久期与远期利率协议

久期（Duration），也叫持续期。

一、概述

1．久期概念：债券所有现金流量发生时间的加权平均值，即衡量债券持有者收到现金付款之前平均需要等待多长时间。

2．权重的概念：Wt：表示某一时刻现金流量的现值与债券价格之比。

Wt=，PV现值，CFt（cash flow）

3．久期表达式：===D

4．久期概念的用途：考察债券价格对利率变动的敏感性的衡量指标，具体说，久期是债券价格变化与债券到期收益率变化的比例系数。

证明：∵P=（1）

对（1）式相对于t求一阶导数可得= —（2）

将（2）两边同除以价格P，得：

×= = —，同时可得：

= —D

假定收益率曲线平滑，r在中短期内变化微小。

= —D×（）（3）

∴D是反映收益变化影响债券价格变化的比例系数，公式负号表示利率上升，债券价格下跌,反之，则上涨。

5．修正久期的概念：定义修正久期为D*=

△P= —D*×P×△r (4)

二、基于久期的套期保值策略

1、套期保值比率HR的确定

套期保值所需合约数（张）=×到期日调整系数×加权系数

到期日调整系数=

举例

加权系数有三种：1、转换系数模型；2、回归模型；3、久期系数

1、转换系数模型：现货债券如果恰恰是最便宜可交割债券，用这种方法较为理想。

原因：期货市场价格变动与最便宜可交割债券价格变动一致。

缺点：（1）、现货需要保值的债券恰恰是最便宜可交割债券，偶然性大，不被广泛使用。（2）、最便宜可交割债券随时都在变化，用CF作系数不实用。

2、回归模型：将期货价格与现货价格变化的历史数据作回归分析，以回归线的斜率β作为对冲系数，此方法可以作为套期保值比率系数的一个补充，一个参考。

缺点：（1）新发行债券没有历史数据

（2）衍生债券也没有历史数据。

久期值模型：

△Ps= —Ds*×Ps×△r (1)

△Pf= —Df*×Pf×△r (2)

△Ps= △Pf×HR (3)

将（1）、（2）代入（3）式得：

—Ds*×Ps×△r= —Df*×Pf×△r×HR

HR=

举例：某投资者持有1500万美元的美国国债现货债券，到期日2018年，息票利率11%，担

心近期利率上涨，拟用长期国债期货套期保值，求卖出国债期货的合约数量？

已知：Ds* =9.8年，Df*=10.64年，Ps =118.5，Pf =92-16

HR==1.18，卖出期货合约数量=×1.18=177张

三、久期值的计算

1、列表法，求D 麦考莱（Macaulay）1938年，D*=（见书P119）

2、封闭式久期计算法

D麦=

C为年利率，F为面值，r为到期收益率，n为债券剩余期限付息次数，P债券价格

举例：见书表4.5

已知：F=100，C=10，n=3×2=6，r=0.12年（半年为0.06）

D麦= =5.32（半年）

D1年麦＝＝2.66年

3、有效久期计算法

（1）、1996年弗兰克法波齐（Frank Fabozi）

（2）、有效久期≈D* (条件：收益率发生很小变动，收益率曲线平滑)

（3）、计算公式D有效＝

P_ 指收益率下降x个基点债券价格

P+ 指收益率上升x个基点时债券价格

R_ 指初始收益率减去x个基本点

R+ 指初始收益率加上x个基本点

P0 指债券初始价格

举例：某债券剩余期限为8年，息票利率9.5％，半年付息一次，现价90，到期收益率11.44％，我们用到期收益率5个基点的变化来计算有效久期，即①当收益率为11.44％＋0.05％，P+＝89.77；②当收益率为11.44％－0.05％，P－＝90.25

D有效＝＝＝5.33

用封闭公式计算D麦来验证。

已知：C＝95／2＝47.5；F＝1000；P＝900；R＝11.44％；r=5.72%；N＝8×2＝16

D麦＝＝11.28年

D麦1年＝11.28／2＝5.644

D＊＝＝5.33

4、简便的久期计算公式D麦

D麦＝－

r＝半年到期收益率；S＝剩余年限付息次数；C＝半年息票利率

将上例数据代入公式验证，

D麦半年＝－＝18.48－7.20＝11.28

D麦1年＝11.28／2＝5.64

5、影响久期的因素

（1）、久期值与债券期限长度成正比；

（2）、久期值与息票额成反比；（通过公式可以看出）

（3）、久期值与到期收益率成反比；

（4）、零息债券的久期为距到期日的时间，而附息债券的久期短于距到期日的时间。

6、久期的应用

（1）、久期是考察债券价格对利率变动敏感性的指标，是债券价格变化与债券到期收益率变化的比例系数。

（2）、预测利率下跌，买入较长久期的债券，因为较长的久期的债券比较短久期的债券上涨幅度大。（原因是期限越长的债券对利率变动越敏感，期限越短，炒作空间越小，到期价格向价值回归）

（3）、预测利率上涨，买入久期较短息票利率较高的债券，因为债券价格下跌较少。（因为快要到期时，价格向价值回归，没有下跌空间）

（4）、1个债券组合的久期为组合中各个债券久期的加权平均值。

7、美元久期

D美元＝－D＊×（以债券面值百分比表示的债券价格）

举例：D＊＝5.33，债券价格P＝900，F＝1000，＝90％

D美元＝－5.33×90＝－479.70

P新＝P旧＋（D美元×收益率变动）

P新＝90＋（－479.70×0.0005）＝90－0.23985＝89.76

第四节远期利率协议交易的计算

举例：已知：某公司计划3个月后在欧洲美元市场筹资3个月期资金1.25亿美元，担心届时LIBOR上涨，决定通过远期利率协议保值。目前路透终端FRA报价LIBOR(3×6)为4.55%/4.75%。

求：①3个月后3个月期LIBOR为5.25％，该公司借款成本为多少？

②3个月后3个月期LIBOR为4.05％，该公司借款成本为多少？

解：

SA1＝＝15.625万／1.013125＝15.42万

SA2＝＝＝－21.875万／1.010125＝－21.656万

答：在①情况下FRA银行3个月后向该公司支付15.42万元，其资金成本仍为4.75％。

在②情况下，该公司向FRA银行支付21.656万，其资金成本仍为4.75％。