｂ ，Ｄ ，
Ｄ
（） １ 求证 ：／Ａ Ｐ＝／Ａ Ｑ； ＿ Ｂ ＿ Ｂ （） ２ 若点 Ａ 的坐标为 （ ，１ ，且 ０ ）
解 ： １证 明：方法 １ （） （ ）如 图 ２ ，分
因 为 Ｏ ＝Ｏ ＝ｔ Ｏ ａ， Ａ Ｂ ， Ｃ＝ ２
设 的 标 （ 丁２ 点Ｐ 坐 为。 ２ ） ， “，
ｐ
则 Ｐ 于 轴 对 点 Ｉ坐 为一 ２２ 点 关 ｙ 的 称 Ｐ － ７ １ ０ １０ — ５
作者 简介 ：刘志风 （ ６ 一） １ ７ ，女 ，河南郑州人 ，中学高级教师 ，主要从事 中学数学教 育教 学及教材教辅的开发与建设研 究 ９
若 ： ，代入上式 ，得 ＝一 ／ ． 、
从 而 ： ２ （ ＋ ） 丁 却 ＝一Ｖ３－
．
３２ ｔ
‘
ｖ ＝
ｊⅢ —一
—ｆ
．
ｙ
所 直 与 线Ｐ 的 点 Ｉ ，３ ） 以 线 直 ｌ 交 为Ｑ一ｔ ｔ ． 曰 （３ ２
所以 ・ 抛 线Ｙ 争 ． 点Ｑ在 物 ＝ 上
／ Ｂ
图 ２
由
＝ ｘ＋ｔ ｋ ’
所茜 ＝Ｃ 以 ， Ａ
由
得 一＝ 手 ０ ．
，
．
于 是 Ｑ ￡ 即 ｆ Ｑ ＝一 ３ ：一２
于 ＝ 是 等
当 ＋ ３ ； ‘
… 霸 ＋ｔ ｖ
２
化 ， ｎ鲁． 简 得＝
①， ａ 肚 ｎ ２ ’ ３ ｔ １
应 用 对 称 性 质 解题 ，思 路 清 晰 ， 方 法巧 妙 ． （ ） ：（ 法 １ 设 Ｐ ａ Ｑ＝ｂ ２解 方 ） Ｃ＝ ，Ｄ ，不 妨设 ａ≥ ｂ ， ＞０ 由（ ） ， ＺＡ Ｐ＝ＺＡ Ｑ＝３。 １知 ．Ｂ ＿Ｂ ０． 解 因为 Ｏ ＝Ｏ Ａ Ｂ＝１ ， 方 程 组
一Ｉ 。 ２ ＿
３
ｔｎ Ｂ ． ａ ／Ａ Ｑ
３
所 以 ４ ＝ ＬＡ Ｑ Ｂ．
和 一 ３ ２ ３ ‘
丢 Ｐ ｘ １…Ｐ Ｑ 一（ — ） 。
一 Ｑ
（ 方法 ３ ）设点 Ａ 的坐标为（ ，ｔ ， ０ ）
则点 Ｂ的坐标 为（ ，一 ） ０ ．
Ｖ Ｑ ） （Ｖ 。 … —… Ｐ
ｚ
则点 Ｂ的坐标为（ ，一） ０ ｔ． 设 直线 尸 Ｑ的 函 数 关 系式 为 Ｙ＝ ＋ ，点 Ｐ ￡ 、Ｑ的坐标分别为（ ，Ｙ） ，
（Ｑ ｏ． ，Ｙ）
Ｄ
、
ｔＱ 刍 。 ａ ＝ ｎ … ②
因为Ｐ ｆＤ ， Ｃ Ｑ
所 以 ＡＡＣ Ｐ— ＡＡ Ｑ Ｄ ．
丝
又 因为 所 以 ＝一 ｐ， Ｘ ＝Ｐ Ｃ
摘要 ：探讨 ２ １ 年全 国初 中数 学竞赛 第 １ 题 的 多种解法 ， ０１ ３ 结合初 中学生的认知特点及知识基础 ，分析 、解 决问题 的通性 、
通 法．
．
关键词 ：数 学竞赛；一题 多解
例 （０ １年 全 国初 中 数 学 竞 赛 ２１
目
Ｉ
ｎｐ
０— ６
图１
／Ｐ Ｑ＝６ 。 Ｂ ０ ，试求所有满足条件 的直线 Ｐ Ｑ的函数关系式
别 过 点 Ｐ Ｑ作 Ｙ轴 的 垂 线 ，垂 足 分 、
Ｏ ＝ Ｄ
６，
＝
别为点 Ｃ ． 、Ｄ
设 点 的 坐 标 为 （ ，ｔ， ０ ）
～ 一＝ 玄 ， ①
ｙ＝ 一
则 Ｐ 坐 为一 ， ）（／ ，） 点 的标 （ 丁或一 ２ １ 、 ．
所 以直线 Ｐ Ｑ的函数关系式为 ｙ 一 ＝ ＋１ ） 或 ， ＝ ＋１ ．
