均匀带电球体表面电场强度的计算 论文
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假如均匀带电球体半径为R，电荷为Q，那么均匀带电球体表面内外的静电场强如何计算呢？
图2.1均匀带电球面几何模型
在球外任取一点p，过p点作与带电球面同心的球面M。从电荷分布的球对称性出发，可以证明球面上各点场强大小相等，方向沿径向，故M面的E通量
Φ= E ds = E ds=E ds =E 4 r (2.2.1)
当空间有两个以上点电荷所激发的电场时，作用于该点的总电场强度等于其他点电荷单独存在时作用于该点的电场强度的矢量和，这叫做场强的叠加原理,其表达式为：
= = = = （2.1）
2.带电面产生的场强
在计算半径为R带电量为Q的均匀带电球体面上的电场强度分布时，绝大多
数电磁学教材中都是用高斯定理来求解的。它们都有意的忽略了球体表面上的电场强度，只计算了球体内外的电场强度。它们都是在讲高斯定理的运用时，将它作为一个例题来讲解的。由于在此种情况下，球体表面上的电荷分布是对称的，在球面内和球面外作高斯面就很容易求出球面内和球面外的电场强度的分布 。
角取值从0到
那么就有
E = （4.3）
令u=cos
则 （4.4）
在球面上时，即R=r
=
=
=
=
=
=
= = = （4.5）
由E = 可得：
在球面外，即r>R时
由图可知
= （4.6）
在球面内，即R<r时可知：
（4.7）
综上所述可知：
（4.8）
4.2均匀带电半球面轴线上的场强
有一个均匀带电的半球面，它的半径为R，电荷的面密度为 ，求球心处的电场强度。我在这里求轴线任意一点p上的电场强度？
dθR
oθ.px
图3.1均匀带电球面几何模型
我们把球面分成无限多个带电圆环球，位于 到 +d 之间的球带面积为ds=2 sin d ，所带电量为dq= 2 sin d ，其中 为球面的面电荷密度 = 。根据带电圆环在其轴线上的场强公式可知，该球带在球面上P点产生的场强大小为：
dE=
=
=
= （3.1）
摘
因此均匀带电球体表面电场强度使用高斯定理不能获得，因为高斯定理是一个几何表面，表面电荷也利用几何模型，当高斯分割和表面电荷，表面电荷不能被视为一个几何面，与普通物理的电磁学教材在讨论均匀表面电荷产生的电场强度分布不计算表面电场。本文介绍了叠加原理，点电荷球形均匀一个任意点的磁场强度值，表面磁场强度为球形面很近球形点电场强度平均值，并从外地叠加原理的两种方法求出了均匀带电球面电场强度值。
9谢辞…………………………………………………………………………………………………….21
引言
电荷的面分布是一种理想化的模型，某点的电荷面密度被定义为该点附近单位面积内的电荷量，一般用字母σ表示，σ= 。讨论带点面电荷在空间产生的场强分布是静电学的一个最基本的问题。其中均匀带电面是一种理想的模型，也是最简单一种情况，几乎在每本电磁学教材中都讨论过，例如无限大均匀带电平面外一点的电场强度为E= ，再一个就是本文所要研究讨论的均匀带电球体表面电场强度的计算。
当R <r<R 时，做高斯面S，如图所示：
图2.2球壳与高斯面几何模型
= ( ) （2.2.6）
E S=
E= = (2.2.7)
E= n（2.2.8）
当r>R 时，E= n（2.2.9）
作电场随r变化的曲线如图所示，此曲线为一连续曲线。即带电薄层内的场强从一壁到另一壁是连续变化的，在任何地方都没有突变。
既然无法用高斯定理不能完成任务，那么对于理想化的均匀带电球面上的场强又怎么求出呢?最直接的方法也就是最基本的方法——用场强叠加原理通过积分的方法计算。
3.用场强叠加原理通过积分计算均匀带电球面上的场强
由于在大多数普通电磁学教材中，都只计算了球体内外的场强，而在球面上的场强都没有给出，所以，在这里我们通过场强的叠加原理，来计算球面上的电场强度 。如图3.1所示，均匀带电球面上的电荷量为q，电荷面密度为 ，
关键词：
带点球面；电场强度；叠加原理；电荷面密度；高斯定理；突变
Abstract
pick due to uniform charged sphere surface electric field intensity using Gauss theorem cannot be obtained, because Gauss's theorem is a geometric surface, surface charge is also using the geometric model, when Gauss segmentation and surface charge, surface charge cannot be regarded as a geometric surface, and general physics electromagnetics teaching materials in the discussion of uniform charged surface electric field intensity produced by distribution are not calculated spherical electric field intensity of. This paper introduces the principle of superposition of point charge and spherical uniform with an arbitrary point of the field strength value, the surface field strength for spherical sides very near spherical point field strength average value, and from the field superposition principle bytwokinds of method to seek out the uniformly charged spherical surface electric field strength value.
