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第六章定积分的应用
习题6-2 (A) 1．求下列函数与x 轴所围部分的面积：
(1) y x 2 6x 8, [0, 3]
( 2) y 2x x2 , [ 0, 3]
2．求下列各图中阴影部分的面积：
1.
图 6-1
3．求由下列各曲线围成的图形的面积：
(1) y e x , y e x与x1;
( 2) y ln x 与 x 0, y ln a, y ln b (b a 0) ;
(3) y 2x x2与 y x , y 0 ;
( 4) y 2 2 x , y 2 (x 1) ;
(5) y 2 4(1 x) 与 y 2 x , y 0 ;
(6) y x2 与 y x , y 2x ;
(7) y 2 sin x , y sin 2x (0 x ) ;
(8) y x 2
,
x 2 y 2 （两部分都要计算）
;
2 8
4．求由曲线y ln x 与直线 y 0, x e 1 , x e 所围成的图形的面积。

5．求抛物线y x 2 4 x 3 及其在点 (0, 3) 和 (3, 0) 处的切线所围成的图形的面积。

6．求抛物线y 2 2 px 及其在点 ( p
, p) 处的法线所围成的图形的面积。

2
7．求曲线x y a 与两坐标轴所围成的图形的面积。

x 2 y 2
1 所围图形的面积。

8．求椭圆
2 b 2
a
9．求由摆线x a(t sin t), y a(1 cost ) 的一拱（0 t 2 ) 与横轴所围图形的面积。

10．求位于曲线y e x下方与由该曲线过原点的切线的左方及x 轴之间的图形的面积。

11．求由下列各方程表示的曲线围成的图形的面积：
(1) 2a sin (a 0) ;
( 2) 2a (2 cos ) (a 0);
(3) 2 2 cos 2 （双纽线） ;
12. 把抛物线y2 4ax 及直线 x x
( x 0 0) 所围成的图形绕x 轴旋转，计算所得旋转抛物体的体积。

13. 由 y x 3 , x 2 , y 0 所围成的图形，分别绕x 轴及 y 轴旋转，计算所得两个旋转
体的体积。

14．求下列已知曲线所围成的图形，按指定的轴旋转所产生的旋转体的体积：
(1) y ach x
0, x a , y 0 , 绕 x 轴 ;
与 x
a
( 2) y sin x 与 y 2x , 绕 x 轴 ;
(3) y sin x 与 y cos x (0 x ) , 绕 x 轴 ;
2
( 4) y ln x , 与 x 2 , y 0 绕 y 轴 ;
(5) y 2x x2 与 y x , y 0 绕 y 轴 ;
(6) ( x 5)2 y 2 16 , 绕 y 轴 ;
15. 求由抛物线y 2 4(1 x) 及其在 (0, 2) 处的切线和x 轴所围的图形绕 x 轴旋转
产生的旋转体的体积。

16. 求 x 2 y 2 4, x 3 y 2所围图形绕x 轴旋转所得旋转体的体积。

17. 一立体以椭圆x 2 y2
1 为底，垂直于长轴的截面都是等边三角形( 图 6 2)，100 25
求其体积。

18. 求底面是半径为 R 的圆，而垂直于底面上 一条固定直径的所有截 面都是等边三角形的立 体体积。

19. 计算曲线 y ln x 上相应于 3 x 8 的一段弧的长度。

20. 计算曲线 y
x
(3
x) 上相应于 1
x
3 的一段弧 ( 6 3) 的长度。

3
21. 求对数螺线
e a 相应于
0 到 的一段弧长。

22. 求曲线
1 相应于
3 到 4
的一段弧长。

4
3
x arctant
23. 求曲线 1
上自 t
0 到 t
1 的一段弧长。

y ln(1 t 2)
2
24. 求摆线 x 1 cost, y t sin t 上相应于 0 t 2 的一拱的长度。

习题 6-2 (B)
1．求由下列各组曲线围成的图形的公共部分的面积：
(1)
3a 与 2a cos ;
( 2)
3 cos
与
1 cos
;
(3)
2 sin
与 2
cos 2
;
2. 假设曲线 L 1
: y 1 x 2
(0
x 1) 与 x 轴和 y 轴所围区域被曲线
L 2 : y ax 2 分成面积相等
的两部分 ( 图 6 4)，其中 a 是大于零的常数，试确 定 a 的值 。

