方差协方差矩阵中文翻译

第二部分：投资组合模型

第十章：计算方差-协方差矩阵

10.1 本章概述

要计算有效投资组合，必须要计算收益数据的方差-协方差矩阵。本章中，我

们将在EXCEL中实现这个计算。其中最显而易见的是计算样本的方差协方差矩阵。这是直接由历史收益计算而得来的矩阵。我们介绍几种计算方差-协方差的方法，包括在电子表格中使用超额收益矩阵直接计算。

即使样本的方差-协方差矩阵看起来像一个明显的选择，但我们用大量的文字

说明它也许不是方差和协方差最好的估计。样本的方差协方差矩阵有两个明显的缺陷：一是它常使用不现实的参数，二是它难以用于预测。这些将在10.5和10.6中讨论。作为样本矩阵的替换，第10.9和第10.10节将讨论用于优化方差协方差阵估计得压缩方法。

10.2 计算样本的方差-协方差矩阵

假设我们有N个资产在M期上的收益数据。我们可以将资产i在时间t的收益

写为r it

。资产i的平均收益写为。那么资产i和资产j收益协

方差的计算就为

这些协方差的矩阵为样本的方差-协方差矩阵。我们的问题就是要有效地计算

这些协方差。定义超额收益矩阵为：

A的每一列减去每项资产的平均收益，该矩阵的转置为

A T乘以A再除以M-1得到样本的方差-协方差矩阵

考虑到计算方面，我们使用股票数N=6，年数M=11的年收益数据，下面的电子表记录了价格数据（股利调整后）及计算出的收益。

我们用数字例子来说明计算方差-协方差矩阵的矩阵方法。我们通过减去资产各自的平均收益，得到超额收益矩阵（下面的表格中42到52行）在第55-61行中我们计算样本方差-协方差矩阵。

10.2.1一个稍微更有效率的替代方法

正如你所期望的那样，的确存在其他计算方差-协方差矩阵的可选方法。这里讲的方法跳过了超额收益的计算，并且直接使用单元格B71:B76中的公式进行计算。他通过使用数组函数

=MMULT(TRANSPOSE(B23:G33-B35:G35),B23:G33-B35:G35)/10.通过写B23:G33-B35,我们直接将每项收益减去平均收益得到超额收益向量。

10.3我们应该是除以M还是M-1?EXCEL与统计量

在前面的计算中，我们是除以M-1而不是M，一次得到无偏的方差-协方差估计。不过这个选择似乎没有多大的影响。我们引用主流教材:对于为什么除以M-1取代M这儿有一段很长的历史。如果你在计算一个分布的方差时，这个分布存在已知的先验的均值，而不需要从历史数据估计的时候，那么M-1应该变回M EXCEL本身某些程度上除以M-1还是M这个问题上也是很混乱的。在下面的表格中我们介绍了几种计算均值，方差，标准差和协方差的方法。

EXCEL区分总体方差（Varp, 除以M），样本方差（Var,除以M-1)，以及总体和样本标准差（分别为Stdevp和Stdev).但是EXCEL并没有在协方差函数中作此区别。你可以看到单元格B30中Covar除以M，和VARP 一样。如果你想得到一个相应的除以M-1的协方差函数，那么你得像单元格B33那样用COVAR乘以

M/M-1,或者你需要使用像单元格B32那样的数组函数

=MMULT(TRANSPOSE(B3:B13-B16),C3:C13-C16)/10，如果EXCEL是完全合理的，他应该有两个函数：covarp,它除以M，以及covar,它除以M-1（对应VAR或STDEV) 困惑了吗？没关系！正如本部分开始的教科书引用指出的那样，他不是一个至关重要的问题。

10.4 计算全局最小方差投资组合

方差-协方差矩阵两个最突出的作用是用于寻找全局最小方差投资组合（GMVP)和有效投资组合。这两种方法均揭示了使用样本数据所产生的问题，第10.7-10.10节为我们做了必要的介绍，讨论替代样本方差-协方差矩阵的方法，本节中我们讨论GMVP。

假设我们有N个资产，它有方差-协方差矩阵S。GMVP即在所有可行的投资组合中拥有最小方差的投资组合.最小方差投资组合定义为：

这个公式是由MERTON提出的。最小方差投资组合特别吸引人的地方在于它是有效前沿上的唯一的投资组合，计算时不需要资产的期望收益，该最小方差投资组合的均值和方差分别为

以下是这些公式在特定例子中的实施。

应注意，以上6只股票的GMVP包含两个空头（BA和MSFT）且在GE及IBM上有一个非常大的正向头寸。这是一个潜在的不主张使用样本方差-协方差矩阵计算GMVP的例子，一个寻找最小方差的投资者是不会将77%的BA和10%的MSFT 的卖空所得资金，投放到投资组合的61%的GE和100%的IBM上去的。这些用样本方差-协方差矩阵计算产生的不合理的投资组合使得我们必须寻找各种其他方法来计算该矩阵，它们将在第10.7-10.9节中讨论。但在进入这些主题之前，我们还是先讨论有效投资组合的计算。

10.5计算相关系数矩阵

在接下来的电子表格中我们给出了相关系数矩阵。在调查期内，最大的相关系数（通用汽车公司和波音公司）之间为0.89，检查该矩阵显示一些非常大且不像真实的相关系数，有6个相关系数大于0.5.这是难以置信的，最小的相关系数（波音公司和家乐氏公司）为-0.1，这也许也是个问题，当波音公司的收益上升时，谷类食品销量会下降？

10.7样本方差-协方差矩阵的替代方法：单指数模型

样本方差—协方差矩阵很容易由历史数据计算得到，但是正如上一节所讨论那样一-它有它自身的问题。特别的，样本方差-协方差矩阵会使预测GMVP变得异常困难，而且用它优化投资组合常会导致不合理的资产头寸（多头和空头都有）。在本节和下一节中，我们将用几种使用样本矩阵的替代方法，这些方法有两个共同的特征：

①它们不需要考虑方差-它们将从样本方差中计算而得。

②它们改变该方差--协方差矩阵的协方差元素。

10.7.1 单指数模型(市场模型）

单指数模型（SIM）的初衷为试图简化计算方差-协方差矩阵计算的复杂性。模型