方向沿x轴方向。这与电磁学书上给出的结论一致，可以保证它的正确性。
4.3不均匀带电球体表面空间场强的分布
在静电学中，我们经常可以见到均匀带电球面空间场强的计算这类问题，它是将现实中的问题理想化的模型，但是在现实生活中，我们遇见的问题比较复杂，就像我们要讨论的问题：不均匀带电球面空间场强的分布问题，例如我们会遇到带电球面电荷密度为极角θ的余弦的函数的情况，因此，研究非均匀带电球面场强分布对研究电荷分布有非常重要的意义。
4.2.1分割带电体积方法
首先选取坐标轴ox沿半球面的对称轴，如图4.2所示，把半球面分成很多微小宽度的环带 ，每一个环带的面积为ds.
ds= （4.9）
小环上带的电荷为：
= （4.10）
设小环带到p点的距离为r，带电截面与p点的距离为x；
根据场强叠加原理,带电面上P点的场强是所有这些带电球带在该点产生的场强dE的矢量和。因为各个小圆环产生的的场强方向都相同,矢量和变成代数和,由均匀带电圆环在其轴线p点产生的场强可知：
过球面任一点作与带电球面同心的球面 ,式（1）对 同样成立，但 面内电荷为零，故E 4 r =0，因而E=0.
即
Eຫໍສະໝຸດ Baidu0(r<R) (2.2.4)
和E= （r>R） (2.2.5)
上面的计算并没有涉及到球面上当r=R时的情况，而且当场点从球面内到球面外的过渡过程中电场强度E的表达式有一个突变，那么就无法用两边取极限的方式来求出球面上的电场强度了。几乎所有的电磁学教材都有意回避了计算球面上的电场强度，我们如果把球面本身作为一个高斯面，就无法确定电荷是在球面内还是球面外，这样就无法用高斯定理来计算，这是由于电荷的面分布是一种理想化模型造成的。实际上，在现实中我们接触到的带电面总是有一定的厚度的,那么我们在空中任意一点所作的高斯面都可确定为面内的电荷,这时面上的电场强度是可以计算出来的。
Keywords:
with spherical; electric field intensity; superposition principle; surface charge density; Gauss theorem; mutation
8参考文献……………………………………………………………………………………………….20
其中E 是E在 方向上的投影，r是球面M的半径。另一方面，球面M内的电荷就是带电球面的电荷q，由高斯定理有Φ=Q/ ，故
E = . (2.2.2)
因E‖ ，故E=E =E ，于是
E= .（2.2.3）
设想把带电球面的全部电荷Q置于球心成一点电荷，其电场强度的表示与（2.2.3）式相同。可见，均匀带电球体表面外任意一点的场强等于球面全部电荷集中于球心时在该点所激发的电场。
图2.3电场强度随r的变化曲线
如果保持球壳带电量q和外半径R 不变，让球壳内半径R 不断趋向与外半径R ，但是不能让R =R ，不管球壳多么薄，其电场强度分布曲线都是连续的。当带电球壳很薄并且我们不管球壳内的场强及球壳附近的场强表达的是否正确，将薄球壳视为带电的几何面，即：
R =R =R
这时电场强度将在带电面上发生突变（如图所示），并且不能从（2.2.8）式求得R处的电场强度。这时我们要得到电场随r变化的全部情况，就需要知道球面上的电场强度。那么球面上任意一点的电场强度是否可以计算出来呢？
4.用场强的叠加原理计算带电球面空间的电场强度
4.1均匀带电球面空间的场强
假如有一个均匀带电球壳，半径为R，它的总电荷为Q，相对于壳的半径，它的厚度几乎可以忽略，球壳表面的面电荷密度为 ,如图4.1所示：
R y
p
r
图4.1均匀带电球壳空间模型
dA=2 （4.1）
dQ= 2 （4.2）
从截面到p点的距离为r-Rcos
电场强度随r的变化会发生突变，而高斯定理适合于电荷分布具有某种对称的情况下。均匀带点球面虽然是球对称性的，但是高斯定理求电场强度是过所求场强点作适合的高斯面，高斯面是一个几何面，无论哪一种电荷（包括点电荷）与其相交都会被分为球面内和球面外两个部分，因此，对于所作高斯面来讲，均匀带电薄球壳不能再抽象为均匀带电的几何球面了，无法用高斯定理求出球面上的电场强度了 。
如图所示，非均匀带电球体表面一半带正电荷，一半带负电荷，在极角θ处，电荷面密度的数值是θ余弦的函数,即 ,求其球面空间电场强度的分布 。在这里我们用两种方法来求解。
4.3.1分割带电体积方法
首先选取坐标轴ox沿半球面的对称轴，如图4.3所示，把半球面分成很多微小宽度的环带 ，每一个环带的面积为ds.