3. 用积分方法证明 图 6 5 中球缺的体积为
V
H 2 ( R
H
) .
3
2 4. 一铁铸件，其形状为两
抛物线 y
x
, y
1
x 2
1 与直线 y
10 围成的图形绕 y 轴旋转
10
10
而成的旋转体，铁的密 度是 7. 8 ( g / cm 3 ，求铸件的质量。

)
5. 求 y x , y 2 及 x 0 所围成的图形 绕
(1) x 轴； ( 2) y 轴； (3) 直线 y ； ( 4) 直线 x 4
2
旋转而成的旋转体的体 积。

6. 求 x
2
y 2
a 2 , 绕 x
b (b a
0) 旋转所成旋转体的体积 。

7. 求第一象限内由曲线
x
y
y 3 和 y 轴围成的平面图形绕直线
y 1 旋转而成的旋转体
的体积 。

8. 求由摆线 x a (t sin t ), y a(1 cost) 的一拱（0 t 2 ) 与 x 轴所围图形绕直线y 2a 旋转
而成的旋转体的体积。

9. 证明由平面图形0 a x b, 0 y f ( x) 绕 y 轴旋转而成的旋转体的体积为
b
2x f ( x) dx .
a
10. 在摆线 x a (t sin t), y a (1 cost ) 上求分摆线第一拱的弧段长为 1 : 3 的分点坐标。

11. 求抛物线y 1 2
被圆 x 2 y 2 3 所截下的有限部分的弧长。

x
2
12. 计算半立方抛物线y 2 2 ( x 1) 3被抛物线 y 2 x 截得的一段弧的长度。

3 3
13. 证明曲线y sin x ( 0x 2 ) 的弧长等于椭圆x 2 2y 2 2 的周长。

2 2 2
14 . 求由星形线 x 3 y 3 a 3 (或 x a cos
3 t ，y a sin 3 t , a0)
(1)所围成的图形的面积；
( 2) 所围成的图形的绕x 轴旋转而成的旋转体体积；
( 3) 整个弧长。

15. 利用元素法证明由xoy 平面上一段曲线弧y f (x) , ( f ( x) 0, 0 x b ) 绕 x 轴旋转一周
产生的曲面（称为旋转曲面）的表面积（或称为旋转体的侧面积）为
b
f 2 (x) dx .
2 f (x) 1
a
并利用此公式证明半径为 R 的球体的表面积为 4 R
2 .
习题6-3 (A)
1.由实验知道，弹簧拉伸过程中，需要的力 F（单位： N）与伸长量 s（单位： cm）成正比，
即F ks （ k 是比例系数），计算把弹簧拉伸 6 (cm) 所作的功。

2. 直径为20( cm) ，高为 80 (cm) 的圆柱体内充满压强为10 (N / cm2 ) 的蒸汽，设温度保持不变，
要使蒸汽体积缩小一半，问需作多少功。

3. 一物体按规律x ct 3作直线运动，介质的阻力与速度的平方成正比，计算物体由x0
移至x a 时，克服阻力所作的功。

4.用铁锤将一铁钉击入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉击入木板的深度成正比，在
击第一次时，将铁钉击入木板 1 (cm)；如果铁锤每次打击铁钉所做的功相等，问锤击第二次时，铁钉又击入多少？
5. 半径为 R ( m) 的半球形水池，其中充满了水，问把池内的水完全吸尽，至少做多少功？
6 . 设一正圆锥形贮水池，深 15 ( m) ，口径20 ( m)，水面离池口有 1 (m)，若要将水从池口全部
吸尽，需要做多少功？
7 . 设沙的比重为 2 g( kN / m3 )，现要堆成一个半径为R ( m)，高为h (m ) 的圆锥形沙堆，
问至少做多少功？
8. 一底为 8 (cm) ，高为 6 (cm) 的三角形薄片，垂直沉
没在水中，顶在上离水 面 3 (cm)，底在下
且底边与水面 平行，试求它每面所受
水压力的大小。

