工程力学—第十一章弯曲应力PPT
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A
M y zdA 0 （2） A
M z ydA M（3）
A
将应力表达式 E y 代入式（1），得
N A dA
E
A
ydA
0
则 Sz ydA 0
yc
Sz A
0
A
该式表明中性轴通过横截面1形6 心
第二节 对称弯曲正应力
❖ 静力学平衡方面
将
E
y
代入式（3）
M
z
ydAM得
A
M ydA E y2 dA
❖ 静力学平衡方面
横截面上内力系为垂直于 M
横截面的空间平行力系。
O
y
这一力系向坐标原点O简化，
得到三个内力分量。
z
N dA 0
A
y
dNdA
M y zdA 0
A
M z ydA M
A
dMy zdA
dMz ydA
zM
dA x
dA
15
第二节 对称弯曲正应力
❖ 静力学平衡方面
N dA 0 （1）
应力或压应力。纵向纤维间无正应力即纵向纤维无
挤压
横截面上只有轴向正应8 力
第二节 对称弯曲正应力
❖ 中性层：根据平面假设，当梁弯曲时，部分 “纤维”伸长，部分“纤维”缩短，由伸长到 缩短区，其间必存在一长度不变的过渡层称为 中性层。
❖中性轴： 中性层与横 截面的交线。
综上所述，纯弯曲时梁的所有横截面仍保持为平面，并绕中
工程力学
彭雅轩
воскресенье, 24 января 2021
1
第十一章 弯曲应力
对称弯曲正应力 梁的强度条件 梁的合理强度设计
2
第一节 引言
弯曲切应力：梁弯曲时 横截面上的切应力。
弯曲正应力：梁弯曲时 横截面上的正应力。
组合变形:两种或两种以上的基本变形形式的组合。
常见的组合变形:
❖弯曲与轴向拉压组合，
5
第二节 对称弯曲正应力
平面弯曲( Plane Bending)
P a
CA Q
C A P
M A
C
P a
BD P
B Dx
➢纯弯曲( Pure Bending) ： 弯矩为常量，剪力为零
（如图中AB 段 ）
P
BD x
Pa
6
第二节 对称弯曲正应力
实验现象— 纯弯曲时的 变形特征
（1）各纵向线段弯成弧线，且部分纵向线段伸长，
实心圆截面
Wz
Iz d2
d 4
d
64 2
d 3 32
空心圆截面
Wz
D3
(14
Biblioteka Baidu
32
)
d D
型钢
可查型钢表或用组合法求
h h
b
z y d
z y
D d
z y
z
19
b
第二节 对称弯曲正应力
[例1] 如图所示的悬臂梁，其横截面为直径等于200mm
的实心圆，试计算轴内横截面上最大正应力。
30 kN·m Ｄ
L
采用空心轴节省材料。
21
22
第十一章 弯曲应力 第三节 梁的强度条件
重点要求：
➢ 失效的分类及相关概念 ➢ 强度条件及其工程应用
23
一、失效与许用 应力相关概念
24
一、失效与许用应力相关概念
失效——
由于材料的力学行为而使构件 丧失正常功能的现象.
z x
y
中性轴(Neutral Axis)
中性层(Neutral Surf11ace)
第二节 对称弯曲正应力
❖ 变形的几何关系
12
第二节 对称弯曲正应力
b1'b2 ' yd
b1b2 dx O1O2 O1'O2' d
(y)dd y
d
d
dx
M
M
O1
O2
y
y
b1
b2
直梁纯弯曲时纵向线段的线应变与它到中性层的距离成正比13。
比。
Ｄ
Ｄ1 解：（1）确定空心轴尺寸
ｄ1
3 由2 D 1 3(m1 ax x 0 .6 WWM M4z)z 7.91 0 4
D1 210mm
（2）比较两种情况下的重量比(面积比)：
A空 A实
4
D12 (1 D2
2)
2102(10.62) 2002
0.7
4
由此可见，载荷相同、 max相等的条件下，
性轴作相对转动，而所有纵向“纤维”则均处于单向受力状
态。
9
第二节 对称弯曲正应力
弯曲正应力一般公式 通过考虑几何、物理与静力学三方面来建
立直梁纯弯曲时横截面上的正应力公式。
研究思路：
变形
几何 关系
应变 分布
物理 关系
应力 平衡 应力 分布 方程 表达式
10
第二节 对称弯曲正应力
M
M
❖ 变形的几何关系
部分纵向线段缩短。
（2）各横向线相对转过了一个角度,仍保持为直线。
（3）变形后的横向线仍与纵向弧线垂直。
7
第二节 对称弯曲正应力
纯弯曲时的基本假设
➢平截面假设( Plane Assumption )
(a) 变形前为平面的横截面 变形后仍为平面
(b) 仍垂直于变形后梁的轴线
横截面上无剪应力
➢ 单向受力假设：梁内各纵向“纤维”仅承受轴向拉
A
A
而 Ay2 dAIZ
故 1 M
E Iz
纯弯曲时横截面上弯曲正应力的计算公式为 M y Iz
➢公式应用条件： m axP
17
第二节 对称弯曲正应力
最大弯曲正应力
max
Mymax Iz
M I z y max
惯性矩
矩形截面
bh 3 I Z 12
M Wz
实心圆截面
IZ
d 4
64
空心圆截面
IZ
❖弯曲与扭转组合，
❖以及弯曲、轴向拉压与扭转的组合。
3
第一节 引言
对称弯曲：常见的梁往往至少具有一个对称面， 而外力则作用在该对称面内。梁的变形对称于 对称面的变形形式称为对称弯曲。
4
第二节 对称弯曲正应力
问题的提出：
P
➢如何简化出火车车轮轴的计算模型?
