用代数方法解决平面几何问题
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用代数方法解决平面几何问题
摘要:某些几何问题由于条件隐晦,技巧性处理难度较大。本文提出用代数的方法去解决此类平面几何问题,通过坐标系将几何条件转化为坐标的数量关系式,既可以避免添加过多的辅助线,又为解题提供了更为灵活的思路和途径,简捷明快,化难为易。
关键词:代数方法坐标系几何问题
在解几何问题时,解题者利用初等几何有关的定义、定理处理一般情况下还远远不够,需要添加一定的辅助线,并且发掘题中的隐含条件等高技巧的特殊方法进行处理。由于结题者往往把自己的思维局限在结合问题的单一的思维定势中,因而对于较复杂的几何题总是会推理论证思路不清,线索不明。
基于以上情况,本文提出一种全新的解题思路,即采用代数的方法来解决某些几何问题。在解题时,将有关的几何关系按照它们之间的联系用数量关系式表达后,通过建立直角坐标系或极坐标系转化为坐标形式加以解决,使解题的思路变得清晰简单,同时可以化难为易。
代数方法即平面解析的方法,是借助平面坐标系利用代数坐标来研究平面图形的性质。平面上建立坐标系(直角坐标系或极坐标系)后,点与有序实数对(a,b)建立了一一对应关系,平面内的点均可用坐标系表示出来,直线和圆分别对应与某确定的二元方程,从而平面图形的性质可以表示为图形上点的坐标之间的关系,特别是代数关系,以此实现几何问题与代数问题的相互转化。
据此,代数方法求解几何问题一般步骤为:
(1)选择恰当的坐标系,使题中某些点的坐标、直线等的方程呈较简单的代数表达形式.
(2)根据题目已知条件(必要时可以进行条件假设),运算求出相关的点的坐标以及直线的方程.
(3)从已知条件出发,以求证的结论为目标,通过定理公式运算、推理出要证的结果。
1.建立合适的直角坐标系
例1 证明:三角形的三条高交于一点.
已知AD,EF,CF分别是△ABC的三边上的高,求证:AD,BE,CF 相交于一点.
证明如图1所示,以BC边x为轴,BC边上的高AD为y轴建立直角坐标系.不防设A,B,C的坐标分别为A(0,a)B(b,0)C(c,0)根据斜率公式得,KAB=- ,KCA=-,KBC=0 ,又根据两直线垂直的充要条件及直线点斜式方程,容易求出三条高所在的直线方程分别为AD:x=0,BE:cx-ay-bc=0,CF:bx-ay-bc=0.
这三个方程显然有公共解,x=0 ,y=-,从而证明了三角形的三条高相交与一点。
例2 如图2,在ABC中,AD⊥BD于D,且CD=AB+BD,求证∠ABC=2∠ACB.
证明以BC,DA所在直线为坐标,建立直角坐标系,设A(0,),B (-b,0),D(0,0),则
AB= 由CD=AB+BD得出C点坐标(b+ ,0)
故tan∠ABC=kAB=
又∠ABC及∠ACB均为锐角,
所以∠ABC=2∠ACB.
2.利用已知巧设参数
例3 M 为等腰△ABC底边AC的中点,MH⊥BC于H,P是MH的中点,求证:AH⊥BP.
证明如图3,以点M为原点建立直角坐标系,设AC=4,∠C=θ,则A(-2,0),B(0,tanθ),H(2sin2θ,2sinθ·cosθ),故P(sin2θ,sinθ·cosθ)则
故AH⊥BP.
3.选择合适的极坐标系
例4 在∠A内有一定点P,过P作直线交两边于B、C,问+何时取到最大值?
解:以点P为原点,如图4建立极坐标系,设∠C=α+β,PA=ρ0,∠APB=θ,故B(ρB,θ),C(ρC,π+θ)则
==由上式可知,当θ=90°,即AP⊥BC时,+取到最大值。
综上所述,代数方法的关键在于通过建立合适的坐标系(直角坐标系或极坐
标系),把原来的几何问题转化成了代数(坐标计算)问题.也就是借助于坐标系,在点、线与数组(方程)之间建立起对应关系,以此来实现几何问题代数化.
在运用解析法证明初等几何问题时,必须熟练掌握并善于使用在直角坐标(极坐标)下的有关公式、定理和方程,如两点间的距离公式、定比分点公式、直线的斜率公式等,将所求问题转化成数量化的坐标形式化难为易。