电磁学课件：3 安培环路定理

导线半径为R，电流I均匀地通过 横截面
轴对称(利用B是轴矢量分析）
取环路：分两种情况
r R,
I内
I,B
0I 2r
电流 密度
r R,
I内
I
R 2
r
2,
B
0 Ir 2R 2
载流长直螺线管内的磁
场 p125 例题7
密绕，L>>R，忽略螺距；
无穷远处 磁场为0
B是轴矢量，垂直于镜面；
论证管外B=0
可看成是场点坐标rபைடு நூலகம்的函数
坐标r2的函数
泰勒展开
' dl2 代入前式
B(r2 ) dl2
0I 4
dl2
B 0I 4
反映了载流线圈与磁偶极子是等价的 两个讨论磁化的模型是等价的 在下面证明安培环路定理时直接引用
安培环路定理表述和证明
表述：
磁感应强度沿任何闭合环路L的线积分，等于
• dl 、r、v、F、E 、P
轴矢量：与镜面垂直分量不变，平行分量反向
两个极矢量叉乘＝轴矢量
由毕奥－萨伐尔定律决定
dl r
B是轴矢量
推论：镜面对称的载流系统在镜面处产生的 磁感应强度垂直于镜
安培环路定理应用举例
无限长圆柱形载流导体磁场 载流长直螺线管内的磁场 载流螺绕环的磁场
无限长圆柱形载流导体磁场 p123 例题6
管外即使有磁场也是沿轴向的；
作回路如a，可以证明p 点B=0;
求管内任意P点的磁场
nIa
Ba
B dl 0Ii
L
S内
0
Bdl Bdl Bdl Bdl Bdl B 0nI
L
P
载流螺绕环的磁场 p125 例题8
密绕，匝数：N，电流：I
利用B是轴矢量的特征分析 场的对称性：
磁感应线与环共轴
B dl B 2r 0 Ii 0NI
L
S内
R>>d
n
N
2R
,B
0nI
B 0NI 2r
形式上与无限长螺 线管内磁场一样
例题：
一根半径为R的无限长圆柱形导体 管，管内空心部分半径为r，空心 部分的轴与圆柱的轴平行，但不 重合，两轴间距为a，且a>>r，现 有电流I沿导体管流动电流均匀分 布，电流方向如图求：
p1
p2
( L1 )
( L2 )
如果，安培环路与载流回路 不套连，则环绕它一周立体 角回到原值，积分为 0
运用叠加原理，推广到多个 载流回路
空间所有电流 产生的磁感应 强度矢量和
B dl 0 I
L
L内
穿过闭合环 路的电流
磁感应强度是轴矢量
镜像反射的变化规律
极矢量：与镜面平行分量不变，垂直分量反向
B(r2 ) dl2
0I 4
(L1 )
dl2
(dl1 r122
rˆ12 )
0I 4
(L1 )
(dl2
dl1) rˆ12 r122
运用A (B C) (A B) C
设想P有一 小位移dL2
B(r2 ) dl2
0I 4
( L1 )
(dl2
dl1) rˆ12 r122
rˆ12 r122
rˆ21 r221
0I 4
( L1 )
(dl2
dl1) rˆ21 r221
0I d 0I
4 (L1)
4
整个线圈在位移 -dL2扫过的环带 对场点p所张
的立体角
灰色面 元所对 立体角
:曲面S 对P点所 张立体角
‘:曲面S’对 P点所张立
体角
也可理解为场点
P作平移dL2引
起立体角变化
' 0, '
穿过这环路所有电流强度的代数和的0倍
B dl 0 I
L
L内
I I1 2I2
L内
证明
L与载流回路套连
从毕奥—萨伐尔定律出发
先考虑单回路 再推广
L2穿过S时B是连 续且有限的，
P2
P1
——0
B dl B dl B dl
载流回路为 边界的曲面S
(L)
p1
p2
( L1 )
安培环路定理
载流线圈与磁偶极层的等价性 安培环路定理的表述和证明 磁感应强度是轴矢量 安培环路定理应用举例
载流线圈与磁偶极层的等价性
证明闭合载流线圈产生的磁
场正比于线圈回路对场点所
张的立体角的梯度
B(r2 )
0I 4
( L1 )
dl1 rˆ12 r122
L1在P点产生 的磁感应强度
相当于P不动线 圈作-dL2位移
洞内的B 洞中心O’及大圆柱内一点的B
在哪些情况下可以用安培环路定 理求B？
( L2 )
P2 B dl 0I
P2
dl
p1
4 p1
B 0I 4
L1：P1 从上到下 P2 L2：P2 从下到上 P1
( L1 )
( L1 )
曲面两侧两点无限趋近曲
0I 4
(2
1)
0I 4
4
0I
面时，立体角趋近于4
P2
P1
B dl B dl B dl 0I
(L)