关于线性方程组同解的条件

（５）
与
ＢＸ ＝ ０
ｂ）
同 解 ．
定理３ 齐次线性方程组（５）和（６）同解的充分必要条件是Ｒ（Ａ）一Ｒ（Ｂ）一Ｒ ），这里Ｒ（Ａ）表示
矩 阵 Ａ 的 秩 ． 推 论 １ 如果 线性 方 程 组 （１）与 （２）都 有 解 ，则 （１）与 （２）同 解 的充 分 必 要 条 件 是 Ｒ（Ａ）一 Ｒ（Ｂ）
ｌ ｌ一 ，所以口 ，口。， 线性无关， 不能由口 ，口 线性表出，故推论２不成立．
４ 应 用
１．讨 论两个 含 有相 同变 元 的齐次 线性 方 程组是 否 同解 的步 骤． （ｉ）将齐次 线性 方 程组 （５）的系 数矩 阵 Ａ利 用行 初 等变 换化 为 阶梯 型矩 阵 Ａ ；
（ｉｉ）如果 Ａ 的非 零 行 的行 数等 于 ，即 （５）只有 零 解 时 ，则 将 （６）的系数 矩 阵 Ｂ利 用 行初 等 变换 化 为 阶梯 型矩 阵 Ｂ ，如果 Ｂ 的 的非零 行 的行数 等 于 ，那 么 （５）和 （６）都 只有 零 解 ，所 以 同解 ，否则 （５）和
一 （一 ２，一 ４，一 ５，Ｏ） ＋ ｋ（１，１，２，１） （是为任 意常 数 ）．
２— ４ｍ ＋ ５一 一 ５，
（ｉｉ）将 （Ｉ）的特 解 （一 ２，一 ４，一 ５，ｏ） 代 入 （ＩＩ），得 一 ４ ＋ ５一一 １１， 因此 －２，，ｚ一４，ｔ－６．此
｛一 ５一 一 ｔ＋ １，
３ 定 理 的 证 明
定理 ２的证 明 首 先证 明如果 线性 方程 组 （１）与 （２）同解 ，则它 们 的导 出组 （５）和 （６）同解 ． 事 实 上 ，设 ’，是 （１）的一 个特 解 ，则 ｔ，也 是 （２）的一 个 特解 ．现设 ｙ是 （２）的导 出组 （６）的 任 何 一个 解 ，则 由引理 ３知 ，，＋ｙ是 （２）的一个 解 ，因此 是 （１）的一 个 解．再 由 引理 ２知 ｙ一 （ ＋ ｔ，）一ｔ，是 （１）的导 出组 （５）的一 个解 ．同理 可 证 ＡＸ＝０的任 何 一个解 也是 ＢＸ＝０的一个 解 ，故 ＡＸ：Ｏ和 ＢＸ＝Ｏ同解． 下 面证 明若 （５）与 （６）同解 ，则 （１）与 （２）同解 ．
解 （ｉ）（Ｉ）的 系 数 矩 阵
ｆ１ １ ０ — ２１
ｆｌ１ ０ ０ —１１ 经过行初等变换
１ Ｉｌ ， Ａ 一 １ ４ ～ １ — １ — １ Ｉ
０ １ ０ — １
ｆ３ — １ 一 １ ０ ｆ
【０ ０ １ — ２ Ｊ
第 ２８卷
Ｉ
ｌ
Ｂ ＝＝ ｆ ０ ５ 一 １ ～ ２ ｆ， Ｒ（口）一 ３，，
事实上，设 是（５）的任何一个解，则 也是（６）的一个解，因此Ａ ＝聊一。，所以（盒）ｙ一。，即 也
是
）ｘ一。
的一个 解 ．易知 （７）的任 何解 都是 （５）的一 个解 ，所 以（５）与 （７）同解 ．同理 可证 （６）与 （７）同解 ，故 它 们 的解 集 相 同．根 据 引理 １可得