所 ＝ ，＋＝￣ ． 以 孚 。６ — ３Ｙ
于是可求得 ｏ＝２ ｂ＝、丁 ． ／
【 明】 说 方法 １与方法 ２为原试题答案 ，显然 由于点 Ａ 的坐
ｙ
Ｅｏ ＼
图４
Ｉ
＝
『 Ｉ
２ 则 直线 日 Ｐ的函数关 系式 为 Ｙ：
一 ３
２，
、 一１ ／３ ．
一
一
于嚣＝ 是
由 （ ） Ｐ￣ ＝一３ １中 ｄＱ Ｆ
，
手 等 ・ ＝
得 ＝寻 一 一．
孚 ’ 或
ｔ ＝ ２． ｙ
，
得
所 以 。＋ｂ ／ ａ ． ＝、 ｂ
ｙ
因为 ＺＢ Ｐ＝／Ｂ ＿Ｃ ＤＱ＝９ 。 ０， 所 以 ＡＢ Ｐ ＡＢ Ｑ Ｃ Ｄ ． 故 ／Ａ Ｐ：／ＡＢ ． ＿ Ｂ ＿ Ｑ
～
第１ ３题）如 图 １ ，点 Ａ为 Ｙ 正半轴 轴 上一点 ， ４、曰两点关于 轴 对称 ，过
（ 方法 ２ 如图 ３ ） ，分别 过点 Ｐ、
点 Ａ任作直线交抛 物线 Ｙ ＝
４ ７
霉
则 直线
ｐ ｌ 的函数关系式 为 Ｙ＝ ＾ａ 一ｔ ２ ＋ｔ 直 线 Ｊ曰 的 —一
，
故 ２ ｏ＝Ｖ ．（ ｏ １ ． ｘ ４ Ｙ＋ ） －
将 ） ＝丁 代入上式 ， ２ Ｑ
，
平方并整理 ，得 ４ 一１ 弼 ５；＋９ ， ＝０
一
—
ａ２
一
ｔ
Ｎ ． ２ １ Ｏ４ ０ ２
Ｊ ｕｎ ｌｏ ｈ ｎ ｓ ｔｅ ｔ ｓ Ｅ ｕ ａｉｎ ｏ ｒａ ｆＣ ｉｅｅ Ｍａｈ ｍａｉ ｄ ｃ ｔ ｃ ｏ
２ ２年 ０１
第 ４期
遭 莞ｆ 寨 趣 盼 多 。 解 种
＿
刘 志凤 （ 南省基础 教 育教 学研 究 室） 河
将＝ 代 ｙ２ 得点 的标 ， ） 标及 ＡＰＢＱ的值 已经给 出，因此方法 ３更简便 、快捷． ６ 孚 入＝ 到 Ｑ坐（ 争． ．
再将点 Ｑ的坐标代人 ｙ ＋ｌ ＝ ，求得 ＝～ 业
３ ．
参考文献：
［］ １ 张宁． 对一道初 中数学竞赛试题的变式探 究［］ Ｊ．中国数 学教育 （ 中版） ０ ０ ５ ：２ — ２ 初 ，２ １ （） ９ ３ ．
因为 Ａ Ｐ＝ ／Ａ Ｑ， Ｂ ， 所 以 ＺＡ Ｐ＝ ／Ａ Ｑ ．Ｂ ＿ Ｂ．
同理 ，若 却 ＝ｖ３－ ，可得 ：一ｖ３－ 下
．
从而 ＝ （ ） Ｖ３－ 却＋ ＝丁
．
【 明】 说 方法 １ 为原试题答案 ，由于 《 学课 程标 准 对相 数 》
函数关系式 为 ｙ：— —
—ｔ ．
即（ｘ ～３ （８ ） ． ４ ５ ） —３ ＝０
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Ｙ —
： 一 ，
所 以 却＝
Ｚａ
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一
一
解得
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又 （， ＝ ～ ，＋￣ 由１ 得 Ｑ一 ＸＸ ． ） 手 ３ ｐＱ３
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、
