人教版高数必修五第7讲：等比数列的前n项和公式(学生版)

等比数列的前n 项和公式

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教学重点： 掌握等比数列前n 项和通项公式及性质，理解等比数列前n 项和公式与函数的关系 教学难点： 等比数列前n 项和通项公式的性质的应用

1. 等比数列前n 项和通项公式

设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则12...n n S a a a =+++ （1） 当1q =时，_________________

（2） 当1q ≠时，___________________

2. 等比数列前n 项和公式的性质

（1） 等比数列中，连续m 项的和（如232,,,...m m m m m S S S S S --）仍组成等比数列（注意：

公比1q ≠-）

（2）

{}n a 是公比不为1的等比数列()0n n S Aq B A B ⇔=++=

（3） m

n m m n S S q S +=+（q 为公比）

（4） 若等比数列的项数为()2k k N +∈，则

S

S

偶/奇

q = ；

若等比数列的项数为()21k k N ++∈ ，则

S a

S

- 奇/偶q =

3. 等比数列前n 项和公式与函数的关系

（1） 当 1q =时，1n S na =是关于n 的正比例函数（常数项为0的一次函数）；当1q ≠时，

________________________是n 的一个指数式与一个常数的和，其中指数式的系数和常

数项互为相反数，且1

1a A q

=

- （2） 当1q =时，数列123,,,...,,...n S S S S 的图像是正比例函数1y a x =的图像上的一群孤立的

点；当1q ≠时，数列123,,,...,,...n S S S S 的图像是函数___________________

的图像上的

一群孤立的点。

（3） 若n S 表示数列{}n a 的前n 项和，且()0,1n n S Aq A Aq q =-≠≠则数列{}n a 是等比

数列。

类型一：等比数列前n 项和通项公式

例1． 在等比数列{}n a 中，若189,2,96,n n S q a ===求1,a n 练习1. 在等比数列{}n a 中，若13465

10,4

a a a a +=+=，求4a 和5S 练习2. 在等比数列{}n a 中，若42,1,q S ==求8S

例2.等比数列{}n a 中，已知333,9,a S ==求1a 和公比q

练习3.已知数列{}n a 满足124

30,,3

n n a a a ++==-

则{}n a 的前10项和等于 练习 4.设公比为()0q q >的等比数列{}n a 的前n 项和为n S 若224432,32,S a S a =+=+则q 为____

类型二： 等比数列前n 项和公式的性质

例3.等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若102010,30S S ==则30S = ___________ 练习5. 等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知368,7,S S ==则789a a a ++= （）

A.18

B.18-

C.

578 D.558

练习6.已知等比数列的前n 项和1

3,,n n S a n N ++=+∈则实数a 的值是（）

A.-3

B.3

C.-1

D. 1 类型三： 等比数列前n 项和公式与函数关系

例4.若等比数列{}n a 中，前 n 项和2n

n S a =+，则a =（）

A.-2

B.2

C.1

D.-1

练习7.设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，已知481,17,S S ==求n S

练习8.已知等比数列{}n a 的前n 项和为1

1

3,6

n n S x -=⋅-则x 的值为_______ 例5.数列2

2

1

1,12,122,...,122...2n -+++++++的前 n 项和等于（）

A.1

2

n n +- B.2n C.2n n - D.122n n +--

练习9.已知数列{}n a 满足12...21,n n a a a +++=-则222

12...n a a a +++= ____________

练习10.1

22133

434...344n n n n n ---+⋅+⋅++⋅+= ________________

1. 已知等比数列{a n }中，公比q 是整数，a 1＋a 4＝18，a 2＋a 3＝12，则此数列的前8项和为( ) A ．514 B ．513 C ．512 D ．510

2. 等比数列{a n }中，a 4＝2，a 5＝5，则数列{lg a n }的前8项和等于( ) A ．6 B ．5 C ．4 D ．3

3. 已知等比数列的前n 项和S n ＝4n ＋a ，则a 的值等于( )

A ．－4

B ．－1

C ．0

D ．1