➢如何计算火车车轮轴内的应力?
➢如何设计车轮轴的横截面?
M
30 kN·m
分析：纯弯曲
max
M Wz
解：（1）计算Wz
Wz
D3
32
2030109
32
7.910 4 m3
（2）计算 max
max
M Wz
30103 7.9104
38.2MPa
20
第二节 对称弯曲正应力
[例2] 在相同载荷下，将例1中实心轴改成max 相等的空
心轴，空心轴内外径比为0.6。求空心轴和实心轴的重量
第二节 对称弯曲正应力
❖ 物理方面 （ Hooke 定律）
E
由上推导 y
M
中性轴 z
O
x
故
E y
y
结论：直梁纯弯曲时横截面上任意一点的弯曲正应力，
与它到中性层的距离成正比。
即沿截面高度，弯曲正应力与正应变均沿截面高度线性变化， 在中性轴各点处为零，在梁截面最外边缘各点处取得最大值14。
第二节 对称弯曲正应力
D4
64
14
d D
型钢 可查型钢表或用组合法求
h h
b
z y d
z y
D d
z y
z
18
b
第二节 对称弯曲正应力
最大弯曲正应力
max
Mymax Iz
M I z y max
M Wz
抗弯截面模量( Section Modulus)
Wz
Iz y max
矩形截面
Wz
Iz
h2
bh 3 12 h2
bh 2 6
M y zdA 0 （2） A
M z ydA M（3）
A
将应力表达式 E y 代入式（1），得
N A dA
E
A
ydA
0
则 Sz ydA 0
yc
Sz A
0
A
该式表明中性轴通过横截面1形6 心
第二节 对称弯曲正应力
❖ 静力学平衡方面
将
E
y
代入式（3）
M
z
ydAM得
A
M ydA E y2 dA
❖ 静力学平衡方面
横截面上内力系为垂直于 M
横截面的空间平行力系。
O
y
这一力系向坐标原点O简化，
得到三个内力分量。
z
N dA 0
A
y
dNdA
M y zdA 0
A
M z ydA M
A
dMy zdA
dMz ydA
zM
dA x
dA
15
第二节 对称弯曲正应力
❖ 静力学平衡方面
N dA 0 （1）
应力或压应力。纵向纤维间无正应力即纵向纤维无
挤压
横截面上只有轴向正应8 力
第二节 对称弯曲正应力
❖ 中性层：根据平面假设，当梁弯曲时，部分 “纤维”伸长，部分“纤维”缩短，由伸长到 缩短区，其间必存在一长度不变的过渡层称为 中性层。
❖中性轴： 中性层与横 截面的交线。
综上所述，纯弯曲时梁的所有横截面仍保持为平面，并绕中
工程力学
彭雅轩
воскресенье, 24 января 2021
1
第十一章 弯曲应力
对称弯曲正应力 梁的强度条件 梁的合理强度设计
2
第一节 引言
弯曲切应力：梁弯曲时 横截面上的切应力。
弯曲正应力：梁弯曲时 横截面上的正应力。
组合变形:两种或两种以上的基本变形形式的组合。
常见的组合变形:
❖弯曲与轴向拉压组合，
5
第二节 对称弯曲正应力
平面弯曲( Plane Bending)
P a
CA Q
C A P
M A
C
P a
BD P
B Dx
➢纯弯曲( Pure Bending) ： 弯矩为常量，剪力为零
（如图中AB 段 ）
P
BD x
Pa
6
第二节 对称弯曲正应力
实验现象— 纯弯曲时的 变形特征
（1）各纵向线段弯成弧线，且部分纵向线段伸长，
实心圆截面
Wz
Iz d2
d 4
d
64 2
d 3 32
空心圆截面
Wz
D3
(14
Biblioteka Baidu
32
)
d D
型钢
可查型钢表或用组合法求
h h
b
z y d
z y
D d
z y
z
19
b
第二节 对称弯曲正应力
[例1] 如图所示的悬臂梁，其横截面为直径等于200mm
的实心圆，试计算轴内横截面上最大正应力。
30 kN·m Ｄ
L
采用空心轴节省材料。
21
22
第十一章 弯曲应力 第三节 梁的强度条件
重点要求：
➢ 失效的分类及相关概念 ➢ 强度条件及其工程应用
23
一、失效与许用 应力相关概念
24
一、失效与许用应力相关概念
失效——
由于材料的力学行为而使构件 丧失正常功能的现象.