Ｉ（ ） ，／Ａ Ｐ ＿ Ｂ ￣ １可知 ｔ Ｂ ＝／ Ｑ＝３￣ Ｃ＝、 ０ Ｄ＝、 丁 ｂ Ａ ０ ，Ｂ ／ ，Ｂ ／ ． 所以 Ａｃ＝、 。 ，Ａ ／ 一２ Ｄ＝２ ／ ． 一、 ¨ ３６ 因为 Ｐ ／Ｄ Ｃ ／ Ｑ，
所 以 ＡＡＣ ＡＡＤ ． Ｐ Ｑ
一
所 点 坐 为 － ，） 以 Ｅ标 ｃ ０ ＿ ．
孚 川 或＝ 川． ｙ
（ 方法 ２ ）设直线 ） 函数关系式为 Ｙ＝ ＋ ，其中 ｔ ． 的 ｔ ＝１
由 （ ） 知 ， ／Ａ Ｐ＝／Ａ Ｑ＝３ 。 １可 ＿ Ｂ ＿ Ｂ ０． 所以口 ｐ＝２ Ｑ Ｄ ．
［］ ３ 李玉荣．一道经典几何题 新考［］ Ｊ．中国数 学教 育 （ 中 初
似 三角 形 的 判定 及 一元 二 次 方 程 根 与 系 数 关 系 的要 求 降低 ， 因
所直 的数系 以， 函关劫 孚 川或＝ ｌ 线 ｙ 孚
（ 方法 ３ ）如 图 ４ ，设 Ｂ Ｐ交 轴
ｙ
此学 生更容易想到方法 ２ 、方法 ３中的证 明思路 ，尤其是方法 ３ 于点 Ｅ ．
版 ） ０ ０ １） ０ ６ ，２ １ （０ ：４ ，４ ．
［］ ４ 王飞兵． ００年浙江省 台州市中考动 态数 学试题 赏析 与教 ２１ 学启示［］ Ｊ．中国数学教育 （ 中版） ０ ０ １ ） ７ ４ ． 初 ，２ １（２ ：３－ ０
４８
所 以直 线 Ｐ 的 函数 关 系式 为 ｙ Ｑ ：一
＋１ ．
［］ ２ 冯仲庆． 应用特征式 “２ ：ｎ ａ ”解数学竞赛题［ ］ ｂ Ｊ．中国
根 据 对 称 性 可 知 ，所 求 直 线 Ｐ 的 函 数 关 系 式 为 Ｙ＝ Ｑ
一
数 学教育 （ 中版） ０ ０ ５ ：４ — ８ 初 ，２ １ （ ） ６ ４ ．
Ｑ两 点．
于 Ｐ 、
、
Ｑ作 Ｙ 轴的８＃ ５２，垂足分别为点 ｃ 、ｎ
设尸 ｃ：０ ｐ＝ｂ ，Ｄ ，
Ｄ
（） １ 求证 ：／Ａ Ｐ＝／Ａ Ｑ； ＿ Ｂ ＿ Ｂ （） ２ 若点 Ａ 的坐标为 （ ，１ ，且 ０ ）
解 ： １证 明：方法 １ （） （ ）如 图 ２ ，分
因 为 Ｏ ＝Ｏ ＝ｔ Ｏ ａ， Ａ Ｂ ， Ｃ＝ ２
设 的 标 （ 丁２ 点Ｐ 坐 为。 ２ ） ， “，
ｐ
则 Ｐ 于 轴 对 点 Ｉ坐 为一 ２２ 点 关 ｙ 的 称 Ｐ － ７ １ ０ １０ — ５
作者 简介 ：刘志风 （ ６ 一） １ ７ ，女 ，河南郑州人 ，中学高级教师 ，主要从事 中学数学教 育教 学及教材教辅的开发与建设研 究 ９
若 ： ，代入上式 ，得 ＝一 ／ ． 、
从 而 ： ２ （ ＋ ） 丁 却 ＝一Ｖ３－
．
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①， ａ 肚 ｎ ２ ’ ３ ｔ １
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所 以 ＡＡＣ Ｐ— ＡＡ Ｑ Ｄ ．
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又 因为 所 以 ＝一 ｐ， Ｘ ＝Ｐ Ｃ
摘要 ：探讨 ２ １ 年全 国初 中数 学竞赛 第 １ 题 的 多种解法 ， ０１ ３ 结合初 中学生的认知特点及知识基础 ，分析 、解 决问题 的通性 、