一 Ａ）．
推 论 ２ 如果 线性 方程 组 （１）与 （２）都 有 解 ，则 （１）与 （２）同解 的 充分 必 要 条 件 是 向量 组 口 ，口 ，… ， ａ 与 ｐ１， ２，… ，ｐ ｓ等 价 ．
推论 ３ 非齐 次线 性方 程 组 （１）与 （２）同解 的充分 必要 条件 是 Ｒ（Ａ）≠ Ｒ（Ａ，厶）且 Ｒ（Ｂ）≠ Ｒ（Ｂ，ｄ），
·，Ｊ，２，… ， 等 价 ，因此 口 ，口ｚ，… ，口 与 ， ｚ，… ， 等 价 ．故 由定 理 １知 （１）与（２）同解 ． 定 理 ３的证 明 如 果 齐次 线性 方程 组 （５）与 （６）同解 ，从定 理 ２的证 明知
ＲｃＡ 一ＲｃＢ 一Ｒ（ ）．
如果Ｒ（Ａ）一Ｒ（曰）一Ｒ ），则矩阵Ａ，口， ）的行向量组的秩相等．因此根据引理４知Ａ：＝Ｒ（ ：＝：Ｒ㈢．
２ 一 些 引 理
为 了证 明定 理 ，需 要 如下 引理 ： 引 理 １ Ｅ 如果 齐次 线性方 程 组 （５）的系数 矩阵 Ａ 的秩 为 ｒ（＜ ），则 （５）的基 础 解 系 中含 有礼一ｒ 个 解 向量 ． 引 理 ２ Ｌ１ 如果 ，ｙ都是 线 性方 程组 （３）的解 ，则 卵～ｙ是 （３）的导 出组 （５）的解 ． 引理 ３［１ 如果 ｔ，是 线性 方程 组 （３）的解 ，ｙ是 （３）的导 出组 （５）的一 个解 ，则 ’，＋ｙ是 （３）的解 ． 引理 ４［ 如果 Ｒ（ａｌ， ２，… ，口 ）＝Ｒ（ａ１， ２，… ， ，， ，口ｒ＋２，… ，ａ ），则 向量 组 口１，口２，… ， 和 向量组 １， ２，… ，口 ，口 ， ，＋２，… ，口 等 价 ，这 里 Ｒ（ａｌ，口２，… ，ａ，）表 示 向量组 １， ２，… ， 的 秩．
（ ｆ ·＋ ｚ一２ｚ ＝＝＝ｏ’ Ｉ） ４ １一 ２一 ３一 Ｘ４— ０， Ｉ３ 一 ２一ｚ。：ｏ，
ｆｚ·＋ ｚ ２一 。～ —ｏ，
（ＩＩ） ｚ ２一 ３— ２ｘ４：：：０，
Ｉ 。一红 一ｏ，
１４４
大 学 数 学
（ｉ）求方 程组 （Ｉ）的通解 ；
（ｉｉ）当方 程组 （ＩＩ）中的参 数 ｍ， ，ｔ为何 值 时 ，方 程组 （Ｉ）与 （ＩＩ）同解 ？不 同解 ？
Ｘ 一 （ｚ１，ｚ ２，… ，ｚ ） ， ｂ一 （６１，ｂ２，… ，ｂ ） ， ｄ一 （ １，ｄ２，… ，ｄ ） ，
则 （１）与 （２）可写 为 矩阵 形式
ＡＮ ＝ ｂ ，
（３）
Ｂ ＝ ｄ ．
（４）
又 记
口ｆ一 （ａ ａ ２，… ，ａ ，ｂ ） （ｉ一 １，２，… ），
Ｉ ０ ０ １ 一 １／２ ｌ Ｉ
… ，ｔ， ，并令 Ｃ＝ （７１１，ｔ，２，… ，ｔ， ）（这 里 ｔ，ｌ，ｌ，２，… ，１１ 为 维列 向量 ，ｔ— — ｒ）； （ｖ）计算 聊 ，ＢＣ ，如果 Ｂ叼≠ ｄ或 ＢＣ ≠ ０ ，则 （１）和 （２）不 同解 ；如果 Ｂ’，－ｄ且 ＢＣ一０ ，则 利用 初
