椭圆的第二定义(含解析)

课题：椭圆的第二定义

【学习目标】

1、掌握椭圆的第二定义；

2、能应用椭圆的第二定义解决相关问题；

一、椭圆中的基本元素

（1）.基本量: a 、b 、c 、e

几何意义： a-半长轴、b-半短轴、c-半焦距，e-离心率；

相互关系： a

c e b a c =

-=,222 （2）.基本点：顶点、焦点、中心

（3）.基本线: 对称轴

二．椭圆的第二定义的推导 问题：点()M x y ，与定点(0)F c ，的距离和它到定直线2:a l x c =的距离的比是常数(0)c a c a

>>，求点M 的轨迹． 解：设d 是点M 到直线l 的距离，根据题意，所求轨迹就是集合MF c P M d a ⎧⎫⎪⎪==⎨⎬⎪⎪⎩⎭|

c a =． 将上式两边平方，并化简得22222222()()a c x a y a a c -+=-．

设222

a c

b -=，就可化成22

221(0)x y a b a b +=>>． 这是椭圆的标准方程，所以点M 的轨迹是长轴长为2a ，短轴长为2b 的椭圆．

由此可知，当点M 与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数(01)c e e a

=<<时，这个点的轨迹是椭圆，一般称为椭圆的第二定义，定点是椭圆的焦点，定直线叫做椭圆的准线，常数e 是椭圆的离心率． 对于椭圆22221(0)x y a b a b +=>>，相应于焦点(0)F c ，的准线方程是2

a x c

=．根据椭圆的对称性，相应于焦点(0)F c '-，的准线方程是2

a x c

=-，所以椭圆有两条准线． 可见椭圆的离心率就是椭圆上一点到焦点的距离与到相应准线的距离的比，这就是离心率的几何意义．

【注意】:椭圆的几何性质中,有些是依赖坐标系的性质(如:点的坐标\线的方程),有些是不依赖坐标系、图形本身固有的性质(如:距离\角),要注意区别。

中心到准线的距离：d=c a 2 焦点到准线的距离：d=c a 2-c 两准线间的距离：d=2c

a 2

三．第二定义的应用

1、求下列椭圆的焦点坐标和准线

（1）136

1002

2=+y x （2）822

2=+y x 2、椭圆 136

1002

2=+y x 上一点P 到右准线的距离为10,则:点P 到左焦点的距离为( )

A.14

B.12

C.10

D.8

3、若椭圆的两个焦点把两准线间的距离三等分,则:离心率e=______；

4、离心率e=22,且两准线间的距离为4的椭圆的标准方程为________________________；

5、若椭圆的短轴长为2,长轴是短轴的2倍,则:中心到准线的距离为____________；

6、求中心在原点,一条准线方程是x=3，离心率为

3

5 的椭圆标准方程.

7、椭圆方程为164

1002

2=+y x ,其上有一点P ,它到右焦点的距离为14,求P 点到左准线的距离.

8、已知椭圆22

143

x y +=内有一点(11)P F -，，是椭圆的右焦点，在椭圆上有一点M ，使2MP MF +的值最小，求M 的坐标．（如图）

分析：若设()M x y ，，求出2MP MF +，再计算最小值是很繁的．由于MF 是椭圆上一点到焦点的距离，由此联想到椭圆的第二定义，它与到相应准线的距离有关，故有如下解法．

解：设M 在右准线l 上的射影为1M ．

由椭圆方程可知12312a b c e ====

，，，． 根据椭圆的第二定义，有112MF

MM =，即112

ME MM =．12MP MF MP MM +=+∴． 显然，当1P M M ，，三点共线时，1MP MM +有最小值．过P 作准线的垂线1y =-．

由方程组

22

3412

1

x y

y

⎧+=

⎨

=-

⎩

，

，

解得1

M

⎫

-⎪⎪

⎝⎭

．即M的坐标为1

⎫

-⎪⎪

⎝⎭

．