2.1.1椭圆及其标准方程(一)优秀教案

椭圆及其标准方程

一、教学目标 (一)知识目标

1、使学生理解椭圆的定义，掌握椭圆的标准方程及推导；

2、掌握焦点、焦点位置与方程关系、焦距； (二)能力目标

通过对椭圆概念的引入与标准方程的推导，培养学生分析探索能力； (三)学科渗透目标

通过对椭圆标准方程的推导的教学，可以提高对各种知识的综合运用能力

二、教材分析

1．重点：椭圆的定义和椭圆的标准方程．

(解决办法：用模型演示椭圆，再给出椭圆的定义，最后加以强调；对椭圆的标准方程单独列出加以比较．)

2．难点：椭圆的标准方程的推导．

(解决办法：推导分4步完成，每步讲解，关键步骤加以补充说明．) 3．疑点：椭圆的定义中常数加以限制的原因． (解决办法：分三种情况说明动点的轨迹．)

三、教学过程

（一）创设情境，引入概念

1、动画演示，描绘出椭圆轨迹图形。

2、实验演示。

思考：椭圆是满足什么条件的点的轨迹呢？ （二）实验探究，形成概念

1、动手实验：学生分组动手画出椭圆。 实验探究：

保持绳长不变，改变两个图钉之间的距离，画出的椭圆有什么变化？ 思考：根据上面探究实践回答，椭圆是满足什么条件的点的轨迹？ 2、概括椭圆定义

引导学生概括椭圆定义

椭圆定义：平面内与两个定点21,F F 距离的和等于常数（大于21F F ）的点的轨迹叫椭圆。

教师指出：这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫椭圆的焦距。 思考：焦点为21,F F 的椭圆上任一点M ，有什么性质？ 令椭圆上任一点M ，则有)22(22121F F c a a MF MF =>=+ （三）研讨探究，推导方程

1、知识回顾：利用坐标法求曲线方程的一般方法和步骤是什么？

M 2

F

1F

2、研讨探究

问题：如图已知焦点为21,F F 的椭圆，且21F F =2c,对椭圆上任一点M ，有

a MF MF 221=+，尝试推导椭圆的方程。

思考：如何建立坐标系，使求出的方程更为简单？

将各组学生的讨论方案归纳起来评议，选定以下两种方案，由各组学生自己完成设点、列式、化简。

方案一

22a x +22

b

y =1（0>>b a ），其中b 2 = a 2－c 2 ( b > 0 )； 选定方案二建立坐标系，由学生完成方程化简过程，可得出22a

y +22

b x =1，同

样也有a 2－c 2 = b 2 ( b > 0 )。

教师指出：我们所得的两个方程22a x +22b y =1和22a

y +22

b x =1（0>>b a ）都是椭

圆的标准方程。

（四）归纳概括，方程特征

1、观察椭圆图形及其标准方程，师生共同总结归纳

（1）椭圆标准方程对应的椭圆中心在原点，以焦点所在轴为坐标轴； （2）椭圆标准方程形式：左边是两个分式的平方和，右边是1； （3）椭圆标准方程中三个参数a,b,c 关系：222c a b -=)0(>>b a ； （4）椭圆焦点的位置由标准方程中分母的大小确定；

（5）求椭圆标准方程时，可运用待定系数法求出a,b 的值。 2、在归纳总结的基础上，填下表

M

2

F

1F

例1：指出下列方程中，哪些是椭圆的方程？若是椭圆的方程，判定椭圆的焦点在哪个轴上，求出a,b,c 以及焦点坐标．

例2：已知椭圆的焦点在X 轴，中心在原点，焦距为6，椭圆上的点到两焦点的距离和为10，

求这个椭圆的标准方程。

例3、求满足下列条件的椭圆的标准方程：两焦点的坐标分别是（-4，0）、（4，0），椭圆上

一点P 到两焦点距离之和等于10。

（六）小结归纳，提高认识

1. 椭圆的定义（注意定义中的三个条件）

2. 椭圆的标准方程（注意焦点的位置与方程形式的关系）

3. 解析几何的基本思想

（七）作业训练，巩固提高

1.P46 习题

2.1A 组第 1 题，第2题第①小题.

1

1616)1(2

2=+y x 0225259)3(22=--y x 11625)2(22=+y x 11)4(2222=++m y m x