9. 水坝中有一直立的矩形 闸门，阔 10 (m) ，高 6 (cm) ，闸门上边平行于水面 ；
(1) 求水面在闸门顶上 8 (m) 时，闸门所受的水压力 ； (2) 欲使闸门所受的压力加 倍，水面应升高多少？ 10. 一根长为 l ，线密度为
的均匀细直棒，在棒的 一端垂直距离为 a 单位处有一质量
为 m 的质点 M ，试求这细棒对质点
M 的引力。

习题 6-3 (B)
1. 半径为 R (m)的球沉入水中，球的上部
与水面相切，球的比重 与水相同，现将球从水
中
取出，需做多少功？若 球的比重是水的两倍， 问所做的功是多少？
2. 设有一个由抛物线 y x 2 绕其对称轴旋转而成的 容器，容积为
72 ( cm 3
)，盛满了水，
现在要将水抽出
64 (cm 3
，问需做多少功？
)
3. 等腰三角形薄片垂直沉 没在水中，其底与水面 相齐，薄板的高为 h , 底为 a, 水比重为 1 (1) 计算薄板一侧所受的水 压力；
(2) 若倒转薄板，使顶点与 水面相齐，而底平行于 水面，则水对薄板一侧 的压力增加多少？
4. 有两根匀质细杆，长度
均为 l ，位于同一直线上，相
间距离为 a ， A 杆密度为
， B 杆密度
为 ，求两细杆之间的引力。

习题 6-4
1. 某产品的边际成本 P 为产量 x 的函数
P( x) 100
0.002 x
求产量从 1000 到 2000 时成本的增加量。

2. 某产品生产
x 个单位时，总收入
R 的变化率（边际收入） 为
R (x)
200
x
， ( x 0)
100
(1) 求生产 50 个单位时的总收入；
( 2) 若已经生产了 100 个单位，则求再生产
100 个单位时的总收入。

3. 已知某产品的边际收益 是
R (x) 25 ，边际成本是
C ( x) ，固定成本是
2 x 1
3 4x
，求当
x 5 时的毛利和净利。

C 0 10
提示：净利
毛利－固定成本
4. 设某种产品每天生产 x 单位的固定成本为 20 元，边际成本函数为
（元 / 单位），求总成本函数
C ( x); C ( x) 0.4 x 2
如果这种产品规定的销 售单价为 18 元，且产品可以全部售 出，求总利润函数 L ( x)， 并问每天生产多少单位 时才能获得最大利润。

5 . 设某产品的边际收益是
（万元 / 百台），边际成本是
x
（万元 / 百台），
R ( x) 8 x
C ( x) 4
4
求 (1) 产量从 1 百台增加到 5 百台的与总收入与总成 本的增量；
(2) 产量为多少时，总利润 最大 ？
(3) 已知不变成本 C (0) （万元），求总成本、 总利润与产量 x 的函数关系式；
1
(4) 利润最大时的总成本与 总收入。

1
6. 已知某石油公司的收入 率（以每年亿元为单位） 为 R (t ) 9 t 3 （时间 t 以年为单位）
1
相应的成本率为 C (t) 1
3 t 3 , 试判断该石油公司应连 续开发多少年？并问在 停止
开发时，该公司所获总 利润为多少？
7. 某商品的需求量 Q 为价格 p 的函数，假设该商品的
最大需求量为 1000，已知需求量的
1 p
变化率（边际需求） 为 Q ( p)
1000 ln 3
，求需求量 Q 与价格 p 的函数关系。

