复数集内实系数一元二次方程的根的问题

1、在复数范围内求解方程(求根公式或因பைடு நூலகம்分解)
2、有关结论
(1)实系数一元二次方程在复数范围内定有两个根

•
•• 0，方程有两个不相等的实数根x1、2 0，方程有两个相等的实数根x1、2


b
b2a 2a

2a
(2)0，0方时程，有虚一数对根共成轭对虚且根x共1、2 轭 2ba
2、实系数一元二次方程根与系数的关系
3、在复数范围内分解因式
例2、已知3i 2是关于x的方程2 x 2 px q 0
的一个根,求实数p, q的值．
解：x1 2 3i是方程的一个虚根
方程2x2 px q 0的另一虚根是x2 2 3i


x1 x1
x2 x2
p 4 2
q 13 2
在实数集内，若实系数一元二次方程ax2 bx c 0
有根x1、x2 ,则ax2 bx c可因式分解为a(x x1)(x x2 )
在复数集内，若实系数一元二次方程ax2 bx c 0
有根x1,x2 ,则ax2 bx c可因式分解为a(x x1)(x x2 )
p8 q 26
韦达定理依然成立
四、课堂练习
ex1、在复数集中解方程：
(1) x 2 2 0
(2) x 2 x 1 0
(3) x 2 2ix 2 0
ex 2、 在 复 数 集 中 分 解 因 式：
(1) x 2 6 ( x 6i)( x 6i)
(2) x 4 16 (x 2i)( x 2i)( x 2)( x 2)
(3) 3 x 2 6 x 4 3( x 1 3 i)( x 1 3 i)
ex3、已知1
i是 方 程x 2
2x
3
a

0(a
R3)
的一个根，求a及另一个根.
ex3、已知1 i是方程x2 2x a 0(a R) 的一个根，求a及另一个根. 解：x1 1 i是方程的一个虚根
方程x2 2x a 0的另一虚根是x2 1 i
x1 x2 a 2
四、课堂小结
1、实系数一元二次方程在复数集中的解
0，方程有两个不相等的实数根 0，方程有两个相等的实数根 0，方程有一对共轭虚根
三、例题举隅
例1、在复数集中解方程：
2x2 4x 5 0 x1,2 1
变式1、在复数集中因式分解：
6i 2
2x2 4x 5 2(x 1 6 i)( x 1 6 i)
2
2
变式2、 2x2 4x k 0(k R)
变式3、 2x2 ix 5 0
(1)当 (2)当


0时，韦
达定理
x1
0时，

x1
x2

x2

c a
b a 成立
x1,2


b 2a

4ac b2 2a
i


x1


x1
b x2 a

x2

c a
韦达定理 依然成立
总结：
对于方程ax2 bx c 0(a, b, c R, a 0)
称为实系数一元二次方程．
1、讨论实系数一元二次方程ax2 bx c 0的根
ax2 bx c 0
配方得： x
b
2
2a
b2两个4ac 不等4a实2根
(1) (2)
当b 2 当b 2

4ac 4ac

0 0

x1,2 x1 x2
b b2 4ac
2a b
2a 两个
相等实根
2a
(3) 当b2 4ac 0 x b 2a
4ac b 2 一对
2a
i 共轭虚根
2、共轭虚根定理：(虚根成对出现)
若实系数一元二次方程有一虚根为a bi
(a、b R)，则可知另一虚根为a bi．
3、实系数一元二次方程根与系数的关系
一、实系数一元二次方程
求-1的平方根
求x2 1 0的根
根的情况： 实数集 没有实数根
复数集
i
实系数一元二次方程
？对于方程ax2 bx c 0(a,b,c R,a 0） 如果没有实数根，是否也存在着虚数根呢？
二、实系数一元二次方程的解
方程ax 2 bx c 0(a, b, c R, a 0)
欧拉在《微分公式》（1777年）一文中第一次
用i来表示-1的平方根，首创了用符号i作为虚数 的单位
例1、在复数集中解方程：
2x2 4x 5 0 x1,2 1
6i 2
变式1、2x在2 复4数x集 5中因 2式(x分 1解：26 i)( x 1
6 i) 2
x1,x2为实系数一元二次方程ax2 bx c 0的两个根

i 2a
(3)韦达定理成立x1

x2


b a
，x1

x2

c a
韦达（Viete，Francois，seigneurdeLa Bigotiere）
是法国十六世纪最有影响的数学家之一，韦达 在欧洲被尊称为“代数学之父”。韦达最重要的 贡献是对代数学的推进： 韦达讨论了方程根的各种有理变换， 发现了方程根与系数之间的关系。 (所以人们把叙述一元二次方程根与系数关系 的结论称为韦达定理)