可降阶的高阶微分方程

dy 4(1 x3 )dx y x4 4x C2
再由初始条件
y x0
1,
知C2 = 1
故所求解为
y x4 4x 1
6
可降阶的高阶微分方程
三、y f ( y, y) 型的方程
特点 方程缺自变量x
解法 设 y dy p dx
p p( y) p( y(x ))
则
y
d2 y dx 2
如果其通解为 p p( x,C1 ),则由 y p( x,C1 )
再积分一次, 可求出原方程的通解
y p( x,C1)dx C2
4
可降阶的高阶微分方程
例
解方程
y

3x 1
2 y x3
y x0 1, y x0 4
解 因方程中不含未知函数y, 属y f ( x, y)型
令 y p, y p, 代入原方程, 得
导数 y.
两边积分 y(n1) f ( x)dx C1
再积分
y(n2) [ f ( x)dx C1]dx C2
……
接连积分n次,得到含有n个任意常数的通解.
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可降阶的高阶微分方程
例 求解方程 y e3x cos x
解 将方程积分三次, 得
y
1 3
e3x
sin
x
C1
y
1 9
e3x
p
3x 1
2p x3
p的可分离变量的一阶方程
dp p
3x2 1 x3
dx
ln p ln(1 x3 ) lnC1
p C1(1 x3 ) 由初始条件 y x0 4
知C1=4, 所以 y 4(1 x3 ) y的分离变量方程
5
可降阶的高阶微分方程
y
3 1
x
2 y x3
y x0 1, y x0 4
dy dx
C1 y 1
dy dx C1 y 1
2 C1
C1 y 1 x C2
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可降阶的高阶微分方程
属y f ( y, y)型
例 求方程 yy y2 0 的通解.
解 设 y p, 则 y p dp , 代入原方程
dy
y
p dp dy
p2
0,
即
p(
y
dp dy
p)
0
由 y dp p 0，可得 dy
p
C1
y, dy dx
C1 y
原方程通解为 y C2eC1x
12
可降阶的高阶微分方程
四、小结
三种类型的可降阶的高阶微分方程 解法: 通过代换将其化成较低阶的方程来求解.
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可降阶的高阶微分方程
作 业（信）
习题12-6 1.(2)(3)(6) 2.(2)(3)(6) 3.
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作 业（工） 习题12-7
cos
x
C1 x
C2
y
1 27
e3 x
sin x
C1 x2
C2 x
C3
最后得到的就是方程的通解.
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可降阶的高阶微分方程
二、 y f ( x, y) 型的方程
特点 方程缺y.
解法
设
y
p,
y dp dx
p. 将p作为新的
未知函数，则方程变为 p f (x ,p )
这是一个关于变量 x, p 的一阶微分方程.
解 设 y p, 则 y p dp , 代入原方程
p dp 1 p2
dy 可分离变量方程
dy 2 y
2 pdp 1 p2
dy y
ln(1
p2 ) ln
y lnC1
1 p2 C1 y p C1 y 1
即 dy dx
C1 y 1
可分离变量方程
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可降阶的高阶微分方程
1.(2)(3)(6) 2.(2)(3)(6) 3.
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dp dx
dp dy dy dx
p dp , dy
方程变成
p dp dy
f
( y,
p).这是关于变量y
,
p
的一阶方程.
设它的通解为 y p ( y,C1). 分离变量并积分,
得通解为
dy
( y,C1) x C2
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可降阶的高阶微分方程
属y f ( y, y)型
例 求方程 y 1 y2 的通解. 2y
第三节 可降阶的高阶微分方程
y(n) f ( x) 型的方程 y f ( x, y) 型的方程 y f ( y, y) 型的方程
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第十二章 微分方程
可降阶的高阶微分方程
一、 y(n) f ( x) 型的方程
特点 左端 是未知函数 y 的n 阶导数,右端是
自变量x的一个已知函数,且不含未知函数 y 及其