3
8. 已知某商品的需求量 Q 对价格 p 的弹性
p ，而市场对该商品的最 大需求量为
4
p
400，试求需求函数和总收 入函数。

总习题六
一、选择题
1. 曲线 y f (x) 与 x
a, x
b 所围成的图形的面积 A (
) .
( A)
b f (x)dx ; ( B) b
a
f ( x)dx ;
a
(C)
b
f ( x) dx ; (D )
b
f ( x)dx
a f ( x) dx .
a
0 0
2. 连续曲线 y
f 1 ( x) , y
f 2 ( x) 与 x
a, x
b 所围图形绕 x 旋转所得旋转体的体积 V ( ).
b
[ f 22 ( x) f 12 ( x)] dx ;
b
f 22 ( x)] dx
( A) a (B)
[ f 22 ( x)
;
a
b
f 1 ( x)] 2
dx ;
b
f 22 ( x) dx .
(C)
a
[ f 2 ( x) ( D ) a
f 22 (x)
3. 双纽线 ( x 2 y 2 ) 2 x 2 y 2
(
cos 2 ) 所围成的面积 A ( ) . ( A) 2
2
cos2 d ;
(B) 2
4 cos2 d ;
(C) 2
4 cos2 d ;
(D ) 1
4
(cos 2 )2 d .
2 0
4. 横截面为 S，深为H 的水池装满水，把水全部抽到离池口高为 h 的水塔上，
则所作功 W ( ).
H h
( A)
0 S (h H y) dy ; (B )
S( h H y) dy ;
(C ) H
S (h y ) dy ; ( D )
H h
S (h H y) dy .
0 0
5. x 轴上有一线密度为常数长度为 l 的细杆，有质量为 m 的质点位于杆的延长线上
且到右端的距离为a，已知引力系数为k ，则质点和细杆之间的引力大小为 ( ) .
0 km
x) 2 dx ;
l km
( A) l (a ( B )
0 (a x )2 dx ;
0 km l km
(C ) 2 2 dx ; (D ) 2 2 2 dx .
l
( a x) 0 ( a x)
2
二、填空题
1. 曲线 y x
1
2 及 y 2 所围成的平面图形的面积为 _______ .
, x
x
3
2. 曲线 y sin 2 x (0 x) 与 x 轴围成的图形绕x 轴旋转所成旋转体的体积为 _______ .
3. 质点以速度 t sin t 2 (米 / 秒 ) 作直线运动，则从时刻t1 秒到 t2 秒内质点
2
经过的路程为 _______ 米。

4. 函数 y
x 2 1
,
3
在区间 [ ] 上的平均值为 _______ .
1 x
2 2 2
三、计算题
1. 求曲线y x2x 2与x轴所围部分的面积。

2. 求曲线 y x 的一条切线l , 使该曲线与切线l 及直线 x 0, x 2 所围成图形面积为最小。

3．考虑函数y x2 , 0 x 1, 问
(1) t 为何值时，图中( 图 6 7) 中阴影部分的面积S1与 S2之和 S S1 S2最小？
( 2) t 为何值时，面积S S1 S2最大？
4. 求曲线
y x 2 2 x, y 0, x 1, x 3
所围成的平面图形的面积，并求该平面
S
图形绕 y 轴旋转所成的旋转体的体积 V。

5. 求曲线 y e x 与 x 轴之间位于第二象限的平面图形的面积及此图形绕 y 轴旋转所成的
旋转体的体积。

6. 设抛物线 y
ax 2
bx c 过原点，当
0 x 1, y
，又已知该抛物线与
x 轴及直线
x
1 所围图形的面积为
1
, 试确定 a, b, c, 使此图形绕 x 轴旋转而成的旋转体的 体积 V
3
为最小。

7. 求心形线 a (1 cos ) (a 0) 的全长。

8. 已知某产品的边际成本
函数和边际收入函数分
别为
C (x) x 2
4 x 5,
R ( x) 20 2 x ， 求
(1) 使总利润最大时的产量
；
(2) 当产量由 4 减到 2 时，总收入和总成本各 减少多少？。