７ｚ～Ｒ（Ａ）： —Ｒ（Ｂ）一 一Ｒ Ａ１，
从 而
第 ３期
罗家贵 ：关 于线性 方程 组 同解 的条件
１４３
ＲｃＡ 一ＲｃＢ，：Ｒ（三）．
又 （１）与 （２）都 有 解 ，所 以
Ｒ（Ａ，６）一Ｒ（Ａ）一Ｒ（曰）一Ｒ（Ｂ，ｄ）：Ｒｆ＼Ａ１：ＲｆＡ，６１． Ｂ／ ＼Ｂ 。 ／
根据 矩 阵秩 的定 义得 ａｌ，口ｚ，… ，口 与 卢 ， ｚ，… ， 和 口 ，口ｚ，… ，ａ ， 。， 。，… ， 这三 个 向量 组 的秩 相 等．再 由引 理 ４得 窃１，ａ ｚ，… ，口 与 口 ，口２，… ， ，卢 ，芦２，… ， 等 价 ，卢１，芦２，… ， 也 和 口。，口２，… ，ａ ，
００ 与 ｛２ ｘ ￣＋ ｘ。ｚ：＝。０’不同解，因为（１，－１）ｖ是｛三 ： ， ：’的解，但不是
ｆ２ｚ１ ４－ ２一 ’的 解 ，故 定理 ２不 成立 ．又 可求 得 Ｉ２ｘ１＋ ｚ ２一
Ｒ（（ ） （（ ））： ≠Ｒ １ １
— ２ ． ２ １
２ １
可见 推论 １不 成立 ．向量组 口 ＝ （１，１，１）， ２一 （１，１，２）与 １一 （２，１，１）， ＝ （２，１，２）也 不 等 价．因 为
第 ２８卷 第 ３期 ２０１２年 ６月
大 学 数 学
ＣＯＬＬＥＧＥ Ｍ ＡＴＨＥＭ ＡＴＩＣＳ
Ｖ ｏ１．２８，№ ．３
Ｊｕｎ．２０１２
关 于线 性 方 程 组 同解 的条 件
罗 家 贵
（肇 庆 学 院 数 学 与 信 息 科 学 学 院 ，广 东 肇 庆 ５２６０６１）
［摘 要 ］ 讨 论 线 性 方 程组 同 解 的 条 件 ，得 到 了 两 个 线 性 方 程 组 同 解 的 充 分 必 要 条 件 ． ［关 键 词 ］ 线 性 方 程 组 ；矩 阵 ；秩 ；条 件 ［中 图分 类 号］ Ｏ１５１．２ ［文献 标 识 码 ］ Ｃ ［文 章 编 号 ］ １６７２—１４５４（２０１２）０３—０１４１—０５
一 （ ｌ，ｂ ２，… ，ｂ ，ｄ ） （ｋ一 １，２，… ，Ｓ），
则 有 定 理 １
如 果 口 ，口ｚ，… ，口 与 ， ｚ，… ， 等价 ，那 么线 性方 程组 （１）与 （２）同解 ．
此 定理 的逆 命题 并不 成 立 ，有 高校 的研究 生入 学考 试 的试 题 曾要求 考 生证 明此定 理 ，并举 例 说 明逆 命 题不 成立 ．作 者 曾先后 任教 于 四川 达县 师 范专科 学 校 、中 山大学 、海 南大 学和 肇庆 学 院 ，从 四校 的任 教
１ 引 言
定义 Ⅲ 两个 含有 相 同变元 的线 性 方程组 称 为 同解 ，如果 它们 解 的集合 相 等． 设 有 两 个 线 性 方 程 组
一 ｂ （ 一 １，２，… ，ｍ ）
（１）
与
若 记
∑ ｂ ｚ 一 （是一１，２，…，ｓ）．
Ｊ一 １
（２）