z x
y
中性轴(Neutral Axis)
中性层(Neutral Surf11ace)
第二节 对称弯曲正应力
❖ 变形的几何关系
12
第二节 对称弯曲正应力
b1'b2 ' yd
b1b2 dx O1O2 O1'O2' d
(y)dd y
d
d
dx
M
M
O1
O2
y
y
b1
b2
直梁纯弯曲时纵向线段的线应变与它到中性层的距离成正比13。
比。
Ｄ
Ｄ1 解：（1）确定空心轴尺寸
ｄ1
3 由2 D 1 3(m1 ax x 0 .6 WWM M4z)z 7.91 0 4
D1 210mm
（2）比较两种情况下的重量比(面积比)：
A空 A实
4
D12 (1 D2
2)
2102(10.62) 2002
0.7
4
由此可见，载荷相同、 max相等的条件下，
性轴作相对转动，而所有纵向“纤维”则均处于单向受力状
态。
9
第二节 对称弯曲正应力
弯曲正应力一般公式 通过考虑几何、物理与静力学三方面来建
立直梁纯弯曲时横截面上的正应力公式。
研究思路：
变形
几何 关系
应变 分布
物理 关系
应力 平衡 应力 分布 方程 表达式
10
第二节 对称弯曲正应力
M
M
❖ 变形的几何关系
部分纵向线段缩短。
（2）各横向线相对转过了一个角度,仍保持为直线。
（3）变形后的横向线仍与纵向弧线垂直。
7
第二节 对称弯曲正应力
纯弯曲时的基本假设
➢平截面假设( Plane Assumption )
(a) 变形前为平面的横截面 变形后仍为平面
(b) 仍垂直于变形后梁的轴线
横截面上无剪应力
➢ 单向受力假设：梁内各纵向“纤维”仅承受轴向拉
A
A
而 Ay2 dAIZ
故 1 M
E Iz
纯弯曲时横截面上弯曲正应力的计算公式为 M y Iz
➢公式应用条件： m axP
17
第二节 对称弯曲正应力
最大弯曲正应力
max
Mymax Iz
M I z y max
惯性矩
矩形截面
bh 3 I Z 12
M Wz
实心圆截面
IZ
d 4
64
空心圆截面
IZ
❖弯曲与扭转组合，
❖以及弯曲、轴向拉压与扭转的组合。
3
第一节 引言
对称弯曲：常见的梁往往至少具有一个对称面， 而外力则作用在该对称面内。梁的变形对称于 对称面的变形形式称为对称弯曲。
4
第二节 对称弯曲正应力
问题的提出：
P
➢如何简化出火车车轮轴的计算模型?
➢如何计算火车车轮轴内的应力?
➢如何设计车轮轴的横截面?
M
30 kN·m
分析：纯弯曲
max
M Wz
解：（1）计算Wz
Wz
D3
32
2030109
32
7.910 4 m3
（2）计算 max
max
M Wz
30103 7.9104
38.2MPa
20
第二节 对称弯曲正应力
[例2] 在相同载荷下，将例1中实心轴改成max 相等的空
心轴，空心轴内外径比为0.6。求空心轴和实心轴的重量
第二节 对称弯曲正应力
❖ 物理方面 （ Hooke 定律）
E
由上推导 y
M
中性轴 z
O
x
故
E y
y
结论：直梁纯弯曲时横截面上任意一点的弯曲正应力，
与它到中性层的距离成正比。
即沿截面高度，弯曲正应力与正应变均沿截面高度线性变化， 在中性轴各点处为零，在梁截面最外边缘各点处取得最大值14。
第二节 对称弯曲正应力
D4
64
14
d D
型钢 可查型钢表或用组合法求
h h
b
z y d
z y
D d
z y
z
18
b
第二节 对称弯曲正应力
最大弯曲正应力
max
Mymax Iz
M I z y max
M Wz
抗弯截面模量( Section Modulus)
Wz
Iz y max
矩形截面
Wz
Iz
h2
bh 3 12 h2
bh 2 6