通 法．
．
关键词 ：数 学竞赛；一题 多解
例 （０ １年 全 国初 中 数 学 竞 赛 ２１
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图１
／Ｐ Ｑ＝６ 。 Ｂ ０ ，试求所有满足条件 的直线 Ｐ Ｑ的函数关系式
别 过 点 Ｐ Ｑ作 Ｙ轴 的 垂 线 ，垂 足 分 、
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别为点 Ｃ ． 、Ｄ
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所 以直线 Ｐ Ｑ的函数关系式为 ｙ 一 ＝ ＋１ ） 或 ， ＝ ＋１ ．
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【 明】 说 方法 １与方法 ２为原试题答案 ，显然 由于点 Ａ 的坐
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所 以 。＋ｂ ／ ａ ． ＝、 ｂ
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因为 ＺＢ Ｐ＝／Ｂ ＿Ｃ ＤＱ＝９ 。 ０， 所 以 ＡＢ Ｐ ＡＢ Ｑ Ｃ Ｄ ． 故 ／Ａ Ｐ：／ＡＢ ． ＿ Ｂ ＿ Ｑ
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第１ ３题）如 图 １ ，点 Ａ为 Ｙ 正半轴 轴 上一点 ， ４、曰两点关于 轴 对称 ，过
（ 方法 ２ 如图 ３ ） ，分别 过点 Ｐ、
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则 直线
ｐ ｌ 的函数关系式 为 Ｙ＝ ＾ａ 一ｔ ２ ＋ｔ 直 线 Ｊ曰 的 —一
，
故 ２ ｏ＝Ｖ ．（ ｏ １ ． ｘ ４ Ｙ＋ ） －
将 ） ＝丁 代入上式 ， ２ Ｑ
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平方并整理 ，得 ４ 一１ 弼 ５；＋９ ， ＝０
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Ｎ ． ２ １ Ｏ４ ０ ２
Ｊ ｕｎ ｌｏ ｈ ｎ ｓ ｔｅ ｔ ｓ Ｅ ｕ ａｉｎ ｏ ｒａ ｆＣ ｉｅｅ Ｍａｈ ｍａｉ ｄ ｃ ｔ ｃ ｏ
２ ２年 ０１
第 ４期
遭 莞ｆ 寨 趣 盼 多 。 解 种
＿
刘 志凤 （ 南省基础 教 育教 学研 究 室） 河
将＝ 代 ｙ２ 得点 的标 ， ） 标及 ＡＰＢＱ的值 已经给 出，因此方法 ３更简便 、快捷． ６ 孚 入＝ 到 Ｑ坐（ 争． ．
再将点 Ｑ的坐标代人 ｙ ＋ｌ ＝ ，求得 ＝～ 业
３ ．
参考文献：
［］ １ 张宁． 对一道初 中数学竞赛试题的变式探 究［］ Ｊ．中国数 学教育 （ 中版） ０ ０ ５ ：２ — ２ 初 ，２ １ （） ９ ３ ．