Ａ ：＝＝（口 ） × ， Ｂ 一 （６ ） × ，
阵 曰 ，如 果 曰 的非 零 行 的行数 等 于 ｒ，那 么 （５）和 （６）同解 （因为此 时（６）的基 础解 系 中也含 ｔ个 解 向量 ，
因此 ，ｌ ，ｔｌ。，… ，ｔｌ 就 是 （６）的一个 基础 解 系），否 则它 们不 同解 ．
例 ２ 已知 下列 齐次 线性 方程 组 （Ｉ），（ＩＩ）：
经过行初等变换
一 ２１ — ４ ｌ ，
一 ５ Ｊ
Ｒ（Ａ）一 Ｒ（ ）一 ３ ＜ ４，线 性 方 程 组 有 无 穷 多 解 ，易 见 （１，１，２，１） 是 其 导 出 组 的 基 础 解 系 ，
（一 ２，～ ４，～ ５，Ｏ） 是 方程 组 的一个 特解 ，故 方程 组 （Ｉ）的通 解为
１４２
大 学 数 学
第 ２８卷
解 时 ，口 ， ｚ，… ，口 与 ， ｚ，… ， 不 等价 ，这样 的反 例 当然举 不 出来 ，因为 有
定 理 ２ 如果 线性 方程 组 （１）与 （２）都 有解 ，则 （１）与 （２）同解 的充 分必 要 条件是 它 们 的导 出组
ＡＮ ＝＝０
（６）不 同解 ；
（ｉｉｉ）如果 Ａ 的非零 行 的行数 ｒ小 于 ，则求 出齐次 线性 方程 组 （５）的一个 基础 解 系 ｔ， ，’，ｚ，… ，＇， ， 并 令 Ｃ＝ （７１ ，＇，２，… ，ｔＩ ）（这里 ｔＩ１，叩２，… ，ｔＩ 为 ｒｔ维 列 向量 ，ｔ一，２一 ｒ）；
（ｉｖ）计 算 ＢＣ ，如果 ＢＣ≠ Ｏ ，则 （５）和 （６）不 同解 ；如 果 ＢＣ—Ｄ ，则 利用 初 等变 换将 Ｂ化 为 阶梯 型矩
行 向量组 等价 ，故 由定 理 １知 （５）与 （６）同解 ． 说 明 如 果没 有 （１）和 （２）都 有解 的条件 ，定理 ２、推 论 １和推 论 ２都 不成 立 ，参 见下 例 ．
例１线性方程组｛三：：三 ’与｛ ＝：＝三 ’都无解，因此它们同解．但是它们的导出组
ｆ ｌ＋ Ｘ ２— Ｉｚ１＋ ２：
经 历来 看 ，学生 对线 性方 程组 同解 的概念 的理 解 上存在 误 区 ，因此很 难 举 出反 例．
线性 方 程组 同解 是指 它 们 的解 的集合 相等 ，这 里应 有 两种 情况 ：
１．两个 线性 方程 组都 无 解 ，即它们 的解 集 均 为空集 ； ２．两个 线性 方程 组都 有 解 ，且 它们 的解 集 相等 ．
学 生往 往认 为 同解就 是 指 的情 形 ２，因此 他 们 想要 举 出 的反 例 是 线性 方 程 组 （１）与 （２）都 有 解 且 同
［收 稿 日期 ］ ２ｏｏ９—１２—２４； ［修 改 日期 ］ ２ＯｌＯ一０４—１６ ［基 金项 目］ 广 东 省 高 校 人 才 引进 基 金 资 助 项 目 ；海南 省 教 育 厅 自然 科 学 基 金 资 助 的 项 目 （Ｈｊ２００７５４）