1.电场强度与电场的叠加原理的概念
1.1电场强度
静止点电荷Q激发的静电场，把在电场中所要研究的点叫场点 。在场点中放置一个静止的试探电荷q，有库仑定律可知，它所受到的电场力为 ，其中 不但与场点有关，而且与试探电荷q有关，但 只和场点有关，我们将之称为该点的电场强度。以E为电场强度，其大小为 。
1.2电场叠加原理
电场强度在均匀带电球体表面上发生突变，场强的这种突变是由于对带电球壳采用面模型的结果。面模型是当我们不关心带电薄球壳内的场强及球壳附近的场强表达的是否正确，将带电薄球壳视为一个带电几何面的理想模型。当知道带电薄层内的电荷密度时，层内各点的电场强度就可以求出来。
假设均匀带电量为q的薄球壳内外半径分别为 ,电荷体密度为 ，由高斯定理可求出其场强E的分布：当r<R 时，E=0
图4.2均匀带电半球面几何模型
= （4.11）
x=r+Rcos y= Rsin
方向沿x轴正向。
（4.12）
所以和场强是dE的标量积分：
（4.13）
令u=
（4.14）
当θ=0时，u=（r+R） =u
当θ= 时，u=r +R =u
（4.15）
当r=0时，即半球的球心处，此时该点的电场强度为：
（4.16）
方向沿x轴正向,根据场强叠加原理,带电面上P点的场强是所有这些带电球带在该点产生的场强dE的矢量和。因为各个小圆环产生的的场强方向都相同,矢量和变成代数和,所以合场强是dE的标量积分：
E= =
=
=
=
=
=
=
= （3.2）
我们通过场强的叠加原理求出的均匀带电球面上的场强和电磁学教材上给出的球面附近的场强一致，所以我们求出的结果的正确性是有保证的。
图2.1均匀带电球面几何模型
在球外任取一点p，过p点作与带电球面同心的球面M。从电荷分布的球对称性出发，可以证明球面上各点场强大小相等，方向沿径向，故M面的E通量
Φ= E ds = E ds=E ds =E 4 r (2.2.1)
当空间有两个以上点电荷所激发的电场时，作用于该点的总电场强度等于其他点电荷单独存在时作用于该点的电场强度的矢量和，这叫做场强的叠加原理,其表达式为：
= = = = （2.1）
2.带电面产生的场强
在计算半径为R带电量为Q的均匀带电球体面上的电场强度分布时，绝大多
数电磁学教材中都是用高斯定理来求解的。它们都有意的忽略了球体表面上的电场强度，只计算了球体内外的电场强度。它们都是在讲高斯定理的运用时，将它作为一个例题来讲解的。由于在此种情况下，球体表面上的电荷分布是对称的，在球面内和球面外作高斯面就很容易求出球面内和球面外的电场强度的分布 。
角取值从0到
那么就有
E = （4.3）
令u=cos
则 （4.4）
在球面上时，即R=r
=
=
=
=
=
=
= = = （4.5）
由E = 可得：
在球面外，即r>R时
由图可知
= （4.6）
在球面内，即R<r时可知：
（4.7）
综上所述可知：
（4.8）
4.2均匀带电半球面轴线上的场强
有一个均匀带电的半球面，它的半径为R，电荷的面密度为 ，求球心处的电场强度。我在这里求轴线任意一点p上的电场强度？
dθR
oθ.px
图3.1均匀带电球面几何模型
我们把球面分成无限多个带电圆环球，位于 到 +d 之间的球带面积为ds=2 sin d ，所带电量为dq= 2 sin d ，其中 为球面的面电荷密度 = 。根据带电圆环在其轴线上的场强公式可知，该球带在球面上P点产生的场强大小为：
dE=
=
=
= （3.1）
摘
因此均匀带电球体表面电场强度使用高斯定理不能获得，因为高斯定理是一个几何表面，表面电荷也利用几何模型，当高斯分割和表面电荷，表面电荷不能被视为一个几何面，与普通物理的电磁学教材在讨论均匀表面电荷产生的电场强度分布不计算表面电场。本文介绍了叠加原理，点电荷球形均匀一个任意点的磁场强度值，表面磁场强度为球形面很近球形点电场强度平均值，并从外地叠加原理的两种方法求出了均匀带电球面电场强度值。
9谢辞…………………………………………………………………………………………………….21
引言
电荷的面分布是一种理想化的模型，某点的电荷面密度被定义为该点附近单位面积内的电荷量，一般用字母σ表示，σ= 。讨论带点面电荷在空间产生的场强分布是静电学的一个最基本的问题。其中均匀带电面是一种理想的模型，也是最简单一种情况，几乎在每本电磁学教材中都讨论过，例如无限大均匀带电平面外一点的电场强度为E= ，再一个就是本文所要研究讨论的均匀带电球体表面电场强度的计算。
当R <r<R 时，做高斯面S，如图所示：
图2.2球壳与高斯面几何模型
= ( ) （2.2.6）
E S=
E= = (2.2.7)
E= n（2.2.8）
当r>R 时，E= n（2.2.9）
作电场随r变化的曲线如图所示，此曲线为一连续曲线。即带电薄层内的场强从一壁到另一壁是连续变化的，在任何地方都没有突变。
既然无法用高斯定理不能完成任务，那么对于理想化的均匀带电球面上的场强又怎么求出呢?最直接的方法也就是最基本的方法——用场强叠加原理通过积分的方法计算。
3.用场强叠加原理通过积分计算均匀带电球面上的场强
由于在大多数普通电磁学教材中，都只计算了球体内外的场强，而在球面上的场强都没有给出，所以，在这里我们通过场强的叠加原理，来计算球面上的电场强度 。如图3.1所示，均匀带电球面上的电荷量为q，电荷面密度为 ，
关键词：
带点球面；电场强度；叠加原理；电荷面密度；高斯定理；突变
Abstract
pick due to uniform charged sphere surface electric field intensity using Gauss theorem cannot be obtained, because Gauss's theorem is a geometric surface, surface charge is also using the geometric model, when Gauss segmentation and surface charge, surface charge cannot be regarded as a geometric surface, and general physics electromagnetics teaching materials in the discussion of uniform charged surface electric field intensity produced by distribution are not calculated spherical electric field intensity of. This paper introduces the principle of superposition of point charge and spherical uniform with an arbitrary point of the field strength value, the surface field strength for spherical sides very near spherical point field strength average value, and from the field superposition principle bytwokinds of method to seek out the uniformly charged spherical surface electric field strength value.
方向沿x轴方向。这与电磁学书上给出的结论一致，可以保证它的正确性。
4.3不均匀带电球体表面空间场强的分布
在静电学中，我们经常可以见到均匀带电球面空间场强的计算这类问题，它是将现实中的问题理想化的模型，但是在现实生活中，我们遇见的问题比较复杂，就像我们要讨论的问题：不均匀带电球面空间场强的分布问题，例如我们会遇到带电球面电荷密度为极角θ的余弦的函数的情况，因此，研究非均匀带电球面场强分布对研究电荷分布有非常重要的意义。
4.2.1分割带电体积方法
首先选取坐标轴ox沿半球面的对称轴，如图4.2所示，把半球面分成很多微小宽度的环带 ，每一个环带的面积为ds.
ds= （4.9）
小环上带的电荷为：
= （4.10）
设小环带到p点的距离为r，带电截面与p点的距离为x；
根据场强叠加原理,带电面上P点的场强是所有这些带电球带在该点产生的场强dE的矢量和。因为各个小圆环产生的的场强方向都相同,矢量和变成代数和,由均匀带电圆环在其轴线p点产生的场强可知：
过球面任一点作与带电球面同心的球面 ,式（1）对 同样成立，但 面内电荷为零，故E 4 r =0，因而E=0.
即
Eຫໍສະໝຸດ Baidu0(r<R) (2.2.4)
和E= （r>R） (2.2.5)
上面的计算并没有涉及到球面上当r=R时的情况，而且当场点从球面内到球面外的过渡过程中电场强度E的表达式有一个突变，那么就无法用两边取极限的方式来求出球面上的电场强度了。几乎所有的电磁学教材都有意回避了计算球面上的电场强度，我们如果把球面本身作为一个高斯面，就无法确定电荷是在球面内还是球面外，这样就无法用高斯定理来计算，这是由于电荷的面分布是一种理想化模型造成的。实际上，在现实中我们接触到的带电面总是有一定的厚度的,那么我们在空中任意一点所作的高斯面都可确定为面内的电荷,这时面上的电场强度是可以计算出来的。
Keywords:
with spherical; electric field intensity; superposition principle; surface charge density; Gauss theorem; mutation
8参考文献……………………………………………………………………………………………….20
其中E 是E在 方向上的投影，r是球面M的半径。另一方面，球面M内的电荷就是带电球面的电荷q，由高斯定理有Φ=Q/ ，故
E = . (2.2.2)
因E‖ ，故E=E =E ，于是
E= .（2.2.3）
设想把带电球面的全部电荷Q置于球心成一点电荷，其电场强度的表示与（2.2.3）式相同。可见，均匀带电球体表面外任意一点的场强等于球面全部电荷集中于球心时在该点所激发的电场。
图2.3电场强度随r的变化曲线
如果保持球壳带电量q和外半径R 不变，让球壳内半径R 不断趋向与外半径R ，但是不能让R =R ，不管球壳多么薄，其电场强度分布曲线都是连续的。当带电球壳很薄并且我们不管球壳内的场强及球壳附近的场强表达的是否正确，将薄球壳视为带电的几何面，即：
R =R =R
这时电场强度将在带电面上发生突变（如图所示），并且不能从（2.2.8）式求得R处的电场强度。这时我们要得到电场随r变化的全部情况，就需要知道球面上的电场强度。那么球面上任意一点的电场强度是否可以计算出来呢？
4.用场强的叠加原理计算带电球面空间的电场强度
4.1均匀带电球面空间的场强
假如有一个均匀带电球壳，半径为R，它的总电荷为Q，相对于壳的半径，它的厚度几乎可以忽略，球壳表面的面电荷密度为 ,如图4.1所示：
R y
p
r
图4.1均匀带电球壳空间模型
dA=2 （4.1）
dQ= 2 （4.2）
从截面到p点的距离为r-Rcos
电场强度随r的变化会发生突变，而高斯定理适合于电荷分布具有某种对称的情况下。均匀带点球面虽然是球对称性的，但是高斯定理求电场强度是过所求场强点作适合的高斯面，高斯面是一个几何面，无论哪一种电荷（包括点电荷）与其相交都会被分为球面内和球面外两个部分，因此，对于所作高斯面来讲，均匀带电薄球壳不能再抽象为均匀带电的几何球面了，无法用高斯定理求出球面上的电场强度了 。
如图所示，非均匀带电球体表面一半带正电荷，一半带负电荷，在极角θ处，电荷面密度的数值是θ余弦的函数,即 ,求其球面空间电场强度的分布 。在这里我们用两种方法来求解。
4.3.1分割带电体积方法
首先选取坐标轴ox沿半球面的对称轴，如图4.3所示，把半球面分成很多微小宽度的环带 ，每一个环带的面积为ds.
1.电场强度与电场的叠加原理的概念
1.1电场强度
静止点电荷Q激发的静电场，把在电场中所要研究的点叫场点 。在场点中放置一个静止的试探电荷q，有库仑定律可知，它所受到的电场力为 ，其中 不但与场点有关，而且与试探电荷q有关，但 只和场点有关，我们将之称为该点的电场强度。以E为电场强度，其大小为 。
1.2电场叠加原理
电场强度在均匀带电球体表面上发生突变，场强的这种突变是由于对带电球壳采用面模型的结果。面模型是当我们不关心带电薄球壳内的场强及球壳附近的场强表达的是否正确，将带电薄球壳视为一个带电几何面的理想模型。当知道带电薄层内的电荷密度时，层内各点的电场强度就可以求出来。
假设均匀带电量为q的薄球壳内外半径分别为 ,电荷体密度为 ，由高斯定理可求出其场强E的分布：当r<R 时，E=0
图4.2均匀带电半球面几何模型
= （4.11）
x=r+Rcos y= Rsin
方向沿x轴正向。
（4.12）
所以和场强是dE的标量积分：
（4.13）
令u=
（4.14）
当θ=0时，u=（r+R） =u
当θ= 时，u=r +R =u
（4.15）
当r=0时，即半球的球心处，此时该点的电场强度为：
（4.16）
方向沿x轴正向,根据场强叠加原理,带电面上P点的场强是所有这些带电球带在该点产生的场强dE的矢量和。因为各个小圆环产生的的场强方向都相同,矢量和变成代数和,所以合场强是dE的标量积分：
E= =
=
=
=
=
=
=
= （3.2）
我们通过场强的叠加原理求出的均匀带电球面上的场强和电磁学教材上给出的球面附近的场强一致，所以我们求出的结果的正确性是有保证的。